人教版八上134-最短路径问题课件

13.4

课题学习最短路径问题八年级上册陈巷中学王洪波13.4课题学习最短路径问题八年级上册陈巷中学王．∟已知直线l和直线l外一点P，在点P与直线l连接的线段中，哪一条最短？

垂线段最短1.点与直线之间的距离Pl．∟已知直线l和直线l外一点P，在点P与直线l连接的线段中2.两平行线之间这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？2.两平行线之间这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要3.两点之间如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③3.两点之间如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选4.两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P

两点之间,线段最短．连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。4.两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ABL5.两点在一条直线同侧问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ABL精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABLlABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，A（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？

（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？分析：lABCl

思考

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C

作法：①作点B关于直线l的对称点B/.

②

连接AB/,交直线l于点P.

点P的位置即为所求.思考B·lA·B′C作法：②连接AB/,交直线l于

思考

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

三角形任意两边之和大于第三边思考你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

6.一点在两相交直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，点B、点C即为所求分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请你帮他确定这一天的最短路线。AB7.两点在两相交直线内部如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草地边某一处牧马，再到河ABA/B/PQ最短路线：APQBlMNABA/B/PQ最短路线：APQBlMN如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA8.两点在两平行线外部（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·BMNECD作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，A·BM如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水。(1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什么地方？··A村B村当堂检测如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自··A村B村当堂课堂小结AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线段性质：垂线段最短.BAl课堂小结AB线段公理：最短垂线段性质：BAl如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？

能力提升如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到达B处

你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P′，连接P′Q交BC于M点，则P处的球经BC反弹后，会击中Q处的球.请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）作业ACDBPQ你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知·A村·B村·A村·B村人教版八上134-最短路径问题课件13.4

课题学习最短路径问题八年级上册陈巷中学王洪波13.4课题学习最短路径问题八年级上册陈巷中学王．∟已知直线l和直线l外一点P，在点P与直线l连接的线段中，哪一条最短？

垂线段最短1.点与直线之间的距离Pl．∟已知直线l和直线l外一点P，在点P与直线l连接的线段中2.两平行线之间这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？2.两平行线之间这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要3.两点之间如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

两点之间,线段最短①②③3.两点之间如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选4.两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P

两点之间,线段最短．连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。4.两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ABL5.两点在一条直线同侧问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ABL精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABLlABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，A（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？

（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？分析：lABCl

思考

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C

作法：①作点B关于直线l的对称点B/.

②

连接AB/,交直线l于点P.

点P的位置即为所求.思考B·lA·B′C作法：②连接AB/,交直线l于

思考

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

三角形任意两边之和大于第三边思考你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

6.一点在两相交直线内部BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，点B、点C即为所求分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请你帮他确定这一天的最短路线。AB7.两点在两相交直线内部如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草地边某一处牧马，再到河ABA/B/PQ最短路线：APQBlMNABA/B/PQ最短路线：APQBlMN如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA8.两点在两平行线外部（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。A·