行列式的计算技巧与方法总结

行列式的计算技巧与方法总结（修改

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行列式的若干计算技巧与方法内容摘要行列式的性质行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式“爪”字型行列式“么”字型行列式“两线”型行列式“三对角”型行列式范德蒙德行列式行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即aiia12a1naiia12a1naiia12a1nan1an2annan1annan1ann性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即aiia12a1naiia12a1naiia12a1nan1an2annan1annan1ann性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零-即aa1112....••aai1i2....••kakai1i2..••aan1n2a1n..•ain.kain.annaa1112.:•:•aai1i2=k::^-TV••aai1i2,,::••aan1n2a1nain:=0.ainann性质1行列互换，行列式不变.即aa...aaa...a11121n1121n1aa..•aaa..•a21222n=1222n2.----****..•.•：：.：••••••••aa...aaa...an1n2nn1n2nnn性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式.即a11.:•a12.:••••:•a1n.:•a11:.a12.:••••:•a1n.:•kai1.:•kai2:••:•kain.:•=kaKi1:.ai2:••:•ain.:•an1an2•annan1an2•ann

性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11:a12•・・・•a1n•a11•a12•・・・•a1n•a+caa+ca・・・a+caaa・・・ai1k1i2k2inkni1i2in•••••••■.aa・・・aaa・・・•.ak1■.k2••kn•k1•k2••kn•aa・・・aaa・・・an1n2nnn1n2nn性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即aa…aaa••・a11••12••••1n••11••12••••1n•••aa…aaa•ai1.•i2••••in.•k1••k2••••kn•••aa…a——aa•a.k1••k2..••••kn••i1••i2••••in•••aa…aaa•an1n2nnn1n2nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即aa・・・aa11121,n-11n.・・.••••••••••00・・・00=0.....••••••••••aa・・・aan1n2n,n-1nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法定义法有一适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性・

TOC\o"1-5"\h\z0001例1计算行列式0320.4000解析:这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!=24项，但由于出现很多的■，所以不等于,的项数就大大减少・具体的说，展开式中的项的一般形式是aaaa.显然，如果j^4，那么a=0,从而这个项就等于零•因此只1j2j23j34j411j1须考虑j=4的项，同理只须考虑j2=3，j3=2,j4=1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有aaaa，而t（4321）=6，所以此项取正号.故1423324100010020/）r、=11A（4321）aaaa=24.0300142332414000利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式.化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：aaaa11aaaa1112131n0aaa22232n00aa333n::::•••000anna11a210a2200..=a11a22.••^a,a31:a32:a33:.an1an2an3…a1a+b:^a・・.2^a・・.2:anan:.a1^a・・.2an+bn1例2计算行列式D=1n+1:000=aa...a.:ann解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的（-1）倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零.即：化为上三角形・解：将该行列式第一行的（-1）倍分别加到第2,3・・・3+1）行上去，可得Dn+Dn+11aa...a0b000-bb...b・000...bn连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多等，从而简化行列式的计算.这类计算行列式的方法称为连加法.例3计算行列式D-nx2x2-mxnxn

Ex-m例3计算行列式D-nx2x2-mxnxn解：Dn另Ax-mii=1-1XX1XX2n2n)1X-mx（寸）0-m…0X-m2n=,,,,ex-m,,,,i::•一:i::•一:J•,•,ki=1J•,•,1XX-m00…-mi=12n(X""i=1滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行123212例4计算行列式D=321n,..:::nn-1n-2的若干倍，这种方法叫滚动消去法.••n—1n••n—2n—1••n-3n-2(n>2).•.::••21解：从最后一行开始每行减去上一行，有111123100=2n-2110:::111逐行相加减n-1n123…n-1n-1-1200…0-2-1:-1:=22::0-…0-2:1-1111•.:…1-1n-1n+1000:0=(-1)n+1(n+1)2n-2.10对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零•用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法・例5计算行列式D=—a100a01-aa220-a30011000000::-aann11解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:—a1000-a0200-a:::•••000123D=3-00-00-00.::--a0n-nn+1=("n+2(-11(n+1)a1a2a=(-11(n+1)aa…a.12n降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解・按某一行(或列)展开x-10...000x-1...0000x00例6解行列式D=n:-:::000.x-1aaa.aann-1n一221解：按最后一行展开，得D=axn-1+axn-2+...+ax+a.按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k(1<k<n-1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即D=MA+MA++MA，其中A是子式M对应的代数余子式.1122nnii即人bayAnnCnnAnn0aP0B"nn，Bnn，nnCB""=AnnBnn-nna…aP…P例7解行列式D=bPyP---P.n\b:P:P:.•P--:-y解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得

D=n入b=0:入b0:0ayP-YY:0(n-1)ay+(n-2)0:aP-P\0PYaP0:0aP-P:…………aP0:aP0\Y-p•…•…•…・.aP0:0000…Y-P人(n—1)aY-P0…0=bY+(n-2)p・:::t00…y-P=&+/-2)p-(n-1abb-”-2.升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化筒算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法.升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.011…11101…11-110…11例8解行列式D=.:::::111…01111…10解：使行列式D变成n+1阶行列式，即

111…11001…11010…11D=:::::011…01011…10再将第一行的(-1)倍加到其他各行，得:111…11-1-10…00-10—1…00D=...♦::•:•:.:••-100…-10-100…0-1从第二列开知每列乘以(-1)加到第一列，得:-(n-1)11…110-10…0000—1…00D=:::::000…-10000…0-1(-*+1(n-—1).数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明.对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法・cosP10…0012cosP1…00例9计算行列式D=0n:1:2cosP:…0:0♦:000…2cosP1000…12cosP

解:用数学归纳法证明.当n=1时，D1=cosp.当n=2当n=2时，D2cosp112cosp=2cos2p-1=cos2p.猜想，猜想，D=cosnp.由上可知，当n由上可知，当n=1,n=2时，结论成立.假设当n=k时，结论成立.即：D=coskp.现证当n=k+1时，结论也成立.cosp1000假设当n=k时，结论成立.即：D=coskp.现证当n=k+1时，结论也成立.cosp100012cosp100“，八012cosp-00当n=k+1时，D=.k+1:::•.::000••2cosp100012cosp将D按最后一行展开，得k+1cosp10…012cosp1…0D=(-1)k+1+k+1.2cosp012cosp…0k+1:::•:000…2cospcosp10…012cosp1…0+(-1)k+1+k0:1:2cosp:…0•:000…1k=2cospD^-D-1.因为D^=coskp,D-1=cos(k-1)p=cos如-p)=coskpcosp+sinkpsinp,=2cosPcoskP-coskPcosP-sinkPsinP=coskPcosP-sinkPsinP=cos（k+1）P.结论这就证明了当n=k+1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数,都成立.结论即：D=cosnP.递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD+bD1+cD2=0.则作特征方程ax2+bx+c=0.若△。0，则特征方程有两个不等根，则Dn=AXn-1+BXn-1.若A=0，则特征方程有重根x1=x2，则D=（A+nB）x《-1・在①②中，A,B均为待定系数，可令n=1,n=2求出.9500…0004950…000.一0495…000例10计算行列式D=...n::::.•.：::.0000…4950000…049解：按第一列展开，得D=9D1-20D2.即D-9D1+20D2=0.作特征方程x2-9x+20=0.解得x=4,x=5.则D=A•4n-1+B•5n-1.当〃=1时，9=A+B;当n=2时，61=4A+5B.解得A=-16,B=25,所以D=5n+1-4n+1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法拆行例）法概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值・拆行例）法有两种情况，一是行列式中有某

行例）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行例）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和・例题解析例111—a1—1计算行列式D=0n:a21—a2—1:0a31—a3:…0…0…0:000•:000…1—aan—1n000…一11—a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1—aa0…0012一1+01—aa…00230+0—11—a…00•:・.:•3.:•:••:・0+000…1—aan—1n0+000…—11—anDn1a0…002—11—aa…00230—11—a…00=3...::::••••:•000…1—aan—1n000...—11—an—aa0…001201—aa.00230—11—a.00+•.3•••.::::••••:•000…1—aan—1n000…一11—an上面第一个行列式的值为1，所以TOC\o"1-5"\h\z1-aa…0023-1a…003D=1-a::\::00…1-aan-1n00…-11-an=1—aD.这个式子在对于任何n(n>2)都成立，因此有D=1-a1D1=1-a(-aD)==1-a+aaHF(—1>-1aa•••a12n-211212n=1+8(-1)'Ha.j'=1j=1构造法概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值・例题解析11…1例12求行列式D=nX1X2X2X2Xn…X21:Xn—21Xn12:Xn—22Xn2n::…Xn-2n••Xnn.解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n+1阶的范德蒙德行列式来间接求出D的值.n构造n+1阶的范德蒙德行列式，得fG)=1111xxxx1fG)=1111xxxx12nx2x2x2x212n..,,，•,,•xn-2xn-2,•xn-2xn-212nxn-1xn-1-,xn-1xn-112nxnxnxnxn12nf(x)=A11+A2,n+1%+…+Li+'n+1^，其中，xn-1的系数为1=(-1>+G+1)D=-D・又根据范德蒙德行列式的结果知f(x)=(x-x)x-x)…(x-x)n(x-x).TOC\o"1-5"\h\z12nij1<j<i<n由上式可求得xn-1的系数为-(x+x…x)n(x-x).12nij故有D=(x+xHFx)n(x-x).n12nij特征值法概念及计算方法设七，气，…气是n级矩阵A的全部特征值，则有公式|a|=入久…人.故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式.例题解析例13若％,气，…七是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零.证明：因为冈=%气…七，则A可逆o|A|。0=…人。0。人。0《=1,2…n).12ni即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法三角形行列式概念aaaaa形如a33•・・^a1n•・・^a2n•••a，:a11a21a31■.a22a32\a33\这样的行列式，形状像个三annan1an2an3…ann角形，故称为“三角形”行列式・计算方法由行列式的定义可知,aaa^aa00.01112131n110aa•^aaa0.022232n212200a・^a=aa・..a,aaa•0=aa•••a333n1122nn3132331122nn.......,,,•••.•••,000.aaaa.annn1n2n3nn“爪”字型行列式

a0b1b2…bnb…b2b1a0cnan形如c1c2a1a2,a2a1c1c2-c2a2*:cnan••an:cnc1a0a1b1b2…bancn-a2c2这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行b…ba1bc1an210列式・计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式・此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.例题解析a11a11例14计算行列式1:111a2a3，其中a,丰0,i=1,2,…n.an分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第i(i=2,3,•••〃.)列1元素乘以--后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式・aia1111a2a1111a2解:1:a31^n1a一乙一111a0=2'a02a“么”字型行列式概念caacb…bbann01n210•-••bacac112.11形如ca,ba•.,ac,2222.22ca•.c••iinabb…bbaac012nnnnnabbaabb…bnnnn012nc:ccann11•.ab,ba.,ca,222222cabbac211112caacca1001nnaccann10cab211ac,•••ab这样的行列式，形状像个“么”字，22.22acc•b11n1b…bbaabn210nn因此常称它们为“么”字型行列式.计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.注意：消第一撇的方向是沿铲么”的方向，从后向前，利用an消去乌，然后再用a消去c，依次类推.n-1n-1例题解析例15计算n+1阶行列式Dn+1解：从最后一行开始后一行加到前一行Dn+1-1+E£：ii=解：从最后一行开始后一行加到前一行Dn+1-1+E£：ii=1-bn-1bn（即消去第一撇），得=(-件.(-1)[-1+寸b}Ii=1i)b+bn-1ibn=(-1质-1+ubi=1“两线”型行列式概念形如bia2这样的行列式叫做“两线型”行列式.…b…bn-1…anbn计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解・例题解析

TOC\o"1-5"\h\zab0…0ii

0ab…022例16求行列式D=：：：：：n

000…bn-1b00…ann解：按第一列展开，得ab…0b0…022ib2…0D::.•.：=a+b(-1)+ia2=aa・..a+(—1)+1bb,・・b.n+1i00…bn:::12n12nn-100…an00…bn-1“三对角”型行列式概念a+bab000…001a+bab00…0001a+bab0…00形如::::::.这样的行列式，叫做“三对角:00000…a+bab00000…1a+b型”行列式.计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.例题解析a+bab000…001a+bab00…0001a+bab0…00例17求行列式D=n:::::::00000…a+bab00000…1a+b

解:按第一列展开，得D=（a+b）D-ab100a+b10aba+b0…0…ab…000000=（a+b）D-abDnn-1:•a+b••n-10000…a+bab0000…1a+b变形，得D_ctDn=b（Dn-1n-1_uDn—2）.由于_D=a+b,D=。2+ab+9从而利用上速递推公式得TOC\o"1-5"\h\zD-aD—b（D-aD）=加（0-aD）=•••=笊-2（D-aD）=.nn-1n-1n—2〃-2n—321故D=aD+b»—（SuD+/?«-ib»=•••=Qn-iD+an-^b^+,,,+ab«-i+bnnn-1n—21=（Jn+Cln-lb+•・•+Clbn-1+]}n.Vandermonde行列式形如ai。21形如ai。21a2。22a3。2.3an。2n这样的行列式，成为〃级的范德蒙德行列式.。"―11计算方法

111…1a1a2a3…an=nC-a)通过数学归纳法证明,可得a21a22a23…a2n::::1<j<i<1an—11an—12an—13…an—1n例题解析11…1X1X2…Xn例18求行列式D=nX21:X22:…:X2n.:Xn—21Xn—22…Xn—2nXn1Xn2…Xnn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n+1阶的范德蒙德行列式来间接求出D的值.n构造n+1阶的范德蒙德行列式，得1111XXXX12nX2X2X2X212n..,=::::••Xn-2Xn—2,,Xn—2Xn—212nXn—1Xn—1•,Xn—1Xn—112nXnXnXnXn12n将f《）按第n+1列展开，得fG)=A1,n+1n,n+1S'*1+1,n+1^，其中，Xn-1的系数为A=(—fG)=A1,n+1n,n+1S'*1+1,n+1^，又根据范德蒙德行列式的结果知fG)=G—X)X—X)…(X—X)nt—X)TOC\o"1-5"\h\z12nij1<j<i<n由上式可求得Xn-1的系数为—(X+X…X)n(x—X)12nij故有D=G+xHFx)n(—x).n12nij5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行.下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.降阶法和递推法例19计算行列式D=分析：乍一看该行列式，n并没有什么规律・但仔细