线性方程组课件

18世纪下半叶，法国数学家贝祖:

对线性方程组理论进行了一系列研究证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零

19世纪，英国数学家史密斯和道奇森:

前者引进了方程组的增广矩阵的概念后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法18世纪下半叶，法国数学家贝祖:第三章线性方程组§1第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齐次线性方程组(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齐次线性方程组(nonhomogeneous~)第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法2第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法设A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

则解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法3§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn为(3.1)的系数矩阵

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵

第三章线性方程组(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a114§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21对换变换(swapping)

倍乘变换(rescaling)

倍加变换(pivoting)

阶梯形方程组(echelonform)

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消5§3.1线性方程组和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最简形(reducedechelonform)

或写成向量形式由此可得原方程组的通解(generalsolution)

x=5c+12c2c

,其中c为任意数.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法x16§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的初等变换

第三章线性方程组

对换变换(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)

倍乘变换(rescaling)

倍加变换(pivoting)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的7§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方程组的有三中基本类型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章线性方程组例如:leadingvariablesfreevariables§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方8§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0无解有唯一解有无数解2

3

11

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状9§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方程组问为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方10§3.1线性方程组和Gauss消元法1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1+111§3.1线性方程组和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)当0且3时,方程组有唯一解;(2)当

=0时,方程组无解;(3)当

=3时,方程组有无穷多解.此时111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1112§3.1线性方程组和Gauss消元法101

101120000令x3=c,则x1x2x3(c为任意实数).1

11=c120+由此可得原方程组的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程组化为x1

x3=1x2

x3

=

2第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1013§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)零/平凡解(trivialsolution),非零/平凡解(non-~)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组§3.2齐14§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件

定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.例2.当

=______时,齐次线性方程组推论3.1.m<n

Amnx=0有非零解.推论3.2.Annx=0有非零解|A|=0.有非零解?x1+

x2+x3

=0x1+x2+x3=0

x1+x2

+

x3=01或2§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组一.齐次线15§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组二.齐次线性方程组的解的性质

A

=0A(k)=k(A)=0.性质1.若,都是Ax=0的解向量,则+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性质2.若是Ax=0的解向量,kR,则k也是Ax=0的解向量.综上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,则k1

+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组二.齐次线16§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组V={Rn|A

=0}Ax=0的解集构成一个向量空间——Ax=0的解空间.三.基础解系

齐次线性方程组Ax=0的解空间的基称为该齐次线性方程组的基础解系.若1,2,…,s是Ax=0的一个基础解系,则Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.结构式通解(spaceofsolutions)§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组V={17§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.18§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组=19§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.20§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.21§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组解齐次线性方程组Amn

x=0的一般步骤A初等行变换行阶梯形秩(A)<n?行最简形

解最简方程只有零解N初等行变换Y§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组解齐次线性方22§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组例3.求的基础解系与通解.解:初等行变换该方程组的基础解系可取为通解为§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组例3.求的23§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组注:若依次取则于是得基础解系通解容易验证1,2与1,2等价.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组注:若依次24§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组与Ax=0的基础解系等价的线性无关向量组也是Ax=0的基础解系.定理3.3.若ARmn,秩(A)=

r,则Ax=0的任意

nr个线性无关的解向量都是Ax=0的基础解系.例4.证明:(1)Ax=0与(ATA)x=0同解;(2)秩(ATA)=秩(A).§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组与Ax=25§3.3非齐次线性方程组第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组一.非齐次线性方程组的相容性

定理3.4.设ARmn,bRm,则(3)当秩([A,b])=秩(A)<n时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有n秩(A)

个自由未知量.(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);(2)当秩([A,b])=秩(A)=n时,Ax=b有唯一解;§3.3非齐次线性方程组第三章线性方程组§3.326第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组二.非齐次线性方程组的解的结构

1.齐次线性方程组Ax

=0

称为非齐次线性方程组Ax

=b

的导出组.性质1.设1,2都是Ax

=b的解,则1–2是

Ax

=0

的解.性质2.是Ax

=b的解,是Ax

=0

的解,则

+是Ax

=b的解.2.非齐次线性方程组的解向量的性质第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组二.非齐27第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组定理3.5.*——是Ax

=b的一个解1,…,nr——Ax

=0

的基础解系Ax

=b的结构式通解为x=k11

+…+knrnr

+*.特解

(particularsolution)(unrestrictedcombination)第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组定理3.528第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组3.解非齐次线性方程组Amnx=b的一般步骤[Ab]初等行变换行阶梯形秩(A)=秩([Ab])?行最简形

解最简方程无解N初等行变换Y第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组3.解非29第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组解:初等行变换可见原方程组有解,且例5.求方程组的通解.第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组解:初等行30第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组由此可得原方程组的结构式通解可见原方程组有解,且第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组由此可得原31《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。它在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题。该书经多次增补,成书时间已不可考,但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本。许多人曾为它作过注释，其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽(公元263年)、李淳风(公元656年)等人。共九章:方田,粟米,衰分,少广,商功,均输,盈不足,方程,勾股《九章算术》是中国古代问题，也首先记录了盈不足等问题。共九章32Born:31March1730inNemours,France

Died:27Sept1783in

Basses-Loges(nearFontainbleau),FranceÉtienneBézout

Born:31March1730inNemours33Born:31July1704inGeneva,SwitzerlandDied:4Jan1752inBagnols-sur-Ceze,FranceGabrielCramerBorn:31July1704inGeneva,34CharlesLutwidge

Dodgson

Born:27Jan1832inDaresbury,England

Died:14Jan1898inGuilford,England

CharlesLutwidgeDodgsonBorn:35GottfriedWilhelmvonLeibnizBorn:1July1646inLeipzig,Saxony(nowGermany)Died:14Nov1716inHannover,Hanover(nowGermany)GottfriedWilhelmvonLeibniz36ColinMaclaurinBorn:Feb1698inKilmodan(12kmNofTighnabruaich),Cowal,Argyllshire,ScotlandDied:14June1746inEdinburgh,ScotlandColinMaclaurinBorn:Feb169837HenryJohnStephenSmith

Born:2Nov1826inDublin,Ireland

Died:9Feb1883inOxford,England

HenryJohnStephenSmithBorn:3818世纪下半叶，法国数学家贝祖:

对线性方程组理论进行了一系列研究证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零

19世纪，英国数学家史密斯和道奇森:

前者引进了方程组的增广矩阵的概念后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法18世纪下半叶，法国数学家贝祖:第三章线性方程组§39第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法一.线性方程组的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齐次线性方程组(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齐次线性方程组(nonhomogeneous~)第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法40第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法设A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

则解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法41§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn为(3.1)的系数矩阵

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵

第三章线性方程组(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1线性方程组和Gauss消元法称A=a1142§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21对换变换(swapping)

倍乘变换(rescaling)

倍加变换(pivoting)

阶梯形方程组(echelonform)

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法二.Gauss消43§3.1线性方程组和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最简形(reducedechelonform)

或写成向量形式由此可得原方程组的通解(generalsolution)

x=5c+12c2c

,其中c为任意数.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法x144§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的初等变换

第三章线性方程组

对换变换(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)

倍乘变换(rescaling)

倍加变换(pivoting)注:倍乘变换必须用非零的数去乘某一个方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).§3.1线性方程组和Gauss消元法1.线性方程组的45§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方程组的有三中基本类型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章线性方程组例如:leadingvariablesfreevariables§3.1线性方程组和Gauss消元法2.阶梯形线性方46§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状与线性方程组的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0无解有唯一解有无数解2

3

11

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法3.阶梯阵的形状47§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方程组问为何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.解:对其增广矩阵[A,b]作初等行变换,化为阶梯形.第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法例1.设有线性方48§3.1线性方程组和Gauss消元法1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1+149§3.1线性方程组和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)当0且3时,方程组有唯一解;(2)当

=0时,方程组无解;(3)当

=3时,方程组有无穷多解.此时111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1150§3.1线性方程组和Gauss消元法101

101120000令x3=c,则x1x2x3(c为任意实数).1

11=c120+由此可得原方程组的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程组化为x1

x3=1x2

x3

=

2第三章线性方程组§3.1线性方程组和Gauss消元法1051§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)零/平凡解(trivialsolution),非零/平凡解(non-~)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组§3.2齐52§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件

定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.例2.当

=______时,齐次线性方程组推论3.1.m<n

Amnx=0有非零解.推论3.2.Annx=0有非零解|A|=0.有非零解?x1+

x2+x3

=0x1+x2+x3=0

x1+x2

+

x3=01或2§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组一.齐次线53§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组二.齐次线性方程组的解的性质

A

=0A(k)=k(A)=0.性质1.若,都是Ax=0的解向量,则+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性质2.若是Ax=0的解向量,kR,则k也是Ax=0的解向量.综上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,则k1

+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组二.齐次线54§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组V={Rn|A

=0}Ax=0的解集构成一个向量空间——Ax=0的解空间.三.基础解系

齐次线性方程组Ax=0的解空间的基称为该齐次线性方程组的基础解系.若1,2,…,s是Ax=0的一个基础解系,则Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks为常数.结构式通解(spaceofsolutions)§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组V={55§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.56§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组=57§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.58§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.设ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=0没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=0确有基础解系,且任一基础解系中均含有nr个解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.59§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组解齐次线性方程组Amn

x=0的一般步骤A初等行变换行阶梯形秩(A)<n?行最简形

解最简方程只有零解N初等行变换Y§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组解齐次线性方60§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组例3.求的基础解系与通解.解:初等行变换该方程组的基础解系可取为通解为§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组例3.求的61§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组注:若依次取则于是得基础解系通解容易验证1,2与1,2等价.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组注:若依次62§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组与Ax=0的基础解系等价的线性无关向量组也是Ax=0的基础解系.定理3.3.若ARmn,秩(A)=

r,则Ax=0的任意

nr个线性无关的解向量都是Ax=0的基础解系.例4.证明:(1)Ax=0与(ATA)x=0同解;(2)秩(ATA)=秩(A).§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组与Ax=63§3.3非齐次线性方程组第三章线性方程组§3.3非齐次线性方程组一.非齐次线性方程组的相容性

定理3.4.设ARmn,bRm,则(3)当秩([A,b])=秩(A)<n时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有n秩(A)

个自由未知量.