高中数学 312 用二分法求方程的近似解习题 新人教A版必修1

PAGE1PAGE5用二分法求方程的近似解一、选择题1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】B2．(2014·河南中原名校联考)设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间()A．(2，2.25)B．(2.25，2.5)C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)【解析】因为f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选C.【答案】C3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为()A．(0，0.5)，f(0.25)B．(0，1)，f(0.25)C．(0.5，1)，f(0.25)D．(0，0.5)，f(0.125)【解析】∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))＝f(0.25)．【答案】A4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝eq\f(1,2)(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】C二、填空题5．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq\f(3,2)，则下一个含根的区间是________．【解析】令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝lneq\f(3,2)－eq\f(1,2)＜0，∴下一个含根的区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞)x123456f(x)136.12315.542－3.93010.678－50.667－305.678【解析】∵函数f(x)的图象是连续不断的，且f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，∴函数零点分别在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内．【答案】③④⑤7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度到0.01)为________．【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)·f(1.5625)＜0，区间的端点四舍五入都为1.56，故方程的一个近似解为1.56.【答案】1.56三、解答题8．求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正零点(精确度为0.1)．【解】f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间(1，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1，2)1.5－2.625(1.5，2)1.750.2344(1.5，1.75)1.625－1.3027(1.625，1.75)1.6875－0.5618(1.6875，1.75)1.71875－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.0625＜0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．9．(2014·天津高一检测)借助计算机或计算器，用二分法求方程log2(x＋4)＝2x的一个正根的近似值．(精确度0.1)【解】令f(x)＝log2(x＋4)－2x，其零点为x0，借助计算机作出函数f(x)的图象如图所示．取正区间[1，2]，f(1)≈0.322，f(2)≈－1.415.取区间[1，2]的中点x1＝1.5，计算f(1.5)≈－0.369，所以f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1，1.5)．再取区间(1，1.5)的中点x2＝1.25，计算f(1.25)≈0.014，所以x0∈(1.25，1.5)．同理可得x0∈(1.25，1.375)，x0∈(1.25，1.3125)，因为|1.3125－1.25|＝0.0625＜0.1，故可取1.3125作为此函数的一个零点，所以方程log2(x＋4)＝2x精确度到0.1的正根的近似值为1.3125.eq\a\vs4\al([能力提升层次])1．(2014·合肥高一检测)函数f(x)＝2x＋m的零点落在(－1，0)内，则m的取值范围为()A．(－2，0)B．(0，2)C．[－2，0] D．[0，2]【解析】由题意f(－1)·f(0)＝(m－2)m<0，∴0<m<2.【答案】B2．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1【解析】因为f(x)＝x2＋2eq\r(2)x＋2＝(x＋eq\r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．【答案】C3．(2014·广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图3­1­2所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．图3­1­2【解析】第1次取中点把焊点数减半为eq\f(64,2)＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为eq\f(64,4)＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为eq\f(64,8)＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为eq\f(64,16)＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为eq\f(64,32)＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为eq\f(64,64)＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.【答案】64．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明：f(x)有且仅有一个零点．(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于eq\f(1,4).【解】(1)因为函数y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)至多有一个零点，由f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以f(x)在(2，3)内至少有一个零点，所以f(x)有且仅有一个零点．(2)因为f(2)＜0，f(3)＞0，取x1＝eq\f(2＋3,2)＝eq\f(5,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)＋5－6＝lneq\f(5,2)－1＜0，所以f(3)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜0，所以f(x)的零点x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3)).取x2＝eq\f(\f(5,2)＋3,2)＝eq\f(11,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))＝lneq\f(11,4)＋2×eq\f(11,4)－6＝lneq\f(11,4)－eq\f(1,2)＞0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c