辽宁省丹东市2020～2021学年高一数学下学期期末考试教学质量监测试题【含答案】

辽宁省丹东市2020-2021学年高一数学下学期期末考试教学质量监测试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，若，则＝（）A．﹣3 B．﹣ C． D．33．用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．2π B．4π C．8π D．4．下列命题正确的是（）A．如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的任何一个平面 B．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行5．若z＝1﹣i，则|z•﹣2z|＝（）A．0 B．1 C． D．26．在△ABC中，cosA+sinA＝，则cosA﹣sinA＝（）A．± B．± C．﹣ D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别棱B1C1，D1C1的中点，若AB＝2，则棱台MNC1A． B． C． D．8．在△ABC中，A＝，AB＝4，则|4﹣|的最小值是（）A．4 B．4 C．6 D．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．以下的A，B，C，D四个结论对于任意非零实数a，b都成立，那么对于任意非零复数a，b仍然成立的是（）A．a+≠0 B．若a2＝ab，则a＝b C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．|a|2＝a211．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝75°，a＝2bcosB，则A的可能取值为（）A．30° B．35° C．45° D．70°12．将函数y＝sinx的图像向左平行移动个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f（x）的图像，那么（）A． B．若x1，x2是f（x）的2个零点，则x1﹣x2＝，k∈Z C．函数y＝f（x）﹣0.9在（﹣π，π）内有4个零点 D．若f（x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的倍．14．写出一个最小正周期为1的偶函数f（x）＝．15．已知单位向量，满足与垂直，则与的夹角＜，＞＝．16．中国古代的数学具有很高水平，宋代数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，是据三角形三边长度计算三角形面积的算法：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．也就是说：若△ABC的三边长度分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．那么“三斜求积术”的这个公式中的①处应该填写的式子是．（用关于a，b，c的式子表示）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．设函数f（x）＝cos（x﹣2π）sin（x+π）tanx+cos（﹣x）sin（x+）．（1）化简f（x）；（2）若tanα＝2，求f（α）值．18．如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，已知A，B，M，N在同一个铅锤平面内（如图所示）．已知在点A处测得山顶M，N的俯角分别为75°，30°，点B处测得山顶M，N的俯角为45°，60°．已知AB＝100m．求两山顶点M，N之间的距离MN．19．如图，正四面体A﹣BCD棱长为6．（1）求正四面体A﹣BCD的体积；（2）若P是侧面ACD内的一点，过点P作一个截面α，使得AB与CD都与截面α平行，作出截面α与正四面体A﹣BCD各面的交线，并写出作法．20．已知函数f（x）＝x．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．（1）证明：平面PCD⊥平面PAE；（2）已知二面角P﹣CD﹣A的平面角的余弦为，求PD与平面PAE所成角的正弦值．22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（B+C）＝2．（1）求cosA；（2）点D在平面ABC内，D与A在直线BC两侧，若AD＝c＝3b，∠BDC＝90°，求tan∠DBC．

答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由．知复数的实部为，虚部为．所以，复数对应的点位于第二象限．故选：B．2．已知向量，，若，则＝（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3解：因为向量，，若，所以﹣cosθ﹣2sinθ＝0，可得tanθ＝﹣，则＝＝＝．故选：C．3．用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．2π B．4π C．8π D．解：∵用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，∴截面的半径r＝1，∴球半径R＝＝，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．故选：C．4．下列命题正确的是（）A．如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的任何一个平面 B．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行解：对于A，如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的平面或m⊂经过n的平面，故A错误；对于B，如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行或相交，故B错误；对于C，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，所以只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可，所以过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C正确；对于D，如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行或异面，故D错误．故选：C．5．若z＝1﹣i，则|z•﹣2z|＝（）A．0 B．1 C． D．2解：∵z＝1﹣i，∴z•﹣2z＝（1﹣i）（1+i）﹣2（1﹣i）＝2i，∴|z•﹣2z|＝|2i|＝．故选：D．6．在△ABC中，cosA+sinA＝，则cosA﹣sinA＝（）A．± B．± C．﹣ D．解：在△ABC中，cosA+sinA＝，两边平方，可得1+sin2A＝，可得sin2A＝，因为A∈（0，π），则cosA﹣sinA＝±＝＝＝±．故选：A．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别棱B1C1，D1C1的中点，若AB＝2，则棱台MNC1A． B． C． D．解：如图S，S，棱台MNC1﹣BDC的高为CC1＝2，∴棱台MNC1﹣BDC的体积V＝＝＝．故选：B．8．在△ABC中，A＝，AB＝4，则|4﹣|的最小值是（）A．4 B．4 C．6 D．6解：设AC＝b，则4＝4（）﹣＝3，所以|4|＝|3|＝＝＝4＝4，当b＝时，|4|取得最小值为4×，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：在平面直角坐标系中，集合中，当k＝3n，n∈Z时，α的终边落在x轴的非负半轴上；当k＝3n+1，n∈Z时，α的终边落在与相同的终边上；当k＝3n+2，n∈Z时，a的终边落在与相同的终边上．则终边不会出现在第一象限和第四象限故选：AD．10．以下的A，B，C，D四个结论对于任意非零实数a，b都成立，那么对于任意非零复数a，b仍然成立的是（）A．a+≠0 B．若a2＝ab，则a＝b C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．|a|2＝a2解：对于A，取a＝i，则，故A错误；对于B，若a2＝ab，则a（a﹣b）＝0，∵复数a≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，故B正确；对于C，由复数满足多项式乘多项式运算，可得（a+b）2＝（a＝b）（a+b）＝a2+2ab+b2，故C正确；对于D，取a＝i，则|a|2＝|i|2＝1，a2＝i2＝﹣1，故D错误．故选：BC．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝75°，a＝2bcosB，则A的可能取值为（）A．30° B．35° C．45° D．70°解：在△ABC中，已知C＝75°，所以A+B＝105°，由于a＝2bcosB，利用正弦定理，sinA＝2sinBcosB＝sin（180°﹣A），sin2B＝sin[2（180°﹣A﹣C）]＝sin（210°﹣2A所以A＝2B或180°﹣A＝210°﹣2A（1）当A＝2B时，由于A+B+C＝180°，所以B＝35°，故A＝70°，（2）当180°﹣A＝210°﹣2A时，解得A＝30°故：A＝30°或70°．故选：AD．12．将函数y＝sinx的图像向左平行移动个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f（x）的图像，那么（）A． B．若x1，x2是f（x）的2个零点，则x1﹣x2＝，k∈Z C．函数y＝f（x）﹣0.9在（﹣π，π）内有4个零点 D．若f（x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值为解：将函数y＝sinx的图像向左平行移动个单位，可得y＝sin（x+）的图像，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，可得f（x）＝sin（2x+）的图像，故A错误；若x1，x2是f（x）的2个零点，则x1﹣x2＝k×＝k××＝，k∈Z，故B正确；函数y＝f（x）﹣0.9，即sin（2x+）＝0.9，在（﹣π，π）内，2x+∈（﹣，），sin＝sin（﹣）＝＜0.9，故f（x）的图像和直线y＝0.9在（﹣π，π）内有4个交点，故C正确；若f（x+φ）＝sin（2x+2φ+）是奇函数，则2φ+＝kπ，k∈Z，则|φ|的最小值为﹣，此时，k＝0，故D正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的2倍．解：如图，设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，∴圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为πr2，∴侧面积是底面积的2倍．故2．14．写出一个最小正周期为1的偶函数f（x）＝cos2πx．解：一个最小正周期为1的偶函数f（x）＝cos2πx，故cos2πx．15．已知单位向量，满足与垂直，则与的夹角＜，＞＝135°．解：根据题意，单位向量，满足与垂直，则有（）•＝2+•＝0，变形可得：•＝﹣，则cos＜，＞＝＝﹣，又由0°≤＜，＞≤180°，故＜，＞＝135°，故135°．16．中国古代的数学具有很高水平，宋代数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，是据三角形三边长度计算三角形面积的算法：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．也就是说：若△ABC的三边长度分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝．那么“三斜求积术”的这个公式中的①处应该填写的式子是c2+a2﹣b2．（用关于a，b，c的式子表示）解：＝＝＝．故a2+c2﹣b2．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．设函数f（x）＝cos（x﹣2π）sin（x+π）tanx+cos（﹣x）sin（x+）．（1）化简f（x）；（2）若tanα＝2，求f（α）值．解：（1）因为cos（x﹣2π）＝cosx，sin（x+π）＝﹣sinx，，cos（﹣x）＝cosx，．所以f（x）＝﹣sin2x+cos2x＝cos2x．（2）因为．将tanα＝2，代入可得．18．如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，已知A，B，M，N在同一个铅锤平面内（如图所示）．已知在点A处测得山顶M，N的俯角分别为75°，30°，点B处测得山顶M，N的俯角为45°，60°．已知AB＝100m．求两山顶点M，N之间的距离MN．解：由题设∠AMB＝60°在△ABM中，根据正弦定理得．因为，可得．由题设∠ABN＝120°，∠ANB＝30°，所以AB＝BN，因此AN＝2ABcos30°＝300．在△MAN中，∠MAN＝45°，根据余弦定理得．19．如图，正四面体A﹣BCD棱长为6．（1）求正四面体A﹣BCD的体积；（2）若P是侧面ACD内的一点，过点P作一个截面α，使得AB与CD都与截面α平行，作出截面α与正四面体A﹣BCD各面的交线，并写出作法．解：（1）设△BCD中心为O，连接AO，OD，则AO⊥平面BCD．因为正四面体A﹣BCD棱长为6，所以．从而．因为△BCD的面积，于是四面体A﹣BCD的体积为．（2）在平面ACD内过点P作与CD平行的直线，分别与AC，AD相交于点E，F．在平面ABD内过点F作与AB平行的直线，与BG相交于点G．在平面BCD内过点G作与CD平行的直线，与BC相交于点H，连接EH．则截面α与正四面体A﹣BCD各面的交线分别为EF，FG，GH，HE．20．已知函数f（x）＝x．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值．解：（1），f（x）的最小正周期T＝π，由，可得f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（2）当时，，因为f（x）在区间上的最大值为，所以可以取到最大值1，从而，可得，m的最小值为．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝