文稿案例成果

2009年第7A v

=, A2B2 v1PA1+v2PA2+v3PA3+v=, 2

(南通大学理学院,226007A A3 v1PA1+v2PA2+v3PA3+v

AP

v

(江西省宜丰中学,336300AB vPA2+vPA2+vPA2+vPA 题目xyzxyz1证明由此即得式 x5-

[A1PA2PA3PAPPB1PB2PB3vPA2vPA

2+ 2+ 20x+y+ y+z+ z+x+(46IMO2]、3]、4对此题进行了讨论

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文进一步对该问题进行与推广(v2PA2v3PA3vPA)(v1PA1v3PA3vPA)v3PA2vPA

显然, (v

v

v

1 1

2vPA)(v1PA 22v3PA3 x5+y2+

y5+z2+x

z5+x2+y

y

即得式由上面最后一式可知,当且仅当vPA

x+y+ y+z+ z+x+x、y、zxyz1v2PA2v3PA2=vPA2时式取等号

aba>b0证明 命题获证

x+y+zx+y+z引理的证明xyz由式及与之类似的三式还可得

ybzb,xa-

ya-

za-PB1+PB2+PB

由排序不等A ABAB+AB=

xbya-b+ybza-b+zbxa-

xa+ya+1 2

3A ba-b+ybxa-b+zbya- xa+ya+

x

a-

a-

a- 故(x+y+z) + + ba- ba-PB1+

+PB3

=(bxa-

A A A A z )+(x +y +z 由上述证明中可知,v1v2v3、v为空(),P为空间任意一点时,式仍然成立.而且式容易向n维空当P为n中单形内部的点时,式也可以向n推广.

3(xa+ya+za(xbyb+zbxabyabz3(xb+yb+zb则xa+ya+zaxb+yb+ ab满足a4bab0 由式还可以得到其他一些不等式, 里就不再赘述了 参考文献[].一道IMO预选题的探索[J].中等数学,(2]杨学枝.一道IMO预选题的推广[J].中等数学,

x+y+ y+z+ z+x+(3证明xyz1a-b(3 abay3z因为4ba>b0及排序不等式 中等数学 4baa 4baa

b b+y+zy3z3+z3y 同理,ya+zb+

(x

=ya3bza3

y5b32a+z5b32a

b b

y+z(yb+zb

+zx+a

5b

5b

b故x3(y+z ababy

+z3 z+x+ (x+y+zy3z利用柯西不

xaybzb

ya+zb+xb

za+xb+xa(xa+yb+zb 3b- 3b- 3b- b b b(xa+yb+zb)

( + + )+2(xy+yz+zx b 2a+b4a a x3[x3+x3(y+z)

(x+y+z(x3b-a+y3b-a+z3b-a)+2(xbyb+ybzb+zbxb2a+ a+ 2a+ 4a 5b 5b = b b b a(x3+y3+z3)a2

3+y3+z3 (x+y+z)+2(xy+yz+zxxx2a+b+y2a+

+2a+ + 2a+

x 证+yzxa+yb+ x2a+b+y2a+ 2a+ a> +yz a2a+ay

bb+b

bb+ bb同理

y

+y+ y+z+ z+x+ya+zb+ y2a+ 2a+ 2a+ 3+z3+x 2a+ xa+yb+ z

+ya+zb+

+za+xb+za+xb+

2a+ 2a+ 2a+ 当a=5,b=2时,满足 3的条件,z3+x3+y 得到 第题 以上三式相加即得命题2xyzxyz1ab3bab0证明

x5+y2+z2+y5+z2+x2+z5+x2+

b+

b+

x+y

+

+x+y+ y+z+ z+x+证明03b-a<2b.

参考文献

x3b-a+y3b-a+z3b-由柯西不等

x2b+y2b+

[]熊斌.46届IMO试题解答[J]中等数学,2005(0)[2]邹明第46届IMO两道试题另解[J]中等数学 (x+y+z)

2b- +y+z

b+y+z) 2006( b2b- 则ax b

x(

+y+z2b-

[3]李家 在证明不等式中的妙用[J]中等数学x+y+

(x+

+z)(

+y+z 2006(.x3b-a+xbyb+xb.(xb+yb+zb)lggn)=n

[4]吴康,龙,罗海鹏第46届IMO试题讨论与推广[J].中学数学研究,2005(9).因此,所给递推不等f(n)=21+g(ng(n1-(n+ (n

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