数学建模生物种群问题

关于数学建模生物种群问题第一页，共十六页，2022年，8月28日单种群模型研究一个生物群体的数量或密度的变化规律设x(t)表示t时刻某范围内一种群体的数量或密度，当数量较大时，x(t)可以看作t的连续函数，它只与出生、死亡、迁入和迁出等因素有关种群体的数量或密度变化的一般模型为其中B(出生)、D(死亡)、I(迁入)\E(迁出)第二页，共十六页，2022年，8月28日1、Multhus(马尔萨斯）模型模型假设：人口的增长率是常数（单位时间的人口增长量与当时的人口成正比）模型构成：设时刻t的人口为x(t)，人口增长率为rx(t0)=x0，则t到t+t时间的人口增量为设x(t)可微，令t0,得人口增长的马尔萨斯模型：第三页，共十六页，2022年，8月28日模型求解：用解析方法可以得到解

x(t)=x0er(t-t0),t>t0模型检验：马尔萨斯模型在19世纪以前的欧洲的一些地区吻合很好，但19世纪以后差异较大。原因：假设人口的增长率r是常数对人口少资源多的情况是可以的，但在资源一定时，人口就不能无限增长了。做改进，得另一人口增长模型第四页，共十六页，2022年，8月28日2、Logistic模型（阻滞增长模型）模型假设：人口的增长率r是人口x(t)的函数r(x)，设为线性函数r(x)=r-sxs,r>0(r(x))模型构成：设x=xm时

,xm称为环境容纳量，增长率r(xm)=0,解得s=r/xm

，故r(x)=r(1-x/xm)代入得阻滞增长模型第五页，共十六页，2022年，8月28日模型求解：用解析方法可以得到解

第六页，共十六页，2022年，8月28日猪的最佳销售时机问题一.问题一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须首先考虑的问题。如果把饲养技术、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养得越大，售出后获利越大。其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。试作适当的假设，引入相应的参数，建立猪的最佳销售时机的数学模型。第七页，共十六页，2022年，8月28日预备知识导数、微分方程组等基本知识。盈亏平衡原理

在一个追求最大利润的经济活动中，设X（t）为t时刻保有某种具有价值的对象所增加的价值，Y（t）为保有者t时刻所支付的费用。X（t）、Y（t）分别为随时间递减和递增的函数，且X(t)>Y(t)。保有者可以在某个时刻将保有对象出售以获得利润，那么保有者获得最大利润的出售时刻为盈亏平衡时刻t*，即时刻t*满足表达式X(t*)=Y(t*)。第八页，共十六页，2022年，8月28日实验内容与要求1设猪开始进行商业性饲养时的时刻t=0，x0为t=0时的猪的体重，即x(0)=x0,x(t)为一头猪在t时刻的体重，X为该品种猪的最大体重；y(t)为一头猪t时刻共消耗的饲养费用(包括饲养费、饲养人员工资等)，y(0)=0,xs为猪可售出的最小体重，即体重不超过xs的猪，收购站不予收购，t为猪从重x0长至重xs所需的时间；C(x)为猪的单位重量售价，C0为刚出生小猪的单位价格。第九页，共十六页，2022年，8月28日假设：1.本模型只对某一品种猪进行讨论，故设计猪的性质的有关参数均可视为固定的常数。2.由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重，所以可以假设猪的体重增长的速度将不断减慢。设反映猪体重增长速度的参数为a。3.由于猪的体重越大，单位时间消耗的饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费接近某一常数β。设反映饲养费用变化大小的参数为γ。4.通过调查C(x)随x的变化幅度并不大，故可将C(x)视为常数，设其C。第十页，共十六页，2022年，8月28日问题分析与模型建立由假设可得方程组：

dx/dt=(1-x/X)dy/dt=-(1-x/X)x(0)=x0

y(0)=0

解方程组得

x(t)=X-(X-x0)e-t/x

y(t)=t-(X-x0)(1-e-t/x)/

第十一页，共十六页，2022年，8月28日首先，考虑养猪的可行性，即养猪是否能获利，说得更明确些，猪从出生到时，若售出能否获利。显然，获利的充要条件是Xsc>=x0c0+Y(ts)(3)由（1）式Xs=X-(X-x0)e-ts/x解得ts=(X/a)ln[(X-x0)/(X-xs)]

将其代入（2）、（3）式整理得

(xsc-x0c0)+(xs-x0)>=Xln[(X-x0)/(X-xS)](4)第十二页，共十六页，2022年，8月28日所以，只要（4）得到满足就可获利，起码不会亏本。

由（4）式也可看出，要想饲养某种猪有利可图，必须设法加大α（加快猪的生长速度）或增大β、减小γ（降低饲养成本）。

其次，在（4）式得到满足的条件下，考虑猪的最佳售出时机t*

由（1）、（2）求导得

Cdx/dt,dy/dt的图像大致如图所示。Cdx/dt的含义是时刻t附近单位时间内由猪增加的体重所获得的钱，dy/dt的含义是时刻t附近单位时间消耗的饲养费用。由盈亏平衡原理可知，两曲线的交点即为最佳售出时间t*。

第十三页，共十六页，2022年，8月28日由Cdx/dt=dy/dt，有Ce-1/xt0(1-x0/X)=2-βe-α/Xt0(1-x0/X)解得t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX现考虑如下两种情况：

(1)t0>ts，即

γX/（X-xs）<Cα+β

这时猪应在t*=t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX时售出。

(2)t0<=ts，即γX/（X-xs)>=Cα+β这时猪应在t*=ts=X/αln(X-x0)/(X-xs)时售出（因为t0时刻猪还未长到xs，只好养到ts时刻才能出售，只要（4）式得到满足，还是可以获利。）第十四页，共十六页，2022年，8月28日假定某品种的猪，X=200(kg),xs=75(kg),α=0.5(kg/天),C=6(元/kg),γ=1.5(元/天),β=1(元/天),x0=5(kg).根据所给参数，用数学软件编程计算.

Mathematica

In[1]:=X=200.0;

xs=75.0;x0=5.0;c=6.0.

Alpha=0.5;beta=1.0.gama=1.5;

In[8]:=temp=gama*X/(X-xs)-