多元复合函数与隐函数求导法则课件

1第三节本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分第八章三、隐函数求导法则1第三节本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合2一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,2一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,3(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)3(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)4若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.4若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏5推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,5推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都6又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示f(x,(x,y))固定y

对x

求导表示f(x,v)固定v

对x

求导口诀:与不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导6又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示f(7例1.设解:7例1.设解:8

解

例2.求函数的偏导数.令则8解例2.求函数9例3.解:9例3.解:10例4.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.10例4.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏11(当在二、三象限时,)例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则11(当在二、三象限时,12题目

12题目13已知注意利用已有公式13已知注意利用14同理可得题目14同理可得题目15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,16例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以16例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以171、一个方程所确定的隐函数及其导数2、方程组所确定的隐函数组及其导数三、隐函数的求导方法171、一个方程所确定的隐函数及其导数2、方程组所确定的181、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数181、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程19两边对x求导在的某邻域内则19两边对x求导在的某邻域内则20例7.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:

令连续;由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求20例7.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐212122定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确22定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点23两边对x求偏导同样可得23两边对x求偏导同样可得24解：

利用公式设则例8.24解：利用公式设则例8.252、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比252、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推26雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.26雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方27定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；27定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续28(P86)28(P86)29有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P

的某邻域内解的公式故得系数行列式29有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内30同样可得30同样可得31例9.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:

求答案:由题设故有31例9.设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:32内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是中间变量,32内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加333.隐函数(组)存在定理4.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.333.隐函数(组)存在定理4.隐函数(组)求第三次作业第三次作业多元复合函数与隐函数求导法则课件36第三节本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分第八章三、隐函数求导法则1第三节本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合37一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,2一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,38(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)3(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)39若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.4若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏40推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,5推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都41又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示f(x,(x,y))固定y

对x

求导表示f(x,v)固定v

对x

求导口诀:与不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导6又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示f(42例1.设解:7例1.设解:43

解

例2.求函数的偏导数.令则8解例2.求函数44例3.解:9例3.解:45例4.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.10例4.设求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏46(当在二、三象限时,)例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则11(当在二、三象限时,47题目

12题目48已知注意利用已有公式13已知注意利用49同理可得题目14同理可得题目50二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,51例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以16例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以521、一个方程所确定的隐函数及其导数2、方程组所确定的隐函数组及其导数三、隐函数的求导方法171、一个方程所确定的隐函数及其导数2、方程组所确定的531、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数181、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程54两边对x求导在的某邻域内则19两边对x求导在的某邻域内则55例7.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:

令连续;由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求20例7.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐562157定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确22定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点58两边对x求偏导同样可得23两边对x求偏导同样可得59解：

利用公式设则例8.24解：利用公式设则例8.602、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比252、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推61雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.26雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方62定理