图与网络理论课件

第七章图与网络理论例1哥尼斯堡七桥问题ABCDABCD哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡城中有一条河，河上有七座连结着两岸和河中的两个小岛，如图7.1所示。问题是一个人能否从一点出发，经过每座桥一次且仅一次，回到原出发点。图7.11第七章图与网络理论例1哥尼斯堡七桥问题ABCDABCD第一节图的基本概念所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V={v1,v2…,

vn}，边的集合记为E={e1,e2…,

em}，vi称为图的顶点，ej称为图的边，若边ej联结vs和vt，则记为(vs,vt)，即ej=(vs,vt)。

则图可以表示为：G=(V,E)，点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。2第一节图的基本概念所谓图，就是顶点和边的集合有些图的边带有方向，这样的图称为有向图。而边不带方向的图称为无向图。图7.7是一个无向图。图7.8是一个有向图。v1v5v2v3v4e1e2e3e4e6e5e7图7.7图7.83有些图的边带有方向，这样的图称为有向图。而边不带方向的图称为在一个图中，若e=(u,v)，则称u,v是边e的端点．并u,v称相邻．称e是点u（v及点）的关联边。若边ei,ej有一个公共的端点u，称边ei,ej相邻。若边e的两个端点是同一顶点，则称此边为环。若两顶点之间有多于一条的边，则这些边称为多重边。如图7.7中，e7是环，e1,e2是多重边。一个不含环和多重边的图称为简单图。含有多重边的图称为多重图。我们这里所说的图，如不特别指明，都是简单图。4在一个图中，若e=(u,v)，则称u,v是边以点v为端点的边的条数称为点v的度，记作d(v),如图7.7中d(v1)=3,d(v3)=1。度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。不难证明：在一个图中，顶点度数的总和等于边数的２倍，奇顶点的个数必为偶数。

链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列;如:v0

,e1,v1,e2,v2

,e3,v3

,…,vn-1,en

,vn;

v0,vn分别为链的起点和终点；

简单链：链中所含的边均不相同；

初等链：链中所含的点均不相同；圈：在链中，若v0=vn则称该链为圈；连通图：图中任意两点之间均至少有一条链相连

，5以点v为端点的边的条数称为点v的度，记作d(第二节树树是一类结构简单而又十分有用的图。一个不含圈的连通图称为树。设图T=(V,E)，含有n个顶点，则下列命题是等价的。（1）T是树。（2）T的任意两顶点之间，有唯一的链相连。（3）T连通且有n－1条边。（4）T无圈且有n－1条边。（5）T无圈但添加一条边得唯一一圈。（6）T连通但去掉一条边则不连通。6第二节树6给定图G=(V,E)，若V’

V,E’

E，并且E’中的边的端点都属于V’

，则称G’=(V’,E’)是G的一个子图。特别地，若V’

=

V，则称G’为G的支撑子图。设T是图G的一个支撑子图，若T是一树，则称T是G的一个支撑树。给定图G=(V,E),对于G的每一条边，可赋以一个实数w(e)，称为边e的权，图G连同它边上的权称为赋权图。赋权图在图论的应用中经常出现。根据实际问题的需要，权可以有不同的实际含义，它可以表示距离、流量、时间、费用等。7给定图G=(V,E)，若V’V给定图G=(V,E),设T=(V,E’)是G的一个支撑树，定义树T的权为即支撑树T上所有边的权的总和。图G的最小支撑树就是图G中权最小的支撑树。求图G的最小支撑树的方法是建立在求图G的支撑树基础上，只需在求图G的支撑树的算法再加适当限制。因此，求最小支撑树方法也有相应的破圈法；避圈法。

8给定图G=(V,E),设T=(V例2分别用破圈法，避圈法求图7.17的最小支撑树。图7.17v1v5v2v3v42v6v7v834346236645859例2分别用破圈法，避圈法求图7.17的最小支撑树。图7.v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585解破圈法10v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585避圈法：11v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585第三节最短路问题最短路问题，一般来说就是从给定的赋权图中，寻找两点之间权最小的链（链的权即链中所有边的权之和）。许多优化问题都需要求图的最短路，如选址、管道铺设、设备更新、整数规划等问题。由于所求问题不同，需要使用不同的方法。下面我们介绍常用的算法。一、Dijkstra算法Dijkstra算法是求赋权有向图中，某两点之间最短路的算法。实际上，它可以求某一点到其它各点的最短路。它是Dijkstra于1959年提出。目前被认为是求非负权最短路的最好的算法。12第三节最短路问题12Dijkstra算法的基本思想是基于以下原理：若vs,vl,…,vj是vs到vj的最短路，vi是此路中某一点，则vs,vl,…,vi必是从vs到vi的最短路。此算法的基本步骤是采用标号法，给图G每一个顶点一个标号。标号分两种：一种是T标号，一种是P标号。T标号也称临时标号，它表示从vs到这一点的最短路长度的一个上界，P标号也称固定标号，它表示从vs到这一点的最短路的长度（这里最短路长度是指这条路上个边权的和）。算法每一步都把某点的T标号改变为P标号。当终点得到P标号，算法结束。若要求某点到其它各点的最短路，则最多经过n-1步算法结束。13Dijkstra算法的基本思想是基于以下原理：设lij表示边(vi,vj)的权，则Dijkstra算法步骤如下：（1）给始点以P标号P（0,0），给其它各点vj以T标号T(dj,v1)，其中，dj=l1j，（若vj与v1不相邻，则令l1j=+∞）。（2）在所有T标号点中，若vk的T标号最小，则把vk的T标号改为P标号。若最小的T标号不止一个，则可任取一个改为P标号。（3）修改所有T标号T(dj,vt)；dj=min{dj,dk+lkj},若dk+lkj<djvt=vk否则不变。（4）当终点或全部顶点都得到P标号，算法结束，否则返回（2）。14设lij表示边(vi,vj)的权，则Dijkstra算法步骤例3求图7.20中，v1到v8的最短路。图7.20v4v2v1v3v6v5v7v8983834256767109415例3求图7.20中，v1到v8的最短路。图7.20v4图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(3,v1)T(8,v1)16图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(7,v3)T(3,v1)T(8,v1)P(3,v1)17图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(7,v3)T(8,v1)P(3,v1)P(7,v3)T(14,v6)T(16,v6)18图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(8,v1)P(3,v1)P(7,v3)T(14,v6)P(9,v1)P(8,v1)T(17,v2)T(16,v6)19图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)P(3,v1)P(17,v2)P(7,v3)T(14,v6)P(9,v1)P(8,v1)T(17,v2)T(16,v6)P(14,v6)P(16,v6)20图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)P(3,v1)P(17,v2)P(7,v3)P(9,v1)P(8,v1)P(14,v6)P(16,v6)21图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425例4求图7.22中，v1到其它各点的最短路。图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498Dijkstra算法同样可用于求无向图的最短路。22例4求图7.22中，v1到其它各点的最短路。图7.22v图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)T(3,v1)T(4,v1)T(2,v1)23图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)T(3,v1)T(4,v1)T(2,v1)P(2,v1)T(7,v4)T(3,v4)P(3,v1)T(8,v2)T(9,v2)24图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)T(3,v4)P(3,v1)T(8,v2)T(9,v2)P(3,v4)T(6,v3)25图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)P(3,v1)T(8,v2)P(3,v4)T(6,v3)P(6,v3)T(7,v6)T(15,v6)26图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)T(7,v6)P(7,v6)T(15,v6)T(11,v5)P(7,v4)27图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)P(7,v6)T(11,v5)P(7,v4)P(11,v5)28图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)P(7,v6)P(7,v4)P(11,v5)29图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344二、逐次逼近法前面介绍的Dijkstra算法，只适用于权为非负的赋权图中求最短路问题。逐次逼近法可用于存在负权，但无负有向回路的赋权图的最短路问题。因为，如果dj是从v1到vj的最短路的长度，而这从条最短路的最后一条边为(vk,vj)，则从v1到vj的最短路中，从v1到vk这一段，必然也是从v1到vk的最短路。若其长度记为dk，lkj表示边(vk,vj)的权，那么dj，dk和lkj应满足下列方程：30二、逐次逼近法30逐次逼近法就是用迭代方法解这个方程。第一次逼近是找点v1到点vj由一条边所组成的最短路，其长记为dj(1)；第二次逼近是求从v1到点vj不多于两条边组成的最短路，其长记为dj(2)；以此类推，第m次逼近是求从v1到vj不多于m条边组成的最短路，其长记为dj(m)。因为图中，不含负有向回路，所以从v1到vj的最短路上最多有n-1条边。从而可知，最多做n-1次逼近就可求出从v1到vj的最短路。

31逐次逼近法就是用迭代方法解这个方程。第一次逼近逐次逼近法步骤如下：(1)首先令dj(1)=l1j(j=1,2,…,n)，若v1与vj之间无边时，lij=+∞，而ljj=0；(3)若对所有的j，有dj(m)=dj(m-1)，则计算结束，dj(m)(j=1,2,…,n)即为v1到其它各点的最短路的长度，否则返回（2）。32逐次逼近法步骤如下：(3)若对所有的j，有dj(m)=例4求下图中，v1到其它各点的最短路。v1139538362v6v5v3v4v233例4求下图中，v1到其它各点的最短路。v11395v1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞34v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞035v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0236v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②37v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②10②38v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②10②9③39v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②10②9③∞40v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤41v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤025108③9⑤42v1139538362v6v5v3vv1139538362v6v5v3v4v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤025108③9⑤025108943v1139538362v6v5v3v例5求图7.24中，v1到其它各点的最短路。图7.24v1v2v3v4v5v6v7v834-14-22545-3-2-435444例5求图7.24中，v1到其它各点的最短路。图7.24v1vjilijdj(1)dj(2)dj(3)dj(4)dj(5)dj(6)v1v2v3v4v5v6v7v8v1034000000v20-1-24333333v305422222v4204511111v50-2375555v6045333v7-3-40597777v801087745jlijdj(1)dj(2)dj(3)dj(4)dj(5)d第四节最大流问题给定一个有向图G=(V,E)，每条边(vi,vj)给定一个非负数cij称为边(vi,vj)容量。假设G中只有一个入度为零的点vs称为发点，只有一个出度为零的点vt称为收点，其余点称为中间点，这样的有向图称为容量网络，记为G=(V,E,C)。46第四节最大流问题46例如图7.25就是一个容量网络。如果vs表示油田，vt表示炼油厂，图7.25表示从油田到炼油厂的输油管道网。边上的数字表示该管道的最大输油能力，中间点表示输油泵站。现在要问如何安排各管道输油量，才能使从vs到vt输油量最大？这就是本节所要介绍的最大流问题。

图7.25v1v2v3v4vsvt54142537847例如图7.25就是一个容量网络。如果vs表示一、基本概念给定一个容量网络G=(V,E,C)，所谓网络G上的流，是指每条边(vi,vj)上确定的一个数f(vi,vj)，简记为fij，称集合f={fij}为网络G上的一个流。如果网络G表示一个输油管道网，则cij表示管道输油能力，而fij表示管道当前的实际流量，因此应有0fijcij，即管道中的流量不能超过该管道的最大通过能力（即管道的容量）。对网络G上的中间点表示一个转送泵站，因此对中间点运出的总量与运进的总量应当相等。而对于发点的净流出量和收点的净流入量必相等，并且就是该运输方案的总输送量。48一、基本概念48容量网络G=(V,E,C)中的一个流f={fij}满足下列条件，称f为可行流。（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj)，有0fijcij。（2）平衡条件：对于中间点vi，有（即流出量＝流入量）。对于收点vt与发点vs，有（即从vs的净输出量与vt的净输入量相等）。W称为可行流f的流量。可行流总是存在的，当所有边的流量fij=0时，就得到一个可行流，它的流量W=0。最大流问题就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。49容量网络G=(V,E,C)中的一个流f={fij}满足下对于容量网络G给定一个可行流f={fij}，当fij=cij时，称边(vi,vj)为饱和边，当fij<cij时，称边(vi,vj)为非饱和边，当fij=0时，称边(vi,vj)为零流边，当fij>0时，称边(vi,vj)为非零流边。设μ是网络G中一条联结发点vs和收点vt的链。我们规定μ的正方向从vs到vt，则链μ上的边被分为两类：一类是边的方向与链的正方向一致，称它们为前向边，μ上上前向边的全体记为μ+。另一类边与链的正方向相反，称它们为后向边，μ上后向边的全体记为μ-。50对于容量网络G给定一个可行流f={fij}，当fiv1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图7.26例如，在图7.26中，其边上的两个数字分别表示边的容量和流量，即(cij,fij)。(v2,v5)为饱和边，(vs,v1)为非饱和边，并且(v2,v5)，(vs,v1)均为非零流边，(v3,v5)是零流边。51v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,例如图7.26中，在联结vs和vt的链μ={vs,v1,v2

,v5,vt}中，(vs,v1)，(v2,v5)，(v5,vt)为前向边，(v1,v2)为后向边。即μ+={(vs,v1)，(v2,v5)，(v5,vt)}，μ-={(v1,v2)}。v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图7.2652例如图7.26中，在联结vs和vt的链μ={vs,v1,设f是网络G上的一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若对μ上的任意一条边(vi,vj)有若(vi,vj)μ+，则0fij<cij，即μ+中每一边是非饱和边。若(vi,vj)μ-，则0<fijcij，即μ-中每一边是非零流边。则称μ是一条增广链。53设f是网络G上的一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若对μ例如图7.26中，链μ={vs,v1,v2,v3,v5,vt}就是一条增广链，因为μ+={(vs,v1)，(v2,v3)，(v3,v5)，(v5,vt)}中的边均为非饱和边，而μ-={(v1,v2)}中的边为非零流边。v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图7.2654例如图7.26中，链μ={vs,v1,v2,v3,v对于给定的网络G=(V,E,C)，设S,TV，并且ST=V，ST=，vs

S，vtT，以S中点为始点，以T中点为终点的边的集合，称为G的割集，记为(S,T)。割集(S,T)中所有边的容量之和称为割集(S,T)的容量，记为C(S,T)，即55对于给定的网络G=(V,E,C)，设S,TV，并且S例如图7.26中,设S1={vs}，T

1={v1,v2,v3,v4,v5,vt}，则(S1,T1)={(vs,v1)，(vs,v2)}，其容量为C(S1,T1)=22。设S2={vs,v1}，T

2={v2,v3,v4,v5,vt}则(S2,T2)={(vs,v2)，(v1,v4)}，其容量为C(S2,T2)=20。v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图7.2656例如图7.26中,设S1={vs}，T1={v1,v如果从网络G中去掉割集(S,T)中的边，从vs就没有路可以到达vt。对于网络G，它有许多割集，我们可以找到容量最小割集。而网络G的最大流量一定不会超过容量最小割集的容量，称网络G中容量最小的割集为G的最小割集。如果把网络G看成各种粗细不同的管道网，而最小割集就相当于管道网中最细管道部分的总和。二、最大流最小割集定理由上面例子可知，如果找到网络G的一个可行流，其流量等于网络G的最小割集容量，则该可行流一定是最大流。下面最大流最小割集定理就是要说明这一点。57如果从网络G中去掉割集(S,T)中的边，从vs就没有定理1可行流f*是最大流当且仅当G中不存在关于f*的增广链。推论在任意一个容量网络中，最大流的流量等于最小割集的容量。三、求最大流的标号算法由上面定理1可知可行流f是否是最大流，关键看网络G中是否存在关于可行流f的增广链，定理1的证明过程为我们提供了寻找增广链的方法及改进可行流f的方法。如果在网络G中存在关于可行流f的增广链（从vs到vt），则可按定理1证明中所给的方法修改可行流f，得到一个新的可行流f‘，而f‘的流量大于f的流量。如果在G中不存在关于可行流f的增广链，则可行流f就是最大流。寻找关于可行流f的增广链可按下面介绍的标号法来实现。58定理1可行流f*是最大流当且仅当G中不存在关于f*的增求网络G的最大流的标号法分为两步，第1步是标号过程，通过标号寻找增广链；第2步是调整过程，沿增广链个性可行流f的流量。设f是网络G上的可行流（初始可行流可取零流f={fij=0}）。1标号过程（1）首先给发点vs标号(0,+∞)。（2）选择一个已标号的顶点vi，对所有与vi相邻而没有标号的顶点vj按下列规则处理。（a）若(vi,vj)E，并且fij<cij，则给顶点vj以标号(i,δj)，其中δj=min{δi,cij-fij}。（b）若(vj,vi)E，并且fij>0，则给顶点vj以标号(i,δj)，其中δj=min{δi,cij-fji}。59求网络G的最大流的标号法分为两步，第1步是标号过程，通过标号重复过程（2），可能出现两种结果，其一是终点vt得到标号，说明存在一条增广链，则转到调整过程，其二是终点vt不能获得标号，说明不存在增广链，这时可行流f即为最大流。2调整过程首先按终点vt及其它顶点的第一个标号，用反向追踪法在网络中找出增广链。例如设终点vt的第一个标号为k，则(vk,vt)是增广链上的边，然后根据vk的第一个标号，找到下一个顶点，即若vk的第一个标号为j，则(vj,vk)（或者(vk,vj)）是增广链上的边，直到用此方法找到vs为止。这时就得到一条从vs到vt的增广链μ。最后按下式修改可行流f。

60重复过程（2），可能出现两种结果，其一是终点vt得到标号，说调整结束后，去掉所有标号，返回标号过程重新进行标号过程。令61调整结束后，去掉所有标号，返回标号过程重新进行标号过程。令6例10用标号法求下图中从vs到vt的最大流。

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)62例10用标号法求下图中从vs到vt的最大流。vsvtv解（I）标号过程（1）首先给发点vs标以(0,+∞).

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+∞)63解（I）标号过程（1）首先给发点vs标以(0,+∞).

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+∞)（2）检查与vs相邻的顶点v1，v2，因为(vs,v1)E，并且fs1=4<cs1=15，所以v1可以获得标号(vs,δ1)，其中δ1=min{+∞,

15-4}=11。因为(vs,v2)E，但fs2=cs2，所以v2不能标号。(vs,11)64vsvtv4v2v3v1(15,4)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+∞)（3）检查与v1相邻且没有标号的顶点v2，v3，v4，因为(v2,v1)E，并且f21>0，所以v2可以获得标号(v1,δ2)，其中δ2=min{δ1,f21}=min{9,3}=3。因为(v1,v4)E，并且f14=0<c14=4，所以v4可以获得标号(v1,δ4)，其中δ4=min{9,

4-0}=4。因为(v1,v3)E，但f13=c13，所以v3不能标号。(vs,11)(v1,3)(v1,4)65vsvtv4v2v3v1(15,4)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+∞)（4）检查与v2相邻且没有标号的顶点v3，因为(v2,v3)E，并且f23=1<c23=5，所以v3可以获得标号(v2,δ3)，其中δ3

min{δ2,

c23-f23

}=min{3,5-1}=3

。(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)66vsvtv4v2v3v1(15,4)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+∞)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)（5）由于与v3相邻且没有标号的顶点为vt，并且vt也与已标号的顶点v4相邻，所以vt既可以以v3为基础获得标号(v3,δt)，也可以以v4为基础获得标号(v4,δt’)。但为减少迭代次数，应选择δ1与δt’两者较大的给vt标号。因为δt=min{δ3,c3t-f3t}=min{3,3}=3,δt’=min{δ4,c4t-f4t}=min{4,5}=4，所以vt的标号应取（v4,4）。(v4,4)67vsvtv4v2v3v1(15,4)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+∞)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)(v4,4)（II）调整过程由于vt的第一个标号为v4，得到顶点v4，由v4的第一个标号为v1，得到顶点v1，由v1的第一个标号为vs，得到顶点vs，由此得到关于可行流f的增广链μ={vs,v1,v4

,vt}，其中(vs,v1),(v1,v4),(v4,vt)为前向边。68vsvtv4v2v3v1(15,4)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)(v4,4)（II）调整过程由于δt=4，所以调整量为4，即增广链μ上的前向边流量加4。69vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)重新开始标号过程，

（I）标号过程（1）首先给发点vs标以(0,+∞).

70vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,7)（2）检查与vs相邻的顶点v1，v2，因为(vs,v1)E，并且fs1=8<cs1=15，所以v1可以获得标号(vs,δ1)，其中δ1=min{+∞,

15-8}=7。因为(vs,v2)E，但fs2=cs2，所以v2不能标号。71vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,9)(v1,3)（3）检查与v1相邻且没有标号的顶点v2，v3，v4，因为(v2,v1)E，并且f21>0，所以v2可以获得标号(v1,δ2)，其中δ2=min{δ1,f21}=min{9,3}=3。因为(v1,v3)E，但f13=c13，所以v3不能标号。因为(v1,v4)E，并且f14=c14，所以v4不能标号。72vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,11)(v1,3)(v2,1)(v2,3)（5）检查与v2相邻且没有标号的顶点v3，v4，因为(v2,v3)E，并且f23=1<c23=5，所以v3可以获得标号(v2,δ3)，其中δ3=min{δ2,

c23-f23}=min{3,4}=3。因为(v2,v4)E，并且f24=5<c24=6，所以v4可以获得标号(v2,δ4)，其中δ4

=min{δ2,

c23-f23}=min{3,

6-5}=1。73vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,7)(v1,3)(v2,1)(v2,3)(v3,3)（5）由于与v3相邻且没有标号的顶点为vt，并且vt也与已标号的顶点v4相邻，所以vt既可以以v3为基础获得标号(v3,δt)，也可以以v4为基础获得标号(v4,δt’)。但为减少迭代次数，应选择δ1与δt’两者较大的给vt标号。因为δt=min{δ3,c3t-f3t}=min{3,3}=3,δt’=min{δ4,c4t-f4t}=min{1,1}=1，所以vt的标号应取（v3,3）。74vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)(v4,4)75vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+∞)(vs,7)(v1,3)(v2,1)(v2,3)(v3,3)（II）调整过程由于vt的第一个标号为v3，得到顶点v3，由v3的第一个标号为v2，得到顶点v2，由v2的第一个标号为v1，得到顶点v1，由v1的第一个标号为vs，得到顶点vs，由此得到关于可行流f的增广链μ={vs,v1,v2,v3,vt}，其中(vs,v1),(v2,v3),(v3,vt)为前向边，(v2,v3)为后向边。76vsvtv4v2v3v1(15,8)(9,9)(3

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+∞)(vs,7)(v1,3)(v2,1)(v2,3)(v3,3)（II）调整过程由于δt=3，所以调整量为3，即增广链μ上的前向边流量加3，后向边流量减3。77vsvtv4v2v3v1(15,11)(9,9)(

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+∞)重新开始标号过程，

（I）标号过程（1）首先给发点vs标以(0,+∞).

78vsvtv4v2v3v1(15,11)(9,9)(

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+∞)(vs,4)（2）检查与vs相邻的顶点v1，v2，因为(vs,v1)E，并且fs1=11<cs1=15，所以v1可以获得标号(vs,δ1)，其中δ1=min{+∞,

15-11}=4。因为(vs,v2)E，但fs2=cs2，所以v2不能标号。79vsvtv4v2v3v1(15,11)(9,9)(

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+∞)(vs,4)（3）检查与vs，v1相邻的顶点v2，v3，v4，都不满足标号条件，所以标号过程结束，这时vt没有得到标号，由此可知不存在从vs到vt的增广链，所以图中的可行流就是最大流，其流量W=fs1+fs2=11+9=20。

80vsvtv4v2v3v1(15,11)(9,9)(

vsvt

v4

v2

v3

v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+∞)(vs,4)用标号法在求得最大流的同时，可得到一个最小割集，从图可知，标号点的集合为S={vs

,v1}，此时割集为，

81vsvtv4v2v3v1(15,11)(9,9)(例11用标号法求图7.26中从vs到vt的最大流。

v3

vsvt

v5

v2

v4

v1(13,7)(9,9)(4,4)(5,2)(5,5)(5,5)(10,5)(9,7)(6,6)(5,0)(4,0)(4,4)图7.2682例11用标号法求图7.26中从vs到vt的最大流。v3

v3

vsvt

v5

v2

v4

v1(13,7)(9,9)(4,4)(5,2)(5,5)(5,5)(10,5)(9,7)(6,6)(5,0)(4,0)(4,4)图7.26解(0,+∞)(vs,6)(v1,4)(v2,4)(v3,4)(v5,4)83v3vsvtv5v2v4v1(13,7)(9,9

v3

vsvt

v5

v2

v4

v1(13,11)(9,9)(4,0)(5,2)(5,5)(5,5)(10,9)(9,7)(6,6)(5,4)(4,4)(4,4)图7.26(0,+∞)(vs,6)最大流为W=fs1+fs2=11+9=20。

最小割集为84v3vsvtv5v2v4v1(13,11)(9,第七章图与网络理论例1哥尼斯堡七桥问题ABCDABCD哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡城中有一条河，河上有七座连结着两岸和河中的两个小岛，如图7.1所示。问题是一个人能否从一点出发，经过每座桥一次且仅一次，回到原出发点。图7.185第七章图与网络理论例1哥尼斯堡七桥问题ABCDABCD第一节图的基本概念所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V={v1,v2…,

vn}，边的集合记为E={e1,e2…,

em}，vi称为图的顶点，ej称为图的边，若边ej联结vs和vt，则记为(vs,vt)，即ej=(vs,vt)。

则图可以表示为：G=(V,E)，点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。86第一节图的基本概念所谓图，就是顶点和边的集合有些图的边带有方向，这样的图称为有向图。而边不带方向的图称为无向图。图7.7是一个无向图。图7.8是一个有向图。v1v5v2v3v4e1e2e3e4e6e5e7图7.7图7.887有些图的边带有方向，这样的图称为有向图。而边不带方向的图称为在一个图中，若e=(u,v)，则称u,v是边e的端点．并u,v称相邻．称e是点u（v及点）的关联边。若边ei,ej有一个公共的端点u，称边ei,ej相邻。若边e的两个端点是同一顶点，则称此边为环。若两顶点之间有多于一条的边，则这些边称为多重边。如图7.7中，e7是环，e1,e2是多重边。一个不含环和多重边的图称为简单图。含有多重边的图称为多重图。我们这里所说的图，如不特别指明，都是简单图。88在一个图中，若e=(u,v)，则称u,v是边以点v为端点的边的条数称为点v的度，记作d(v),如图7.7中d(v1)=3,d(v3)=1。度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。不难证明：在一个图中，顶点度数的总和等于边数的２倍，奇顶点的个数必为偶数。

链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列;如:v0

,e1,v1,e2,v2

,e3,v3

,…,vn-1,en

,vn;

v0,vn分别为链的起点和终点；

简单链：链中所含的边均不相同；

初等链：链中所含的点均不相同；圈：在链中，若v0=vn则称该链为圈；连通图：图中任意两点之间均至少有一条链相连

，89以点v为端点的边的条数称为点v的度，记作d(第二节树树是一类结构简单而又十分有用的图。一个不含圈的连通图称为树。设图T=(V,E)，含有n个顶点，则下列命题是等价的。（1）T是树。（2）T的任意两顶点之间，有唯一的链相连。（3）T连通且有n－1条边。（4）T无圈且有n－1条边。（5）T无圈但添加一条边得唯一一圈。（6）T连通但去掉一条边则不连通。90第二节树6给定图G=(V,E)，若V’

V,E’

E，并且E’中的边的端点都属于V’

，则称G’=(V’,E’)是G的一个子图。特别地，若V’

=

V，则称G’为G的支撑子图。设T是图G的一个支撑子图，若T是一树，则称T是G的一个支撑树。给定图G=(V,E),对于G的每一条边，可赋以一个实数w(e)，称为边e的权，图G连同它边上的权称为赋权图。赋权图在图论的应用中经常出现。根据实际问题的需要，权可以有不同的实际含义，它可以表示距离、流量、时间、费用等。91给定图G=(V,E)，若V’V给定图G=(V,E),设T=(V,E’)是G的一个支撑树，定义树T的权为即支撑树T上所有边的权的总和。图G的最小支撑树就是图G中权最小的支撑树。求图G的最小支撑树的方法是建立在求图G的支撑树基础上，只需在求图G的支撑树的算法再加适当限制。因此，求最小支撑树方法也有相应的破圈法；避圈法。

92给定图G=(V,E),设T=(V例2分别用破圈法，避圈法求图7.17的最小支撑树。图7.17v1v5v2v3v42v6v7v8343462366458593例2分别用破圈法，避圈法求图7.17的最小支撑树。图7.v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585解破圈法94v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585避圈法：95v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585第三节最短路问题最短路问题，一般来说就是从给定的赋权图中，寻找两点之间权最小的链（链的权即链中所有边的权之和）。许多优化问题都需要求图的最短路，如选址、管道铺设、设备更新、整数规划等问题。由于所求问题不同，需要使用不同的方法。下面我们介绍常用的算法。一、Dijkstra算法Dijkstra算法是求赋权有向图中，某两点之间最短路的算法。实际上，它可以求某一点到其它各点的最短路。它是Dijkstra于1959年提出。目前被认为是求非负权最短路的最好的算法。96第三节最短路问题12Dijkstra算法的基本思想是基于以下原理：若vs,vl,…,vj是vs到vj的最短路，vi是此路中某一点，则vs,vl,…,vi必是从vs到vi的最短路。此算法的基本步骤是采用标号法，给图G每一个顶点一个标号。标号分两种：一种是T标号，一种是P标号。T标号也称临时标号，它表示从vs到这一点的最短路长度的一个上界，P标号也称固定标号，它表示从vs到这一点的最短路的长度（这里最短路长度是指这条路上个边权的和）。算法每一步都把某点的T标号改变为P标号。当终点得到P标号，算法结束。若要求某点到其它各点的最短路，则最多经过n-1步算法结束。97Dijkstra算法的基本思想是基于以下原理：设lij表示边(vi,vj)的权，则Dijkstra算法步骤如下：（1）给始点以P标号P（0,0），给其它各点vj以T标号T(dj,v1)，其中，dj=l1j，（若vj与v1不相邻，则令l1j=+∞）。（2）在所有T标号点中，若vk的T标号最小，则把vk的T标号改为P标号。若最小的T标号不止一个，则可任取一个改为P标号。（3）修改所有T标号T(dj,vt)；dj=min{dj,dk+lkj},若dk+lkj<djvt=vk否则不变。（4）当终点或全部顶点都得到P标号，算法结束，否则返回（2）。98设lij表示边(vi,vj)的权，则Dijkstra算法步骤例3求图7.20中，v1到v8的最短路。图7.20v4v2v1v3v6v5v7v8983834256767109499例3求图7.20中，v1到v8的最短路。图7.20v4图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(3,v1)T(8,v1)100图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(7,v3)T(3,v1)T(8,v1)P(3,v1)101图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(7,v3)T(8,v1)P(3,v1)P(7,v3)T(14,v6)T(16,v6)102图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)T(9,v1)T(8,v1)P(3,v1)P(7,v3)T(14,v6)P(9,v1)P(8,v1)T(17,v2)T(16,v6)103图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)P(3,v1)P(17,v2)P(7,v3)T(14,v6)P(9,v1)P(8,v1)T(17,v2)T(16,v6)P(14,v6)P(16,v6)104图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425图7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解

P(0,0)P(3,v1)P(17,v2)P(7,v3)P(9,v1)P(8,v1)P(14,v6)P(16,v6)105图7.20v4v2v1v3v6v5v7v898383425例4求图7.22中，v1到其它各点的最短路。图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498Dijkstra算法同样可用于求无向图的最短路。106例4求图7.22中，v1到其它各点的最短路。图7.22v图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)T(3,v1)T(4,v1)T(2,v1)107图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)T(3,v1)T(4,v1)T(2,v1)P(2,v1)T(7,v4)T(3,v4)P(3,v1)T(8,v2)T(9,v2)108图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)T(3,v4)P(3,v1)T(8,v2)T(9,v2)P(3,v4)T(6,v3)109图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)P(3,v1)T(8,v2)P(3,v4)T(6,v3)P(6,v3)T(7,v6)T(15,v6)110图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解

P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)T(7,v6)P(7,v6)T(15,v6)T(11,v5)P(7,v4)111图7.22v4v2v1v3v6v5v7v835426344图7.22v4v2v1v3v6v5v