超混沌CHEN系统控制器的设计

超混沌Chen系统控制器的设计作者姓名 刁习斌专业 自动化指导教师姓名 刘雪真专业技术职务 副教授TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 1\o"CurrentDocument"第一章混沌的概述 2\o"CurrentDocument"1.1混沌的本质及特征 2\o"CurrentDocument"1.2混沌系统的主要应用 3\o"CurrentDocument"1.3混沌系统的研究意义 4\o"CurrentDocument"1.4国内外研究现状 5\o"CurrentDocument"第二章超混沌Chen系统的特性 6\o"CurrentDocument"2.1超混沌Chen系统基本性质 6\o"CurrentDocument"2.2超混沌Chen系统的系统模型 72.3超混沌Chen系统的稳定性分析 8\o"CurrentDocument"第三章混沌系统的控制方法 9\o"CurrentDocument"3.1OGY才控制法 9\o"CurrentDocument"3.2自适应控制法 10\o"CurrentDocument"3.3连续控制方法 10\o"CurrentDocument"第四章超混沌Chen系统控制方案设计与仿真 10\o"CurrentDocument"4.1线性反馈法 10\o"CurrentDocument"4.2线性反馈法控制超混沌Chen系统 11\o"CurrentDocument"第五章设计总结 13\o"CurrentDocument"参考文献 15致谢 16摘要本文主要研究了Chen系统和超混沌Chen系统的控制问题。本次设计结合理论分析、数值计算和MATLAB仿真，对混沌和超混沌Chen系统的控制问题进行了研究，分别得出了相应的实验结果并加以论证。本文较为详细的介绍了Chen系统的混沌动力学特性，在数值计算的基础上，将Chen系统的方程转化为状态方程，再选择合适的电路参数，进行仿真。得到的结果与数值仿真结果基本一致，从而从电路上验证了Chen系统的混沌动力学特性，本次设计会为实际应用混沌控制及超混沌Chen系统的控制研究带来指导意义。关键词：超混沌Chen系统数值计算MATLAB仿真ABSTRACTThethesismainlyrevolvesaroundthecontrolofChensystemandHyperchaosChensystem.Ourworkscombinewithnumericalcalculationaswellastheoreticdrawcorrespondingconclusionsandanalysisoftheresultsrespectively.TheChaosdynamicscharacteristicofChensystemareputforwardwithindetails,onthebasisofcalculatinginnumbervalue.WeputtheequationintoChensystemstateequation,andthenchoosetheappropriatecircuitparameters,andsimulation.TheresultsandnumericalsimulationresultsfromtheroadtoverifytheChensystemdynamiccharacteristicsofchaos,thedesignwillbeforpracticalapplicationhyperchaoschaoticcontrolandChensystemcontrolresearchbringsignificance.Keywords：hyperschaosChensystem;numericalcalaulation;simulation第一章混沌的概述混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动，是指系统的运动或演化可以用确定的动力学方程表述，而不是像噪声那样不服从任何动力学方程。所谓运动具有随机性，是指不能像经典力学中的机械运动那样由某时刻状态可以预言（或预测）以后任何时刻的运动状态，混沌运动倒是像其他随机运动或噪声那样，其运动状态是不可预言的，换言之，混沌运动在相空间中没有确定的轨道。洛伦茨把混沌运动这种在确定性系统中出现的随机性称为貌似随机。混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象。二十世纪六十年代初，美国气象学家Lorenz在研究大气层的热对流问题时，发现蝴蝶效应现象，即从两个近邻的初始轨道出发，随时间演化混沌轨道将呈指数方式分离。混沌现象无处不有，大全宇宙，小至基本粒子，无不受混沌理论的支配。实际研究发现，描述混沌现象的一些典型数学物理方程，竟然可以概括一大类非线性系统的共同行为特征，具有普适性。混沌学的出现打破了不同学科之间泾渭分明的界限，它是涉及系统总体本质的一门新兴科学［11。1.1混沌的本质及特征混沌运动的发现和对它的分析研究还只是近三十余年的事，人们对它的研究还在不断深入。混沌的定义是：基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的蝴蝶效应现象。综合迄今为止人们对混沌的认识，混沌至少有以下几个特点：（1）混沌运动是确定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正或完全的随机运动。它的确定性是因为它内在的原因，而非受外界干扰而产生的；随机性是指不规则的、不能预测的行为。由于混沌具有随机性，它与随机运动在表现上便具有相似性，因此当观察到某系统的某一变量随时间的变化是杂乱无章时，绝不能贸然认为他们一定是噪声和没有规律，而必须仔细分析，才可能对是随机噪声还是混沌或是其他原因做出正确判断。当然，判断了一个时间序列是非线性的混沌运动，并不等于就知道了系统的运动规律（动力学方程）。（2） 对初始状态的敏感依赖。这是混沌系统的典型特征。意思是初始条件的微小差别导致事情最后结果的极大差别，或者起初小的误差产生灾难性的后果。气象学家洛伦兹根据牛顿定律建立了温度和压强，压强和风速之间的非线性方程组，他将方程组在计算机上模拟，因嫌那些参数的小数点后的位数太多，输入烦琐，便舍去了几位，尽管舍去部分微不足道，可是结果却大相径庭，完全出乎意料。与随机密切相关的是混沌运动对初始状态的敏感依赖。系统作通常规则运动时，无法避免的涨落或噪声干扰所引起的初始条件的微小变化一般只引起运动状态的微小差别。也就是初始状态很相似的轨道总是很接近的，甚至可能趋于一致。这样才能使人们对系统的运动作出预言。混沌运动则不然，由于系统无法避免的涨落，初始条件的微小差别往往会使相邻轨道按指数分开。（3） 只有非线性系统才可能做混沌运动。也就是说，线性系统不可能作带有随机性的混沌运动。当然，系统的非线性只是混沌出现的必要条件，而不是充分条件。也就是说，非线性系统不一定都能做混沌运动，混沌运动还得满足一定条件：第一，只有三个或三个以上变量的自治的非线性系统才有可能做混沌运动，只有两个变量的自治系统不可能做混沌运动；第二，同一系统的运动性质是否做混沌运动还与其所处条件密切相关［2］。对于同一系统，当其所处内在或外在条件不同时，它既可作混沌运动，也可作其他形式运动。混沌控制在控制原理上可分为闭环控制法（有反馈）与开环控制法（无反馈）两种方法:闭环控制法中，反馈的对象可以是系统参数、系统变量、外部参数等，也就是利用与时间有关的连续小微扰作为控制信号，当微扰趋于零或变得很小时，则将实现对特定所需的周期轨道或非周期轨道的稳定控制，典型的反馈闭环控制法有OGY法、自适应控制法、正比于系统变量的脉冲反馈法等；开环控制法与一些特定轨道无关，因而当实现了系统控制时，受控激励信号并不趋于零，施加控制后的系统，其动力学行为可能与原系统动力学行为有较大差异，即产生了新的动力学行为，开环控制法主要有参数共振微扰法、弱周期微扰控制法和信号注入法等⑶。1.2混沌系统的主要应用对于混沌理论的研究，最终的目的是为了能够更好的掌握混沌现象在实践中的应用。如今我们欣喜的看到，对于混沌学的研究现在已经引起科学家们的广泛兴趣，在数学、物理学、化学、生物学、生态学、电子学、天文学、气象学、医学等领域中都发现了混沌现象，甚至在股票市场中也发现了混沌现象。科学家们如此倾注时间、精力和财力来研究混沌现象，不仅仅是为了掌握混沌的理论问题，更重要的是通过研究混沌，掌握混沌理论来解决许多实际问题，现在混沌学在许多方面都获得了应用。工程领域混沌理论在工程领域内获得了成功的应用，诸如振动控制、非线性电路的镇定、加速溶液混合和化学反应、提高激光器性能、流体力学、家用电器等美国海军研究实验室的一个研究小组利用混沌跟踪控制法，在激光装置上不仅在很宽的功率范围维持激光稳定运行，而且惊人的把激光输出功率提高到15倍。90年代初，美国宇航总署(NASA)的科学家们利用三体问题的混沌特性即对于微小扰动的极度敏感性，使用非常少量的残余氢液燃料把一个sIEE3/cIs飞行装置送到太阳系以外。智能信息处理混沌是自律的产生动力学信息的系统，如果能够使不失去自律性的信息转化为有用的东西，则有可能利用简单器件就能实现较复杂的功能或动力学利用具有某些约束的混沌现象非冯•诺依曼型搜索给出了重要的启示在模式识别、非线性系统的辨别等方面混沌理论都有其用武之地。计算机科学可以这样说，计算机的发展促成了混沌学的诞生，而混沌理论的深入研究又推动了计算机的发展混沌理论可以应用于实现丰富多彩的计算机图形、计算机图形压缩、研究超高容量的动态信息存储器等有人把神经、模糊、混沌合在一起，称之为新一代模拟计算机技术。通讯领域混沌理论在通讯方面的研究是近些年研究的热点，有希望在保密通讯、扩频、信息压缩与存储等方面得到应用其中利用混沌同步实现保密通讯是近几年来竞争最激烈的应用研究领域。另外，直接利用混沌通讯的研究也十分活跃。医疗和生命科学除了脑神经系统外，心肌细胞、心电图、血小板生成、’肾小体等也都成为生物混沌学的研究对象健康人心脏跳动的间隔并非是固成不变的，其运动规律呈现混沌现象;研究结果还表明，人体内的多种器官均为混沌系统此外，混沌理论还被用于研制医疗器械现在已有利用混沌控制技术来研究一种心脏整律器及纤维颤动器的报道。社会经济领域可以利用混沌理论来进行复杂现象的短期预测，尤其是类似经济系统和社会系统这样的具有相当复杂性的大系统其应用的领域可见于经济预测和调整、金融分析、流行病分析、天气预报、地震预测等方面。总之，混沌理论的应用现在几乎是无处不在。混沌理论在解决各种问题上的威力已初见端倪，混沌理论为人们认识世界、改造世界提供了有力的武器，混沌理论使决定论和随机论之间的沟通有了希望。因此《纽约时报》也把混沌理论同相对论、量子力学一起并列为20世纪的三大发现⑷。1.3混沌系统的研究意义混沌是号称本世纪物理科学中第三次大革命的理论，在实际问题中非线性混沌系统是普遍存在的，如何利用混沌和消除混沌使之更好地为人类服务，这是人们普遍关注的问题也是非线性科学领域关于混沌研究的重要课题之一。利用混沌的前提是驾驭它，也就是混沌控制。20世纪70年代以来，随着混沌理论的发展，混沌理论也直接影响到数学、物理学的许多分支。20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质特点。20世纪90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，所以对它的研究，极大地扩展了人们的视野，活跃了人们的思维。过去被人们认为确定论和可逆的某些力学方程，却具有内在的随机性和不可逆性。确定性的方程却得不到确定的结果，这打破了确定论和随机论这两套描述体系间的鸿沟，给传统科学很大的冲击，必将促进其他学科的发展；反之，其他学科又促进了对混沌的深入研究。物理学中一直存在决定论和概率论两套描述体系。二者不仅基本精神相反，而且曾经长期对立，互不相容。可是科学的发展日益表明，这两套体系是互补的。混沌理论的研究更揭示了除广泛存在的外在随机性之外，甚至确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。正是这样，混沌才跻身于20世纪科学令人震惊的三大成就。所以混沌学是一门未来科学，是一种极普遍的现象，混沌理论的覆盖面广及自然科学与社会科学的几乎各个领域。混沌理论为研究和理解复杂系统提供了一个全新的理论框架，虽然它还处在形成的过程中，但它揭示出的问题，它所创立的思维方式对人们观察世界具有很大的启发作用。因此，重视学习和研究混沌理论具有极大的现实意义⑸。1.4国内外研究现状1963年，美国气象学家Lorenz在数值实验中首次发现确定性系统有时会表现出随机行为这一现象，当时他称之为决定论非周期流。这一论点打破了拉普拉斯决定论的经典理论。随后Lorenz又首先提出了蝴蝶效应理论，即混沌系统具有初值敏感性这一重要特征，他本人被誉为混沌之父。1975年，李天岩和J.A.Yorke在《周期三蕴含着混沌》中给出了闭区间上连续自映射的混沌定义，同时混沌作为一个新科学名词第一次正式出现在文献中， 1989年胡柏勒(A.Hubler)发表了控制混沌的第一篇文章，1990年奥特(E.Ott)、格锐柏基(C.Grebogi)和约克(J.A.Yorke)提出的控制混沌的思想(OGY控制)产生广泛影响。同年，佩考拉(L.M.Pecora)和卡罗尔(T.L.Carroll)提出混沌同步的思想，接着迪托(W.L.Ditto)和罗意(R.Roy)完成了控制混沌的实验。从此，揭开了混沌控制研究的序幕，这一方向迅速成了混沌研究领域的热点课题之一。目前，人们对混沌控制的广义认识是：（1）混沌运动有害时，成功抑制混沌；（2）在混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产生出特定的混沌轨道；（3）在系统处于混沌状态时，通过控制产生人们所需要的各种输出。目前，混沌的控制理论和方法已日趋成熟,但如何将现有的混沌控制理论和方法移植并应用于超混沌的控制仍是一个重要的研究课题。令人遗憾的是：迄今多数对混沌控制十分有效的方法却并不能适用于超混沌系统的控制,这是因为超混沌系统至少在一个环面上产生收缩和扩张，较一般混沌系统具有更为复杂的动力学行为，所以对其实现稳定控制就更为困难。超混沌的控制方法主要有以下这些：自适应控制法、变量反馈控制法、间歇反馈控制法、非线性反馈法、相空间压缩法、线性反馈法、调节参数法、周期脉冲扰动法、幅值比较扰动变量法等。近半个世纪，科学工作者已经对混沌运动规律做了大量研究工作，揭示混沌现象广泛存在于物理、化学、生物、地理学等自然科学的各个领域的系统之中，甚至在经济和社会科学领域中的某些系统也表现出混沌运动的特征。近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一，而且已经充分显示了其巨大的应用潜力。本文将从以下几个方面开展对混沌和超混沌Chen系统控制的研究工作：1、 分析Chen系统的动力学特性，利用数值仿真画出Chen系统吸引子图，将Chen系统方程转化为状态方程，进行电路仿真，从电路角度研究Chen系统的混沌特性。2、 根据线性反馈控制法的原理，设计控制项加入到Chen系统中，通过数值计算和电路仿真得到控制结果，验证是否与仿真结果一致。3、 分别根据微分反馈法和线性反馈法的原理，先进行数值仿真，从理论上验证控制方法的可行性，将系统方程转化为状态方程，再进行仿真，验证其有效性。4、 超混沌Chen系统具有更复杂的混沌特性，本设计应用线性反馈控制法实施对超混沌Chen系统的控制，然后用数值仿真来验证结果。实验研究是理论结果应用于实际问题的一个重要环节和必经之路。本论文的大部分研究工作就是利用电子线路实验来研究混沌Chen系统的控制问题，其目的是：一方面验证理论方案和结果的可行性和正确性；另一方面也期望本文的工作为实际应用提供可借鉴的实验基础。本文的另一部分工作是寻求控制超混沌Chen系统的有效方法，并用数值仿真结果加以验证。第二章超混沌Chen系统的特性2.1超混沌Chen系统基本性质自从1963年Lorenz发现了第一个混沌吸引子以来，人们不断发现新的混沌奇异性，不断地加深与统一对混沌的理解。1999年，美国休斯敦大学的陈关荣教授发现了一个新的混沌吸引子—Chen吸引子，它是由如下三维系统：，*=a(j-X)<J=dx-xz+cj (2-1)Z=xj-bz产生的，当系统参数a=35,b=3，c=28时，Chen系统处于混沌状态。Chen系统基本性质有以下几点：(1)对称性和不变性系统具有显然的对称性，即它在下列变换下保持不变：(x,y,z)-(-x,-y,z),这个对称性影响到系统的许多动力学行为，影响系统的轨道在相平面上的投影。耗散性和吸引子存在性根据上式，有AV=&%x+%+袈"a+b-c)所以，当a+b>c时，系统(2.1)是耗散的.并以指数形式收敛dV =e-(a+b-c)dt即体积元V在t时刻收缩为体积元匕。-(a+b-c)。这意味着，当时间t趋于无穷时，包含系统轨迹的每个体单元以指数率-(a+b-c)收缩到零，因此，所有系统轨迹最终都会被限制在一个体积为零的集合上，且它的渐进运动都会固定在一个吸引子上［6］。2.2超混沌Chen系统的系统模型超混沌系统的一般定义如下:具有四维或四维以上的微分方程系统，并且全少有两个或两个以上正的Lyapunov指数。2004年,Li等通过设计非线性状态反馈控制器从Chen系统中得到了超混沌系统，并对其动力学行为进行了研究。超混沌Chen系统的无量纲动力学方程式描述如下：

(2-2)x=a(y-x)+u,y=dx-xz+cyz=xy-bzU=yz+ru.(2-2)系统中x,y,z和u为系统的状态变量，a,b,c,d,r为系的控制参数，当参数a=35,b=3,c=12,d=7和0<r<0.085时,系统表现为混沌运动.当a=35,b=3,c=12,d=7和0.085<r<0.798时，系统表现为超混沌运动。当a=35,b=3,c=12,d=7和0.798<r<0.90时，系统表现为周期性运动口］。对于超混沌Chen系统，选取系统的参数a=35,b=3,c=12,d=7和0.085<r<0.798。取r=0.6,x,y,z,u分别取初值1,1.1,1.2,1.3,步长0.01，计算10000点，用Matlab仿真懂得到该系统得相图如图2.1：(a)x-z(b)x-y(c)x-u(d)z-u(a)x-z(b)x-y(c)x-u(d)z-u图2.1超混沌Chen系统的相图2.3超混沌Chen系统的稳定性分析根据超混沌Chen系统的系统模型，取a=35,b=3,c=12,d=7,0.085<r

dfn(x)

dx<0.798。若取r=0.58dfn(x)

dxLE=lim丈lnnfsm=1『xm得此时系统Lyapunov指数为：L^=0.591>0,LE2=0.136>0,LE3=0.000,LE4=-26.109V0。李 DL=3.026.其中两个李雅普诺夫指数大于零，该系统处于超混沌状态。由f(x)=0得到超混沌Chen系统只有一个平衡点，即(0,0,0,0)。系统的雅可比矩阵为—a—aa0「J(x)=些=d—zc—x0dx)x-b0_0zyr」(2-3)把平衡点代入得—aa0「dc00j=000—b0000r由XI-J=0得特征值方程为久4+b久3+b久2+b久+b=0.其中0 ，1 2 3 4 ''b=a+b一c一rb=-ar一da一br一cb一ac+cr+ab<2b=一acb一abr一dab+acr+dar+cbr3b=acbr+dabr此时a=35,b=3,c=12,d=7,0.085<r<0.798,b1b2-b3=-676r-13501+26r2V0.根据Routh-Hurwitz定则得到系统是不稳定的。我们控制超混沌Chen系统的目的控制系统到平衡点(0,0,0,0)㈤。第三章混沌系统的控制方法3.1OGY才空制法OGY法［9］是一种比较有效的控制混沌运动的方法。它建立在混沌吸引子中嵌有无数条不稳定周期轨道的理论基础上，利用混沌运动对很小参数扰动敏感和混沌运动的历变性，给混沌运动系统的参数施加含时小扰动，把在无穷多不稳定周期轨道中所期望的那个不稳定周期轨道稳定住，使系统或处于不动点或作有规律的周期运动，即达到控制混沌的目的。OGY方法的主要思想是：在混沌系统的奇怪吸引子中分布着许多不稳定的不动点，按照需要挑选出其中的一个不稳定周期点，进行稳定控制。为了实现对这个选定的周期点的稳定控制，要选择被控制系统的一个易调节的参数，在系统靠近选定的周期点时，对该参数进行微小的扰动，使系统向该周期点移动。在对该参数微扰过程中，要在参数所允许的最大扰动范围内，多次反复调整，最终使被选中的周期点稳定，从而使混沌系统进入所需要的周期运动。3.2自适应控制法自适应控制方法是通过目标响应与实际响应的差值来调节系统某些参数，从而使系统的实际响应稳定到目标响应的控制方法。在控制系统运动过程中，系统自身不断识别被控制的状态、性能或参量，从而认识或掌握系统当前的运行指标与期望的指标并加以比较。进而作出决策，来改变控制器的结构、参量或根据自适应规律来改变控制作用，以保证系统运行在其所期望的指标下的最优或次优状态。依照这样的思路所建立起的控制系统，称之为自适应控制系统。这种自适应控制有两种方式：一种所谓提前一步控制法，它是按照所要求的驱动输入，一步控制到位，这样做导致输入太大，无法实现稳定控制；第二种方式是所谓权重提前一步法，它把受控的动力学与所预估参数的模型方程联立起来，构成一个封闭回路系统，而该封闭系统并不依赖于混沌过程的参数，即模型方程中的参数不必对应于混沌过程的实际参数，这种自适应控制能达到较佳效果。不过，此法应用中也发现，在混沌系统的自适应控制中也产生了新的动力学行为的复杂性。它不同于系统本身的动力学行为，应当从理论和实验上进一步探讨［10。3.3连续控制方法1993年德国学者K.Pyragas提出了对非线性连续系统的混沌控制方法，即自控制反馈的连续控制法，包括两种方法：一是外力反馈控制法，二是延迟反馈控制法［11］这两种自反馈控制法的基本思想是：考虑非线性混沌系统的响应信号与激励信号之间的自反馈耦合，或者从系统外部施加某种周期激励信号，或者直接把系统本身的响应信号取出一部分但经过时间延迟后再反馈到混沌系统中去，作为控制信号，通过调节控制信号的大小及权重因子，来达到稳定所期望的周期信号。这两种方法都可以实现对混沌吸引子的连续控制，并使不稳定周期趋于稳定。第四章超混沌Chen系统控制方案设计与仿真4.1线性反馈法自从1963年Lorenz第一次发现混沌吸引子以来，人们已逐渐认识到在自然

界和人类社会中广泛存在混沌和超混沌现象.随着混沌理论研究的深入，在工程中的应用日益受到重视，控制超混沌逐步成为人们感兴趣的课题.在现有的混沌控制方法中，有两种主要的控制策略：一是通过参数小微扰达到对混沌行为的控制，如OYG控制法，参数共振法;二是状态变量反馈法,如自适应反馈法，延迟反馈法,线性和非线性反馈法等。这些方法各有特点和应用范围,但是相比之下对于简单而且在物理上容易实现的控制方法如线性反馈易于得到广泛的应用。本文中将线性状态反馈控制方法应用于超混沌Chen系统，引导超混沌运动转化为规则运动，同时给出了达到控制目标反馈系数的选择范围。数值仿真结果证实了该控制方法的有效性。4.2线性反馈法控制超混沌Chen系统4.1.1理论证明设系统的受控系统为:(4-1)x=a(y-x)+u-kx,y=dx-xz+cy-kyz=xy-bz-k3zu=yz+ru-ku.(4-1)其中k1，k2，k3，k4为待定的正反馈系数，系统在S（0，0，0，0）是局部渐进稳定的。受控系统在S处的线性化后的Jacobi矩阵为：一a一ka01一d1c—k00J—0020—b—k00030r—k1—4」其特征方程为:(A-r+k)(X+b+k)[入2+(k+k-c-a)X+(k-c)(k+a)-ad]=0TOC\o"1-5"\h\z4 3 1 2 2 1可以得到A—r—k,A —-b—k,A—_(—A+气.：/),A —_(—A-V』)1 42 33 2 4 2\o"CurrentDocument"其中A=k+k一c+a,A=(k+k一c+a)2一4[(k一c)(k+a)一ad]/ 1 2 1 2 2 1因此当k>r,k>-b,k+k>c-a,(k-c)(k+a)-ad>04 3 1 2 2 1时，所有特征根具有负实部，从而平衡点是渐近稳定的。4.1.2数值仿真只要满足k4>r,k3>-3,k]=0,k2>19就能满足不等式的要求。根据Routh-Hurwitz定则，用数值模拟来验证被控制超混沌系统。步长取0.005,共取1000点，参数取a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6，相应的反馈系数为k1=0,k2=20,k3=-2,k4=4,初值为x,y,z,u分别取1.0,1.1,1.2,1.3。被控系统的状态变量x,y,z,u的动态行为如图4.1U3]。(a)x-t(b)y-t

(c)z-t(d)u-t图4.1超混沌Chen系统控制仿真图自反馈控制中，可以发现反馈增益k与参数b无关，只要大于2c-a时，便可控制到S0。数值试验结果