亥姆霍兹定理任意矢量场课件

第零章第二节德州学院重点建设课程矢量场论复习第零章第二节德州学院重点建设课程矢量场论复习1一、场的概念§2矢量场论复习

描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。场用一个空间和时间坐标的函数来描述：稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关变化场（时变场）：场函数与时间有关一、场的概念§2矢量场论复习描述一定空间中连续分布的物2已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋度）。已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，

这是电动力学求解电磁场的主要方法。二、标量场的梯度

在空间任意靠近两点函数的全微分在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：

已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋3

梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征等值面：常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。三、矢量微分算子

既具有矢量性质，又具有微分性质

注意：它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率等值面：4解：=？例1：解：=？例1：5解：例2：=？解：例2：=？6四、高斯定理与矢量场的散度

矢量族

在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。

矢量场的通量

面元的通量：

有限面积的通量

意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。有源无源负源

闭合曲面的通量

四、高斯定理与矢量场的散度矢量族在矢量场中对于7高斯公式

矢量场的散度

缩小到一点若空间各点处处则称为无源场。该点有源该点无源该点为负源

高斯公式矢量场的散度缩小到一点若空间各点处处则称8例子：求求例子：求求9

证明证：证明证：10五、斯托克斯公式与矢量场的旋度

矢量场的环量（环流）

表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一闭合曲线的积分称为环量五、斯托克斯公式与矢量场的旋度矢量场的环量（环流）表明在11定义为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点，则称为无旋场。

矢量场的旋度

当L无限小：

定义为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为12例子：证明同理证=0例子：证明同理证=013证明

证：证明证：14六、有关场的四个定理关于散度旋度的两个定理正定理：标量场的梯度必为无旋场，即逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。即若，则，称为无旋场的标量势函数。2.正定理:矢量场的旋度必为无散场，即逆定理:无源场必可表示为某个矢量场的旋度。即若，则，称为无源场的矢量势函数。

六、有关场的四个定理关于散度旋度的两个定理正定理：标量场的梯15亥姆霍兹定理

任意矢量场[]均可分解为无旋场和无源场之和。即可分解为[]。又称为的横场部分，可引入标势，

又称为的纵场部分，可引入矢势，亥姆霍兹定理任意矢量场[16唯一性定理

定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。

V唯一性定理定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及则17

1795~1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：（1）关于静电学温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯定理光学；（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等；（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯定理误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。高

斯1795~1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士18第零章第二节德州学院重点建设课程矢量场论复习第零章第二节德州学院重点建设课程矢量场论复习19一、场的概念§2矢量场论复习

描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。场用一个空间和时间坐标的函数来描述：稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关变化场（时变场）：场函数与时间有关一、场的概念§2矢量场论复习描述一定空间中连续分布的物20已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋度）。已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，

这是电动力学求解电磁场的主要方法。二、标量场的梯度

在空间任意靠近两点函数的全微分在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：

已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋21

梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征等值面：常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。三、矢量微分算子

既具有矢量性质，又具有微分性质

注意：它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率等值面：22解：=？例1：解：=？例1：23解：例2：=？解：例2：=？24四、高斯定理与矢量场的散度

矢量族

在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。

矢量场的通量

面元的通量：

有限面积的通量

意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。有源无源负源

闭合曲面的通量

四、高斯定理与矢量场的散度矢量族在矢量场中对于25高斯公式

矢量场的散度

缩小到一点若空间各点处处则称为无源场。该点有源该点无源该点为负源

高斯公式矢量场的散度缩小到一点若空间各点处处则称26例子：求求例子：求求27

证明证：证明证：28五、斯托克斯公式与矢量场的旋度

矢量场的环量（环流）

表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一闭合曲线的积分称为环量五、斯托克斯公式与矢量场的旋度矢量场的环量（环流）表明在29定义为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点，则称为无旋场。

矢量场的旋度

当L无限小：

定义为矢量场的旋度，它在法线方向上的分量为30例子：证明同理证=0例子：证明同理证=031证明

证：证明证：32六、有关场的四个定理关于散度旋度的两个定理正定理：标量场的梯度必为无旋场，即逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。即若，则，称为无旋场的标量势函数。2.正定理:矢量场的旋度必为无散场，即逆定理:无源场必可表示为某个矢量场的旋度。即若，则，称为无源场的矢量势函数。

六、有关场的四个定理关于散度旋度的两个定理正定理：标量场的梯33亥姆霍兹定理

任意矢量场[]均可分解为无旋场和无源场之和。即可分解为[]。又称为的横场部分，可引入标势，

又称为的纵场部分，可引入矢势，亥姆霍兹定理任意矢量场[34唯一性定理

定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。

V唯一性定理定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及则35

1795~1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：（1）关于静电学温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；（2）利用几何学知识研究