第五章-留数-复变函数课件

第五章留数理论及其应用学习要点解析函数的孤立奇点的分类留数定理以及其在积分计算上的应用幅角原理、儒歇定理及其应用第五章留数理论及其应用学习要点解析函数的孤立奇点的分类留数第1节孤立奇点一.奇点的分类函数f(z)不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.第1节孤立奇点一.奇点的分类将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数.根据级数的不同情况对孤立奇点作分类.可去奇点

如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,则f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,|z-z0|<d

从而f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0第五章-留数-复变函数课件2.极点

如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成

其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d内是解析的函数,且g(z0)0.2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,定理2：z0是f(z)的m级极点的充要条件是定理3如果z0为f(z)的极点的充要条件是定理2：z0是f(z)的m级极点的充要条件是定理3如果例1对讨论函数在处的性质。例1对讨论函数3.本性奇点

如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.3.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项综上所述：我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.练习：证明复函数情形下的罗比达法则。综上所述：我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型二.零点与极点的关系

定义2:z0称为f(z)的m级零点.如f(z)在z0解析,且

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0与z=1分别是是f(z)的一级与三级零点.定理3：

z0是为f(z)的m级零点的充要条件是f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且

j(z0)0,

二.零点与极点的关系定义2:z0称为f(z)的m级零点由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.(零点孤立原则)由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z定理4

如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点.该定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.定理4如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是例3

例3第2节留数定理一.留数的概念

定义1.设f(z)在区域0<|z-z0|<R内解析，称积分为f(z)在孤立奇点z0处的留数,记作Res[f(z),z0],这里积分是反时针方向取的.当f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R两端沿C逐项积分:第2节留数定理一.留数的概念定义1.2.留数的计算规则

规则1

如果z0为f(z)的一级极点,则规则2

如果z0为f(z)的m级极点,则2.留数的计算规则

规则1如果z0为f(z)假设

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1.假设

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z第五章-留数-复变函数课件第五章-留数-复变函数课件定理一(留数定理)

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注.定理中的条件必须要认真验证，例如不能应用留数定理。[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用第五章-留数-复变函数课件例5解：所以原式=例4解：z=0为一级极点。例5解：所以原式=例4解：z=0为一级极点。

留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数，将定积分变为回路积分中的一部分。§3利用留数定理计算实积分留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则1.形如其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.解：由于0<p<1,被积函数的分母在0q2p内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母第五章-留数-复变函数课件

f(z)的三个极点z=0,p,1/p中，有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.f(z)的三个极点z=0,p,1/p中，有前两个在圆例2计算积分解：令

.被积函数在

，于是所求积分例2计算积分解：.被积函数在z1z2z3yCR-RROx解释：此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.z1z2z3yCR-RROx解释：第五章-留数-复变函数课件例3计算积分

解：由于分母的次数比分子的次数高二次，且被积函数在实数轴上没有0点，因此广义积分存在。例3计算积分解：由于分母的次数比分子的次数高二次，且例4解：例4解：3.计算形如的积分

当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.

象1中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1可以证明,在半径R充分大的CR上,有3.计算形如的积分当R也可写为也可写为例5计算.解：这里R(x)在实轴上连续，且分母次数比分子高一次,因而积分是存在的.R(z)在上半平面内有一级极点bi,例5计算例6计算积分.解：

因为是偶函数,所以在上半平面内解析，为了使积分路线不通过原点,取如上图所示的路线.由柯西积分定理,有CrCRyxO-rrR-R例6计算积分.解：因令x=-t,则有因此,要算出所求积分的值,只需求出极限令x=-t,则有因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明所以在z=0附近j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,下面将证明所以在z=0附近j(z)在z=0处解析,且j而由于在r充分小时,而由于在r充分小时,例题

例题第五章-留数-复变函数课件第五章-留数-复变函数课件第五章-留数-复变函数课件第五章留数理论及其应用学习要点解析函数的孤立奇点的分类留数定理以及其在积分计算上的应用幅角原理、儒歇定理及其应用第五章留数理论及其应用学习要点解析函数的孤立奇点的分类留数第1节孤立奇点一.奇点的分类函数f(z)不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.第1节孤立奇点一.奇点的分类将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数.根据级数的不同情况对孤立奇点作分类.可去奇点

如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点.这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,则f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,|z-z0|<d

从而f(z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点.将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0第五章-留数-复变函数课件2.极点

如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成

其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d内是解析的函数,且g(z0)0.2.极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,定理2：z0是f(z)的m级极点的充要条件是定理3如果z0为f(z)的极点的充要条件是定理2：z0是f(z)的m级极点的充要条件是定理3如果例1对讨论函数在处的性质。例1对讨论函数3.本性奇点

如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.3.本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项综上所述：我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.练习：证明复函数情形下的罗比达法则。综上所述：我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型二.零点与极点的关系

定义2:z0称为f(z)的m级零点.如f(z)在z0解析,且

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0与z=1分别是是f(z)的一级与三级零点.定理3：

z0是为f(z)的m级零点的充要条件是f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且

j(z0)0,

二.零点与极点的关系定义2:z0称为f(z)的m级零点由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.(零点孤立原则)由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z定理4

如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点.该定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.定理4如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是例3

例3第2节留数定理一.留数的概念

定义1.设f(z)在区域0<|z-z0|<R内解析，称积分为f(z)在孤立奇点z0处的留数,记作Res[f(z),z0],这里积分是反时针方向取的.当f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R两端沿C逐项积分:第2节留数定理一.留数的概念定义1.2.留数的计算规则

规则1

如果z0为f(z)的一级极点,则规则2

如果z0为f(z)的m级极点,则2.留数的计算规则

规则1如果z0为f(z)假设

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1.假设

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z第五章-留数-复变函数课件第五章-留数-复变函数课件定理一(留数定理)

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注.定理中的条件必须要认真验证，例如不能应用留数定理。[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用第五章-留数-复变函数课件例5解：所以原式=例4解：z=0为一级极点。例5解：所以原式=例4解：z=0为一级极点。

留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数，将定积分变为回路积分中的一部分。§3利用留数定理计算实积分留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分1.形如的积分,其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数.令z=eiq,则1.形如其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.例1计算的值.解：由于0<p<1,被积函数的分母在0q2p内不为零,因而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母第五章-留数-复变函数课件

f(z)的三个极点z=0,p,1/p中，有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.f(z)的三个极点z=0,p,1/p中，有前两个在圆例2计算积分解：令

.被积函数在