新教材高中数学人教A版必修第一册-第四章-指数函数与对数函数-教学课件

第四章指数函数与对数函数4.1.2无理数指数幂及其运算性质P394.2.1指数函数的概念P704.2.2.1指数函数的图象和性质P1044.2.2.2指数函数的图象和性质的应用P1394.3.1对数的概念P1684.3.2对数的运算P2024.4.1对数函数的概念P2324.4.2.1对数函数的图象和性质P262

4.4.2.2对数函数的图象和性质的应用P2994.4.3不同函数增长的差异P3294.5.1函数的零点与方程的解P3774.5.2用二分法求方程的近似解P4174.5.3函数模型的应用P4574.1.1

n次方根与分数指数幂第四章指数函数与对数函数4.1.2无理数指数幂及其运算性导思1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有其他次方的方根？怎样表示？2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指数不是正整数时，有什么含义和运算性质？4.1.1

n次方根与分数指数幂导思1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有其他次方1.n次方根如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.可用下表表示：1.n次方根提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数.提示：不一定.当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相2.根式(1)式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：当n>1，n∈N*时，①()n=__；②=

a2.根式a【思考】式子()4与中的a的范围一样吗？提示：不一样，式子()4中a≥0，中a∈R.【思考】3.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)3.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)【思考】分数指数幂中，为什么规定底数a>0？提示：当a=0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则无意义.【思考】4.有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)(1)aras=ar+s.

(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.4.有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)【思考】同底数幂相除ar÷as，同次的指数幂相除分别等于什么？提示：(1)ar÷as=ar-s；(2).【思考】【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)=-2. (

)(2)∀a∈R，(a2+1)0=1. (

)(3). (

)【基础小测】提示：(1)×.=2.(2)√.∀a∈R，a2+1≠0，所以有(a2+1)0=1.(3)×..提示：(1)×.=2.2.下列运算中正确的是 (

)

A.a2a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=1 D.(-a2)5=-a10【解析】选D.a2a3=a2+3=a5，(-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，当a=1时，(-1)0无意义，(-a2)5=-a10.2.下列运算中正确的是 ()3.(教材二次开发：习题改编)=_______.

【解析】=|x-2|=答案：

3.(教材二次开发：习题改编)=_____类型一n次方根的概念及相关的应用(数学运算)【题组训练】

1.的值为 (

)

A.-6 B.2-2C.2 D.6类型一n次方根的概念及相关的应用(数学运算)2.把(a-1)根号外的(a-1)移到根号内等于 (

)2.把(a-1)根号外的(a-1)移到根号内等3.若，则实数a的取值范围是_______.

【解析】1.选A.-4,

所以原式=-6+4--4=-6.2.选C.由≥0，得a<1，则a-1<0，所以(a-1)3.因为所以1-3a≥0，所以a≤.答案：

3.若，则实数a的取值范【解题策略】根式化简与求值的思路及注意点(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简.(2)注意点：①正确区分()n与两式.②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论.【解题策略】【补偿训练】若n<m<0，则等于(

)

A.2m B.2n C.-2m D.-2n【解析】选C.原式==|m+n|-|m-n|，因为n<m<0，所以m+n<0，m-n>0，所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.【补偿训练】类型二根式的化简、分数指数幂求值(数学运算)【典例】1.化简的结果是 (

)

A. B. C.3 D.52.(a>0)的分数指数幂表示为 (

) D.都不对类型二根式的化简、分数指数幂求值(数学运算)3.化简(a>0)的结果是 (

)3.化简(a>0)的结果是 ()【思路导引】1.2.从里向外依次化为指数式.3.化为指数式后利用指数运算性质计算.【思路导引】1.【解析】1.选A.原式=2.选A.3.选B.【解析】1.选A.原式=【解题策略】

根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.【解题策略】【跟踪训练】1.求值=_______.

【解析】原式=答案：

【跟踪训练】2.用分数指数幂表示a·=_______.

【解析】原式=a·答案：

2.用分数指数幂表示a·=_______.

类型三分数指数幂运算性质的应用(数学运算)

角度1化简问题

【典例】=_______.(式中的字母均是正数)

【思路导引】将根式化为分数指数幂，然后进行运算.类型三分数指数幂运算性质的应用(数学运算)【解析】原式=答案：

【解析】原式=【变式探究】将本例中的式子变为，试计算.【解析】原式=5×(-4)×【变式探究】角度2求值问题

【典例】计算：【思路导引】将各个因式求值后计算.【解析】原式=-1+2=2.角度2求值问题

【解题策略】关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错.【解题策略】【跟踪训练】计算下列各式：(1)(2)【跟踪训练】【解析】(1)原式=(2)=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.【解析】(1)原式=1.下列各等式中成立的是 (

)

A.(a>0) B.(a>0)C.(a>0) D.(a>0)【解析】选B.由于a>0，又因为，，，，所以成立的是.1.下列各等式中成立的是 ()2.若x<3，则-|x-6|的值是 (

)A.-3 B.3 C.-9 D.9【解析】选A.若x<3，则x-3<0，x-6<0，所以-|x-6|=|x-3|-|x-6|=3-x+x-6=-3.2.若x<3，则-|x-6|的值是 (3.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(

)【解析】选C.由题意3.设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(4.(教材二次开发：练习改编)计算(·)6·b2=_______.

【解析】(·)6·b2=a3·b-2·b2=a3.答案：a34.(教材二次开发：练习改编)计算(·)6·b25.-(1-0.5-2)÷的值为_______.

【解析】原式=1-(1-22)÷=1-(-3)×=.答案：

5.-(1-0.5-2)÷的值为____导思1.指数式aα中，α能取无理数吗？2.无理数指数幂有什么运算性质？4.1.2无理数指数幂及其运算性质导思1.指数式aα中，α能取无理数吗？4.1.2无理数指数1.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_______实数.

确定的1.无理数指数幂确定的【思考】

为什么规定底数a>0？提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现，就无法确定是1还是-1.【思考】2.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____.ar+sarsarbr2.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)ar+【思考】指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：【思考】【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)是一个确定的实数. (

)(2)指数幂aα的指数α只能取无理数. (

)(3)=8. (

)【基础小测】提示：(1)√.由无理数指数幂的定义知正确.(2)×.α可取任意实数.(3)√.=23=8.提示：(1)√.由无理数指数幂的定义知正确.2.计算：=_______.

【解析】=53=125.答案：1252.计算：=_______.

3.(教材二次开发：练习改编)计算：a-2π=_______.

【解析】

答案：

3.(教材二次开发：练习改编)计算：a-2π=__类型一无理数指数幂的运算(数学运算)【题组训练】

1.计算a-π=_______.

【解析】原式==a0=1.答案：1类型一无理数指数幂的运算(数学运算)2.计算下列各式的值(1).(2)(a>0).(3).【解析】(1)原式==29×32=4608.(2)原式==a0=1.(3)原式==π.

2.计算下列各式的值【解题策略】关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.【解题策略】类型二实际问题中的指数运算(数学建模)【典例】在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：类型二实际问题中的指数运算(数学建模)α5678…1415…2728292α3264128256…1638432768…134217728268435356536870912α5678…1415…2728292α3264128256…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有64×256=16384.按照这样的方法计算16384×32768= (

)

A.134217728 B.268435356C.536870912 D.513765802这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行【思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.【解析】选C.由题知，因为16384对应14，32768对应15，而14+15=29，第一行中的29，对应第二行中的536870912，所以有16384×32768=536870912.【思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.【解题策略】指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.【解题策略】【跟踪训练】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

【解析】由题意，第n次操作后溶液的浓度为；令，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.答案：4【跟踪训练】【补偿训练】某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 (

)

A.14400亩 B.172800亩C.20736亩 D.17280亩【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，则y=10000×(1+20%)x-1，所以x=4时，y=17280(亩).【补偿训练】某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前类型三实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算)

角度1求值问题

【典例】已知xα+x-α=2，x>1，α<0，则xα-x-α=_______.

【思路导引】利用平方关系构造x2α+x-2α，整体代入求值.类型三实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算)【解析】由x>1，α<0，得xα<x-α，由xα+x-α=2，得x2α+2+x-2α=20，所以x2α+x-2α=18，所以xα-x-α==-4.答案：-4

【解析】由x>1，α<0，得xα<x-α，【变式探究】将本例的条件变为“a+=5”，试求a2+a-2.【解析】根据题意，a+=5，则

=a2++2=25，所以a2+a-2=a2+=25-2=23.【变式探究】角度2化简问题

【典例】化简：=_______.

【思路导引】将带分数化为假分数，根号化为指数后运算.【解析】

答案：2a

角度2化简问题

【解题策略】解决条件求值问题的步骤【解题策略】解决条件求值问题的步骤【题组训练】

1.已知am=4，an=3，则的值为 (

)

A. B.6 C. D.2【解析】选A.【题组训练】2.已知=3，计算：【解析】由=3，得x+2+x-1=9，所以x+x-1=7，再平方，可得x2+x-2+2=49，所以x2+x-2=47.所以=4.2.已知=3，计算：1.下列能正确反映指数幂的推广过程的是 (

)A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂【解析】选A.指数幂的推广过程：整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂.1.下列能正确反映指数幂的推广过程的是 ()2.计算的结果是 (

)A.π B. C.-π D.【解析】选D.=π-1=.2.计算的结果是 ()3.将化为分数指数幂为 (

)

【解析】选D.3.将化为分数指数幂为 ()4.(教材二次开发：练习改编)计算=_______.

【解析】原式==24m2=16m2.答案：16m24.(教材二次开发：练习改编)计算=__5.计算=_______.

【解析】原式=3-=3-2=1.答案：15.计算=_______.

导思1.怎样定义形如y=1.11x，y=…的函数？2.什么是指数增长模型？4.2指数函数4.2.1指数函数的概念导思1.怎样定义形如y=1.11x，y=…1.指数函数(1)定义：函数_________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)特征：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.y=ax(a>0，且a≠1)1.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)【思考】当指数函数的底数a=0，a=1，a<0时，对自变量x的取值有何影响？提示：(1)如果a=0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.(2)如果a<0，例如y=(-4)x，这时对于x=，…，该函数无意义.(3)如果a=1，则y=1x是一个常量，没有研究的价值.为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.【思考】2.指数增长模型(1)定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=______________(2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律.N(1+p)x(x∈N).2.指数增长模型N(1+p)x(x∈N).【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)y=x4是指数函数. (

)(2)y=ax一定是指数函数. (

)(3)y=10000×是刻画指数增长变化规律的函数模型. (

)【基础小测】提示：(1)×.y=x4不是指数函数，指数函数的底数是常数.(2)×.指数函数的底数a>0，且a≠1.(3)×.y=10000×

是刻画指数衰减变化规律的函数模型.提示：(1)×.y=x4不是指数函数，指数函数的底数是常数.2.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有 (

)①底数a≥0；②指数x∈N+；③底数不为0；④y=ax(a>0，a≠1，x∈N+).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选B.对正整数指数函数的理解正确的是，y=ax，其中底数a>0且a≠1，指数x∈N+；所以④正确，①②③错误.2.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有 ()3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)是指数函数，且f(3)=5，则f(-6)=_______.

【解析】由题意，设f(x)=ax(a>0且a≠1)，则由f(3)=a3=5，得a=，所以f(-6)==5-2=.答案：

3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)是指数函数，且f类型一指数函数的概念及应用(数学抽象)

【题组训练】1.下列是指数函数的是 (

)

A.y=(-4)x B.y=C.y=3×2x D.y=ex【解析】选D.根据指数函数的解析式，A，B，C不满足.类型一指数函数的概念及应用(数学抽象)2.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数，则a的值是 (

)A.4 B.1或3 C.3 D.1【解析】选C.由题意得解得a=3.

2.若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数，则a的值是 【解题策略】判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a>0且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y=是指数函数.【解题策略】类型二指数函数的解析式及其应用(数学抽象、数学运算)【典例】1.若点(a，27)在指数函数y=()x的图象上，则的值为 (

)A. B.1 C.2 D.02.已知函数f(x)为指数函数，且，则f(-2)=_______.

类型二指数函数的解析式及其应用(数学抽象、数学运算)【思路导引】1.将点代入函数的解析式，求出a；2.利用已知条件求出指数函数的解析式，再求值.

【思路导引】1.将点代入函数的解析式，求出a；【解析】1.选A.点(a，27)在函数的图象上，所以27=()a，即33=，所以=3，解得a=6，所以.2.设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由得，，所以a=3，又f(-2)=a-2，所以f(-2)=3-2=.答案：

【解析】1.选A.点(a，27)在函数的图象上，【解题策略】求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1).(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式.【解题策略】【跟踪训练】若指数函数y=f(x)的图象过点(-2，4)，则f(3)=_______.

【解析】设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，把点(-2，4)代入可得a-2=4⇒a=；所以f(x)=，所以f(3)=.答案：

【跟踪训练】【补偿训练】指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，4)，则f(-3)的值是_______.

【解析】由题意知4=a2，所以a=2，因此f(x)=2x，故f(-3)=2-3=.答案：

【补偿训练】指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，4)，则类型三函数模型y=kax的实际应用(数学建模)

角度1指数增长变化模型

【典例】某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为 (

)A.640 B.1280 C.2560 D.5120类型三函数模型y=kax的实际应用(数学建模)【思路导引】先由条件确定k值，再代入求细菌的个数.【解析】选B.设原来的细菌数为a，由题意可得，当t=1时，y=2a，所以2a=10ek，即ek=.当a=10时，ek=2，所以y=10ekt=10·2t，若t=7，则可得此时的细菌数为y=10×27=1280.【思路导引】先由条件确定k值，再代入求细菌的个数.【变式探究】将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数.【变式探究】【解析】设原来的细菌数为a，由题意可得，当t=1时，y=3a，所以3a=10ek，即ek=.当a=10时，ek=3，所以y=10ekt=10·3t，若t=7，则可得此时的细菌数为y=10×37=21870.【解析】设原来的细菌数为a，角度2指数衰减变化模型

【典例】有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1=amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟时，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有升，必须再经过 (

)A.12分钟 B.15分钟C.20分钟 D.25分钟角度2指数衰减变化模型

【解析】选B.由题意可得，B桶中的水的体积y2=a-amt，因为t=5时，y1=y2，所以由am5=a-am5，可得m5=，所以m=.再令桶A的水剩余y1=amt=，可得，解得t=20.故经过20分钟，桶A的水只有升，即再经过15分钟，桶A的水只有升.【解析】选B.由题意可得，B桶中的水的体积y2=a-amt，【解题策略】关于函数y=kax在实际问题中的应用(1)函数y=kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律.(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.【解题策略】【题组训练】

1.荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的时，荷叶已生长了(

)A.10天 B.15天 C.16天 D.19天【题组训练】【解析】选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N+)，根据题意，令a·2x=a·220，解得x=16.【解析】选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a，2.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2015年的耕地面积为m，则2020年的耕地面积为 (

)A.(1-0.1250)m B.mC.0.9250m D.(1-)m【解析】选B.设每年耕地减少的百分率为a，则有(1-a)50=1-10%，所以a=1-，则从2015年起，过x年后耕地面积y与x的函数关系是y=m(1-a)x=m.当x=5时，y=m.2.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减【补偿训练】碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为(

)

【解析】选C.设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则m5730=，解得m=，所以碳14的年衰变率为.【补偿训练】碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变1.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则 (

)

A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1【解析】选C.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则a-2=1，解得：a=3.1.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则 ()2.某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖为 (

)A.8个 B.16个 C.32个 D.64个【解析】选D.该种细菌分裂的个数满足指数函数y=2x，x∈N*.经过3小时，细菌分裂6次，x=6.细菌分裂的个数为y=26=64.2.某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，3.若指数函数f(x)的图象经过点(2，16)，则f=_______.

【解析】设f(x)=ax(a>0，且a≠1)，依题意有a2=16，得a=4，故f(x)=4x，所以f=答案：

3.若指数函数f(x)的图象经过点(2，16)，则f4.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年5%的速度衰减，则t年后，这种放射性元素质量ω的表达式为_______.

【解析】最初的质量为500g，经过1年，ω=500(1-5%)=500×0.951，经过2年，ω=500×0.952，…，由此推出，t年后，ω=500×0.95t.答案：ω=500×0.95t(t∈[0，+∞))4.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年5%的速度5.(教材二次开发：练习改编)已知函数y=f(x)，x∈R，且f(0)=2，，…，=3，n∈N+，则函数f(x)的一个解析式为_______.

5.(教材二次开发：练习改编)已知函数y=f(x)，x∈R，【解析】令f(x)=k·ax(a>0，a≠1)由f(0)=2，所以k=2，所以f(x)=2·ax，又所以a=9，所以f(x)=2×9x，经验证符合题意.答案：f(x)=2×9x【解析】令f(x)=k·ax(a>0，a≠1)导思1.怎样作出指数函数的图象？不同底数的指数函数有何特征？2.指数函数有哪些性质？4.2.2第1课时指数函数的图象和性质导思1.怎样作出指数函数的图象？不同底数的指数函数有何特征？指数函数的图象和性质(1)图象和性质0<a<1a>1图象

定义域R值域_________性质过定点_______在R上是减函数在R上是增函数(0，+∞)(0，1)指数函数的图象和性质0<a<1a>1图象定义域(2)本质：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即指数函数的性质.(3)应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数的范围.(2)本质：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图象，观【思考】

(1)根据指数函数图象，？号处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a>1x>0？x<0？0<a<1x>0？x<0？【思考】(1)根据指数函数图象，？号处y的范围是什么？底数提示：底数x的范围y的范围a>1x>0y>1x<00<y<10<a<1x>00<y<1x<0y>1提示：底数x的范围y的范围a>1x>0y>1x<00<y<1(2)当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象有什么关系？提示：关于y轴对称.(2)当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象有什么关系？【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数的图象都在y轴的上方. (

)(2)若指数函数y=mx是减函数，则0<m<1. (

)(3)函数y=3x的图象在函数y=2x图象的上方. (

)【基础小测】提示：(1)×.指数函数的图象都在x轴的上方.(2)√.由指数函数的单调性可知正确.(3)×.由y=3x，y=2x的图象可知，当x<0时，函数y=3x的图象在函数y=2x图象的下方.提示：(1)×.指数函数的图象都在x轴的上方.2.函数y=4-x的图象是 (

)【解析】选B.因为y=4-x=，故图象为B.2.函数y=4-x的图象是 ()【解析】选B.因为y=43.(教材二次开发：习题改编)若0.2m-1<0.008，则实数m的取值范围是_______.

【解析】因为0.2m-1<0.008，所以0.2m-1<(0.2)3，所以m-1>3，m>4.答案：(4，+∞)3.(教材二次开发：习题改编)类型一与指数函数相关的定义域问题(数学抽象)

【题组训练】

求下列函数的定义域(1)y=.(2)y=(3)y=.类型一与指数函数相关的定义域问题(数学抽象)【解析】(1)函数有意义当且仅当x2-x-6≠0，解得x≠-2且x≠3，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠-2且x≠3}.(2)函数有意义当且仅当x2+2x-8≥0，解得x≤-4或x≥2，所以函数的定义域为{x|x≤-4或x≥2}.(3)函数有意义当且仅当2x-1-8≥0，即2x-1≥8，解得x≥4，所以函数的定义域为[4，+∞).【解析】(1)函数有意义当且仅当x2-x-6≠0，解得x≠-【解题策略】与指数函数相关的定义域问题(1)函数y=af(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.(2)涉及解指数不等关系求定义域时，先化同底，再利用图象、单调性求范围.【解题策略】【补偿训练】求函数y=的定义域.【解析】由题意得-2x+1≥0，解得x≤，所以函数的定义域为.【补偿训练】求函数y=的定义域.类型二指数函数图象的应用(数学抽象、直观想象)【典例】1.(2020·宜宾高一检测)若函数f(x)=2ax+m-n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(-1，4)，则m+n=(

)

A.3 B.1 C.-1 D.-22.要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 (

)A.t≤-1 B.t<-1C.t≤-3 D.t≥-3类型二指数函数图象的应用(数学抽象、直观想象)【思路导引】1.利用指数函数y=ax过点(0，1)构造关系式求值.2.先根据题意画出函数的图象，再确定平移单位的大小，即所求的范围.【思路导引】1.利用指数函数y=ax过点(0，1)构造关系式【解析】1.选C.因为函数的图象恒过点(-1，4)，所以m-1=0，且2·am-1-n=4，解得m=1，n=-2，所以m+n=-1.2.选C.指数函数y=3x过定点(0，1)，函数g(x)=3x+1+t过定点(0，3+t)且为增函数，要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，只需函数g(x)=3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可，如图所示，【解析】1.选C.因为函数的图象恒过点(-1，4)，即图象不过第二象限，则3+t≤0，所以t≤-3，则t的取值范围为t≤-3.即图象不过第二象限，则3+t≤0，所以t≤-3，【解题策略】与指数函数相关的图象问题(1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.(2)平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”.(3)底数大小：对于y=，y=，y=，y=，如图，0<a4<a3<1<a2<a1.【解题策略】【跟踪训练】(2020·榆林高一检测)函数y=(a>1)的图象的大致形状是 (

)【跟踪训练】(2020·榆林高一检测)函数y=(a>1【解析】选C.y=f(x)=所以x>0时，图象与y=ax在第一象限的图象一样，x<0时，图象与y=ax的图象关于x轴对称.【解析】选C.y=f(x)=【拓展延伸】函数y=a|x|(a>0，且a≠0)的图象与性质a>10<a<1图象

定义域R值域[1，+∞)(0，1]增区间[0，+∞)(-∞，0]减区间(-∞，0][0，+∞)【拓展延伸】a>10<a<1图象定义域R值域[1【拓展训练】函数y=a|x-a|(a>0，且a≠1)在上单调递减，则实数a的取值范围是______.

【解析】因为函数在上单调递减，所以所以0<a≤.答案：

【拓展训练】类型三指数函数单调性的应用(数学抽象、逻辑推理)角度1比较大小

【典例】(2020·绍兴高一检测)已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系是 (

)

A.b>a>c B.c>a>bC.c>b>a D.a>b>c类型三指数函数单调性的应用(数学抽象、逻辑推理)【思路导引】根据指数函数的单调性、中间值1进行比较.【解析】选B.因为指数函数y=0.8x在R上是减函数，所以1>0.80.7>0.80.9.因为指数函数y=1.2x在R上是增函数，所以1.20.8>1.综上可得c>a>b.【思路导引】根据指数函数的单调性、中间值1进行比较.【变式探究】若d=1.30.8，怎样比较c，d的大小？【解析】因为幂函数y=x0.8在(0，+∞)上是增函数，所以1.20.8<1.30.8，即c<d.【变式探究】角度2解不等式

【典例】不等式<2-2x的解集是_______.

【思路导引】先将底数统一成2，再利用单调性转化为一元二次不等式求解.【解析】因为<2-2x，所以，因为y=在R上单调递减，所以x2-3>2x，解得x>3或x<-1，所以不等式的解集是{x|x>3或x<-1}.答案：{x|x>3或x<-1}角度2解不等式

【解题策略】1.关于比较大小(1)底数相同的利用相应的指数函数的单调性比较；(2)指数相同的利用相应的幂函数的单调性比较；(3)底数、指数均不同的利用中间值0、1或图象进行比较.2.关于解与指数相关的不等式底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解.【解题策略】【题组训练】1.(2020·杭州高一检测)三个数a=(-0.3)0，b=0.32，c=20.3的大小关系为(

)A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a【解析】选C.由指数函数的单调性得，b=0.32<0.30=1，c=20.3>20=1，因为a=(-0.3)0=1，所以b<a<c.

【题组训练】2.求不等式a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)中x的取值范围.【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)，当a>1时，有4x+5>2x-1，解得x>-3；当0<a<1时，有4x+5<2x-1，解得x<-3.故当a>1时，x的取值范围为{x|x>-3}；当0<a<1时，x的取值范围为{x|x<-3}.2.求不等式a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)中x的1.函数y=10x-1的图象大致是 (

)【解析】选C.函数y=10x-1的图象可以看作函数y=10x的图象向下平移1个单位长度得到的，结合指数函数的图象与性质，即可得出函数的大致图象是C选项.1.函数y=10x-1的图象大致是 ()【解析】选C.函2.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 (

)

A.(-1，2) B.(1，2)C.(-1，1) D.(0，2)【解析】选A.依题意，由x+1=0得，x=-1，将x=-1代入f(x)=3-ax+1得，f(-1)=3-a0=2，所以函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(-1，2).2.函数f(x)=3-ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过3.(教材二次开发：习题改编)函数y=的定义域为_______.

【解析】函数有意义当且仅当x2-1≠0，解得x≠±1.答案：{x|x∈R且x≠±1}3.(教材二次开发：习题改编)函数y=的定义域4.若，则a的取值范围是_______.

【解析】若，则a>0，因为所以函数y=ax为减函数，所以0<a<1.答案：0<a<14.若，则a的取值范围是_______.

5.若，则实数a的取值范围是_______.

【解析】因为函数y=为减函数，所以a2-2>3-4a，即a2+4a-5>0，解得x<-5或x>1.答案：(-∞，-5)∪(1，+∞)5.若，则实数a的取值范围是____类型一定区间上的值域问题(数学运算)【题组训练】

1.函数f(x)=在区间[-2，2]上的最小值是 (

)

A. B. C.-4 D.4第2课时指数函数的图象和性质的应用类型一定区间上的值域问题(数学运算)第2课时指数函数的图2.若，则函数y=2x的值域是 (

)

D.[2，+∞)3.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[-1，1]上的最大值与最小值的差是，则实数a的值为_______.

2.若，则函数y=2x的值域是 ()【解析】1.选B.函数f(x)=在定义域R上单调递减，所以f(x)在区间[-2，2]上的最小值为f(2)=2.选B.因为，所以≤2-2x+4，所以x2+1≤-2x+4，解得-3≤x≤1，所以函数y=2x的值域为[2-3，2]，即.3.当a>1时，a-得a=3.当0<a<1时，-a=，得a=，所以a=3或a=.答案：3或【解析】1.选B.函数f(x)=在定义域R上单调递减【解题策略】

关于定区间上的值域问题(1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1，0<a<1两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可.(2)特别地，如果是最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是递减，最值总在端点处取到.【解题策略】【补偿训练】若函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是_______.

【解析】函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则和为f(1)+f(2)=a+a2=3a，解得a=2或0(舍去).答案：2【补偿训练】若函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在x∈[1类型二指数函数图象和性质的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例】已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数，(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性.(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.类型二指数函数图象和性质的综合应用(数学运算、逻辑推理)四步内容理解题意条件：函数f(x)=是奇函数结论：(1)判断并证明单调性；(2)不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.思路探求(1)单调性的定义⇒函数的单调性；(2)函数是奇函数、单调性⇒转化不等式⇒求k的范围.四步内容理解条件：函数f(x)=是奇函数思路(1新教材高中数学人教A版必修第一册-第四章-指数函数与对数函数-教学课件四步内容题后反思函数性质的应用是解题的核心,不能盲目代入关于t的式子去解不等式.四步内容题后函数性质的应用是解题的核心,不能盲目代入关于t的【解题策略】函数性质的综合应用(1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解.如本题中奇偶性，单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.(2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解.恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.【解题策略】【跟踪训练】设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数.(1)求实数a的值.(2)求f(x)在[1，3]上的值域.【跟踪训练】【解析】(1)由f(x)=f(-x)，得，即4x=0，所以=0，根据题意，可得-a=0，又a>0，所以a=1.【解析】(1)由f(x)=f(-x)，得(2)由(1)可知f(x)=4x+，设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=因为0<x1<x2，所以，所以<0.又因为x1+x2>0，所以>1，所以>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).(2)由(1)可知f(x)=4x+，所以函数f(x)在(0，+∞)上是单调递增.所以函数f(x)在[1，3]上最大值为f(3)=43+；最小值为f(1)=4+.故值域为所以函数f(x)在(0，+∞)上是单调递增.【补偿训练】已知函数f(x)=-3x，则f(x) (

)A.是奇函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是减函数C.是偶函数，且在R上是增函数D.是偶函数，且在R上是减函数【补偿训练】已知函数f(x)=-3x，则f(x) (【解析】选B.f(x)=-3x，f(-x)=-3-x=3x-=-f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为函数y=，y=-3x都是减函数，则两个减函数之和仍为减函数.【解析】选B.f(x)=-3x，类型三复合函数的单调性、值域(数学运算)

角度1复合函数的单调性

【典例】求函数y=的单调递增区间.【思路导引】将函数变为y=3t，t=-2x2+x+1，利用两个函数的单调性解题.类型三复合函数的单调性、值域(数学运算)【解析】令t=-2x2+x+1，则y=3t，因为t=-2，可得t的增区间为，因为函数y=3t在R上是增函数，所以函数y=的单调递增区间为.【解析】令t=-2x2+x+1，则y=3t，【变式探究】试求函数y=的单调增区间.【解析】令t=x2-x-2，则y=，因为t=，可得t的减区间为，因为函数y=在R上是减函数，所以函数y=的单调递增区间为.【变式探究】角度2复合函数的值域

【典例】(2020·杭州高一检测)函数y=的值域为 (

)

D.(0，2]【思路导引】先求内层函数的值域，再结合指数函数的单调性求值域.角度2复合函数的值域

【解析】选A.令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1，因为y=单调递减，所以，即y≥.【解析】选A.令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1，【解题策略】复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层y=at，内层t=f(x).(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则原函数单调递增，单调性相反则原函数单调递减.(3)值域复合：先求内层t的值域，再根据t的范围利用单调性求y=at的值域.【解题策略】【题组训练】

1.若函数f(x)=在区间[1，3]上单调递增，求实数a的范围.【解析】令y=at，t=x2-ax-3，因为函数f(x)=在区间[1，3]上单调递增，所以解得1<a≤2.【题组训练】2.(2020·玉林高一检测)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0，a≠1)，满足f(1)=，则f(x)的单调递减区间是 (

)A.(-∞，2] B.[2，+∞)C.[-2，+∞) D.(-∞，-2]【解析】选B.由f(1)=，得a2=，于是a=，因此f(x)=.因为g(x)=|2x-4|在[2，+∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，+∞).2.(2020·玉林高一检测)若函数f(x)=a|2x-4|1.函数f(x)=()x在区间[1，2]上的最大值是 (

)

A. B. C.3 D.2

【解析】选C.由题意可知函数f(x)是递增函数，所以当x=2时，函数f(x)取得最大值为3.1.函数f(x)=()x在区间[1，2]上的最大值是 2.指数函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，在R上是减函数，则函数g(x)=(a-2)x3在R上的单调性为 (

)A.单调递增B.在(0，+∞)上递减，在(-∞，0)上递增C.单调递减D.在(0，+∞)上递增，在(-∞，0)上递减【解析】选C.因为指数函数f(x)=ax在R上是减函数，所以0<a<1，所以-2<a-2<-1，所以函数g(x)=(a-2)x3在R上递减.2.指数函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，在R上是减函数3.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y=f(x)的图象大致是 (

)【解析】选B.函数在(0，2)内的值域是(1，a2)，则由于指数函数是单调函数，则有a>1，由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确.3.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的4.(教材二次开发：习题改编)函数f(x)=的单调减区间是_______.

【解析】因为f(x)==所以函数的单调减区间为(-∞，-1).答案：(-∞，-1)4.(教材二次开发：习题改编)函数f(x)=5.若函数f(x)=2x的值域是[4，+∞)，则实数x的取值范围为_______.

【解析】函数f(x)=2x在定义域内为增函数，所以2x≥4，所以x≥2.所以实数x的取值范围为[2，+∞).答案：[2，+∞)5.若函数f(x)=2x的值域是[4，+∞)，则实数x的取值导思1.在指数运算1.11x=2中，怎样计算指数x？2.对数有哪些性质？4.3对数4.3.1对数的概念导思1.在指数运算1.11x=2中，怎样计算指数x？4.31.对数的概念(1)定义：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=_____，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)特殊对数：常用对数：以10为底，记作_____；

自然对数：以e为底，记作_____.

logaNlgNlnN1.对数的概念logaNlgNlnN(3)指数与对数的关系：当a>0，a≠1时，ax=N⇔_______.x=logaN(3)指数与对数的关系：x=logaN【思考】对数式logaN是不是loga与N的乘积？提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数.【思考】对数式logaN是不是loga与N的乘积？2.对数的性质(1)负数和0没有对数；(2)loga1=__；(3)logaa=__.012.对数的性质01【思考】你能否推导出对数的性质(2)(3)？提示：因为a0=1，所以loga1=0；因为a1=a，所以logaa=1.【思考】3.对数恒等式：=__.【思考】对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？提示：指数的底数与对数的底数相等.N3.对数恒等式：=__.N【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)因为(-4)2=16，所以log(-4)16=2. (

)(2)因为3x=81，所以log813=x. (

)(3)log23=log32. (

)【基础小测】提示：(1)×.对数的底数不能为负值.(2)×.应为log381=x.(3)×.log23≠log32，两个是不同的对数值.提示：(1)×.对数的底数不能为负值.2.把对数式x=log232改写为指数式_______.

【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32.答案：2x=322.把对数式x=log232改写为指数式_______.

3.(教材二次开发：练习改编)若lne-2=-x，则x=_______.

【解析】因为lne-2=-x，所以e-x=e-2，所以x=2.答案：23.(教材二次开发：练习改编)类型一对数的概念及应用(数学抽象)

【题组训练】

1.若a2020=b(a>0且a≠1)，则 (

)

A.logab=2020 B.logba=2020C.log2020a=b D.log2020b=a类型一对数的概念及应用(数学抽象)2.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为 (

)A.(-∞，3] B.(3，4)∪(4，+∞)C.(4，+∞) D.(3，4)3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中，正确的是 (

)A.100=1与lg10=1B.与C.log39=2与=3D.log55=1与51=52.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的【解析】1.选A.若a2020=b(a>0且a≠1)，则2020=logab.2.选B.由函数的解析式可得解得3<x<4或x>4.3.选BD.在A中，100=1⇔lg1=0，