MXT-高中数学-两直线的位置关系

两直线的地址关系◆高考导航·顺风出发◆最新考纲常有题型1.能依照两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条订交直线的交点坐标．常有于选择题、填空题、难度较低，3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两属中、低档题目，占5分平行直线间的距离.[知识梳理]1．两条直线地址关系的判断直线方程斜截式一般式地址关系y＝k1x＋b1A1x＋B1y＋C1＝0y＝kx＋bAx＋By＋C＝022222订交k121221≠kAB－AB≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1＝k2AB－AB＝0AB－AB＝0平行1221或1221且b1≠b2B2C1－B1C2≠0A1C2－A2C1≠0k＝k2A1B2－A2B1＝0A1B2－A2B1＝0重合1且b1＝b2B2C1－B1C2＝0或A1C2－A2C1＝02．几种距离(1)两点距离两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点线距离|Ax0＋By0＋C|点P0(x0，y0)到直线l∶Ax＋By＋C＝0(A、B不同样时为0)的距离d＝.A2＋B2(3)线线距离|C1－C2|两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝A2＋B2.[知识感悟]常有的四大直线系方程(1)过定点P(x0，y0)的直线系A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以够表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可视为0x＝x)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(4)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.[知识自测]1．判断以下结论可否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，必然有k1＝k2?l1∥l2.()(2)若是两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积必然等于－1.()(3)已知直线l：Ax＋By＋C＝0，l：Ax＋By＋C＝0(A、B、C、A、B、C为常11112222111222数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()|kx0＋b|)00(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线1，且线段ABAB的斜率等于－k的中点在直线l上．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．已知P：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，Q：a＝－1，则P是Q的()A．充要条件B．充分不用要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不用要条件[剖析]由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.因此P是Q的充要条件．[答案]A3．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为______．2x－y＝－10[剖析]，解得：2x－x－1＝－10，x＝－9，y＝－8，代入y＝ax－2得：y＝x＋12－8＝－9a－2，a＝3.[答案]

23题型一两条直线的平行与垂直(基础拿分题，自主练透)(1)(2018·邢台模拟考试)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的()A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件[剖析]依题意，注意到直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件a13＝－a－2，是≠1，a－2解得a＝－1，应选C.[答案]

C(2)(2018

届·东北师大附中三模

)“a＝－1”是“直线

ax＋(2a－1)y＋1＝0

和直线

3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不用要的条件B．必要不充分的条件C．充要条件D．既不充分又不用要条件1[剖析]当a＝－1时直线ax＋(2a－1)y＋1＝0的斜率是－3，直线3x＋ay＋3＝0的斜率是3，∴满足k1·k2＝－1.a＝0时，直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直，∴a＝－1是直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直的充分条件．[答案]A方法感悟1．当直线方程中存在字母参数时，不但要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特别情况．同时还要注意x、y的系数不能够同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【针对补偿】1．过点

(1,0)且与直线

x－2y－2＝0平行的直线方程是

(

)A．x－2y－1＝0

B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0

D．x＋2y－1＝0[剖析]

依题意，设所求的直线方程为

x－2y＋a＝0，由于点

(1,0)在所求直线上，则

1＋a＝0，即

a＝－1，则所求的直线方程为

x－2y－1＝0.[答案]

A2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l31223.若l∥l，l⊥l，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．84－m[剖析]∵l1∥l2，∴＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.[答案]A3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使(1)l1与l2订交于点P(m，－1)；l1∥l2；l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.m2－8＋n＝0，[解](1)由题意得2m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.即m＝1，n＝7时，l1与l2订交于点P(m，－1)．m2－16＝0，(2)∵l1∥l2，∴－m－2n≠0，m＝4，m＝－4，解得或n≠－2n≠2.即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当2m＋8m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.n又－8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.题型二两条直线的订交和距离(高频考点题，多角打破)考向一已知距离，求点的坐标或个数1．已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1,1)，若|OP|＝|PA|，则P点的坐标为______．2a－3b＋6＝0，[剖析]法一：设P(a，b)，则a2＋b2＝a＋12＋b－12，解得a＝3，b＝4.∴P点的坐标为(3,4)．法二：线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，2x－3y＋6＝0，则由x－y＋1＝0.x＝3，则P点的坐标为(3,4)．解得y＝4，[答案](3,4)考向二已知距离求参数2．若直线l：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l：x＋ny－3＝0之间的距离是5，则m＋n等12于()A．0B．1C．－1D．2[剖析]∵直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为5，∴n＝－2，|m＋3|＝5，∴n＝－2，m＝2(负值舍去)．∴m＋n＝0.5[答案]A3．已知点(m,1)(m＞0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1[剖析]d＝|m－1＋2|＝|m＋1|＝1，22m＝－1±2.又∵m>0，∴m＝2－1.[答案]C考向三已知距离求直线方程4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为2，则直线l1的方程为______．[剖析]由于l1与l2：x＋y－1＝0平行，因此可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．又由于l1与l2的距离是2，因此|b＋1|＝2，解得b＝1或b＝－3，12＋12即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.[答案]x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0考向四与距离有关的最值问题5．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______．[剖析]当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．由于－1－111kAB＝0－1＝2，因此两条平行直线的斜率为－2，因此直线l1的方程是y－1＝－2(x－1)，即x＋2y－3＝0.[答案]x＋2y－3＝06．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是______．[剖析]直线l经过定点Q(0，－3)，以下列图．由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离获取最大值|PQ|＝2－02＋1＋32＝25，因此点P(2,1)到直线l的最大距离为25.[答案]257．(2018济·南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上搬动，则P12)P的中点P到原点的距离的最小值是(5A.22B．5215C.22D．152[剖析]12的中点为P(x，y)，则x＝x1＋x2，y＝y1＋y2设PP22.x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20，即x－y＝10.y＝x－10，∴P(x，x－10)，∴P到原点的距离d＝x2＋x－102＝2x－52＋50≥50＝52.[答案]B方法感悟距离问题的常有题型与求解策略题型求解策略已知距离，求点的坐标或借助于距离公式，建立方程(组)求解或判断解的个数即可．点的个数已知距离求参数值可利用距离公式得出方程，解方程求得．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形已知距离，求直线方程式，结合直线的地址关系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．与距离最值有关的问题一是转变成几何问题，利用几何知识求解，二是借助于基本不等式或函数性质求解.【针对补偿】4.如图，设素来线过点(－1,1)，它被两平行直线l：x＋2y－1＝0，l：x＋2y－3＝0所12截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，则其方程为______．[剖析](1)与l1，l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－1.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.3[答案]2x＋7y－5＝05．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)可否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明原由．[剖析](1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|－2k－1|3＝2，解得k＝.k2＋14此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，因此kl1＝2.＝－kOP由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.因此直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为|－5|＝5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离高出5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．题型三对称问题(重点保分题，共同商议)考向一点关于点的对称问题1．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P均分，则直线l的方程为______．[剖析]设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，因此直线l的方程为x＋4y－4＝0.[答案]x＋4y－4＝0考向二点关于线的对称问题2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为______．[剖析]设A′(x，y)，y＋22＝－1，×x＋13由已知得y－2x－12×2－3×2＋1＝0，33，解得x＝－13故A′－33，441313.y＝13，[答案]A′－33，41313考向三线关于线的对称问题3．(2018泰·安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．[解]在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．2×a＋2－3×b＋0＋1＝0，设对称点M′(a，b)，则22b－0×2＝－1，a－236a＝13，6，30解得∴M′1313.30，b＝132x－3y＋1＝0，设直线m与直线l的交点为N，则由3x－2y－6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)．∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.考向四对称问题的应用4．(2018

·安一调淮

)已知入射光辉经过点

M(－3,4)，被直线

l：x－y＋3＝0

反射，反射光辉经过点

N(2,6)，则反射光辉所在直线的方程为

______．[剖析]

设点

M(－3,4)关于直线

l：x－y＋3＝0

的对称点为

M′(a，b)，则反射光辉所在直线过点

M′，b－4a－－3·1＝－1，因此解得a＝1，b＝0.3＋ab＋4＋3＝0，22又反射光辉经过点N(2,6)，y－0x－1因此所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.[答案]6x－y－6＝0方法感悟四种常有对称求解方法(1)点关于点的对称：求点P关于点M(a，b)的对称点Q的问题，主要依照M是线段PQ的中点，即xP＋xQ＝2a，yP＋yQ＝2b求解．(2)直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n)的对称直线l′的问题，要依照l′上的任一点T(x，y)关于M(m，n)的对称点T′(2m－x,2n－y)必在l上．(3)点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：y＝kx＋b的对称点A′(x0，y0)的坐标，一般方法是依照l是线段AA′的垂直均分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“均分”得一方程．(4)直线关于直线的对称：此类问题一般转变成点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴订交；二是已知直线与对称轴平行．【针对补偿】6．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．[解](1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，kPP′·kl＝－1，即y′－y×3＝－1.①x′－x又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，3×x′＋x－y′＋y＋3＝0.②22x′＝－4x＋3y－95，③由①②得3x＋4y＋3y′＝.④5把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－93x＋4y＋3－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.－55(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴x′＋0＝1，x′＝2，y′＋3＝2，y′＝1，22∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(四十)[A基础牢固练]1．(2018怀·化模拟)已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝()A．－3B．－63D.2C．－23[剖析]a＝3，∴a＝－6.应选B.∵直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，∴－2[答案]B2．(2018济·南模拟)“m＝3”是“直线l：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l：(m12－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件[剖析]12，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2.由l⊥l∴m＝3是l1⊥l2的充分不用要条件．[答案]A3．(2018兰·州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点

A(1,1)，则虫子爬行的最短行程是

(

)A.2

B．2C．3

D．4[剖析]

点O(0,0)关于直线

x－y＋1＝0的对称点为

O′(－1,1)，则虫子爬行的最短行程为|O′A|＝1＋12＋1－12＝2.[答案]B4．(2018湖·北武汉一模)已知M＝x，yy－3＝3，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩Nx－2＝?，则a等于()A．－6或－2B．－6C．2或－6D．－2[剖析]会集M表示去掉一点A(2,3)的直线3x－y－3＝0，会集N表示恒过定点B(－1,0)的直线ax＋2y＋a＝0.由于M∩N＝?，因此两直线平行，或直线ax＋2y＋a＝0过点A(2,3)，a因此2＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.[答案]A5．(2018绵·阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()918A.5B.52929C.10D.534－12[剖析]由于＝≠，因此两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|＝29，因此|PQ|的最小值为29，应选C.62＋821010[答案]C6．(2018厦·门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于()3436A.5B.52832C.3D.3[剖析]由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n7＋m32＝2×2－3，m＝5，n－31解得31m－7＝－2，n＝5，故m＋n＝34，应选A.5[答案]A7．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是______．[剖析]设Q(x0，y0)，由于点Q在直线x－y＋1＝0上，因此x0－y0＋1＝0①.1y＋10又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－2，直线PQ的斜率kPQ＝x0，因此由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，y＋11得0·－2＝－1②.0x由①②解得x00．＝2，y＝3，即点Q的坐标是(2,3)[答案](2,3)8．(2018忻·州训练)已知两直线l：ax－by＋4＝0和l：(a－1)x＋y＋b＝0，若l∥l，1212且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝______.a＋ba－1＝0，[剖析]由题意得4＝|b|.a2＋－b2a－12＋1a＝2，2，解得或a＝3经检验，两种情况均吻合题意，b＝－2b＝2.∴a＋b的值为0或8.38[答案]0或39．(2018宁·夏固原二模)若m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么1＋4的最小值等于______．mn[剖析]由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．则1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.14114于是m＋n＝2(m＋n)m＋n1×5＋n＋4m≥1×(5＋2×2)＝9.2mn229[答案]210．(2018·京旭日区模拟北)已知△ABC的极点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．[解]依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，lAC为2x＋y－11＝0，联立lAC、lCM得2x＋y－11＝0，∴C(4,3)．2x－y－5＝0，设B(x00x＋5，y＋1，00，y)，AB的中点M为22代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，2x0－y0－1＝0，∴∴B(－1，－3)，x0－2y0－5＝0，66∴kBC＝5，∴直线BC的方程为y－3＝5(x－4)，即6x－5y－9＝0.[B

能力提升练

]1．已知＝0表示(

P(x0，y0)是直线)

l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程

Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．但是点P且与l垂直的直线D．但是点P且与l平行的直线[剖析]

由于

P(x0，y0)是直线

l1：Ax＋By＋C＝0外一点，因此

Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，则Ax＋By＋C＋k＝0.由于直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．由于Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，因此Ax0＋By0＋C＋k≠0，因此直线Ax＋By＋C＋k＝0但是点P.[答案]D2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光辉从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光辉QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2B．184C.3D.3[剖析]以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，44，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知C(0,4)，得△ABC的重心D3，3点P关于直线BC、AC的对称点4，4P1(4,4－x)，P2(－x,0)与△ABC的重心D33共线，44因此3＝3－4－x，求得x＝4.443＋x－433[答案]D3．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为______．[剖析]以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立以下列图的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．6∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝a.1Rt△ABC的面积S＝2a2＋4·b2＋91a2＋4·362＋92a＝12

72＋9a2＋144a2≥12

72＋72＝6.[答案]

64．(2018

·庆模拟重

)在平面直角坐标系内，到点

A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是

______．[剖析]

如图，设平面直角坐标系中任一点

P，P到点

A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．y－2＝2x－1，由得Q(2,4)．y－5＝－x－1，[