平面直角坐标系及其应用

-平面直角坐标系〔根底〕知识讲解【学习目标】【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念平面直角坐标系在平面画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为*轴或横轴，习惯上取向右为向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.点的坐标平面任意一点P，过点P分别向*轴、y轴作垂线，垂足在*轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对〔a,b〕叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：〔1〕表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用"，〞隔开．〔2〕点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到*轴的距离.(3)对应的．要点三、坐标平面象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如下列图的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个局部，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如以下列图．要点诠释：〔1〕坐标轴*轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．〔2坐标平面的构造轴，y限.这六个区域中，除了轴与y1.各个象限和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：〔1〕对于坐标平面任意一个点，不在这四个象限，就在坐标轴上.〔2〕坐标轴上点的坐标特征：*轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．〔3〕根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标. z.-平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于*轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．平行于坐标轴的直线上的点平行于*轴的直线上的点的纵坐标一样；平行于y轴的直线上的点的横坐标一样.【典型例题】类型一、有序数对"13排1013,1010,13位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要"约定〞顺序，一旦顺序"约定〞，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．举一反三：【变式地10:00时气温是6℃，表示(10，6)，(3，-7)表．【答案】3:00时该地气温是零下7℃．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念如图，写出点ABCD【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A2，3BCD的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．【总结升华】平面直角坐标系任意一点到*轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既*轴的上方，又在y轴的左边，且距*轴轴分别为5个单位长度和4个单位长度，则点A的坐标( ).A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)【答案】D.3.在平面直角坐标系中，描出以下各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．【答案与解析】解：因为点A的坐标是(4，3)，所以先在*轴上找到坐标是4的点M，再在y轴上找到坐标. z.-是3的点M作*N作yA，同理可描出点B、D．所以，点A、B、C、D在直角坐标系的位置如下列图．【总结升华】对于坐标平面任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有一对应的．举一反三：O〔30B的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征指出以下各点所在的象限或坐标轴．A(4，5)、B(-2，3)、C(-4，-1)、D(2.5，-2)、E(0，-4)、F(3，0)、G(0，0).【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限．【答案与解析】解：点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限，点E在y轴上，点F在*轴上，点G在原点上．轴上，又在y轴上．举一反三：【变式1】点A(3，n)在第四象限，*轴的距离为4．则点A的坐标．【答案】(3，-4)．【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习3】【变式2】假设点P(a,b)在第二象限，则：〔1〕点P1〔a,-b)在第象限；〔2〕点P2〔-a〔3〕点P3〔-a,-b)在第象限；〔4〕点P4〔b,a)在第象限.【答案】〔1〕三；〔2〕一；〔3〕四；〔4〕四.点A(-3，2)与点B(*，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到*轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由"点A(-3，2)与点B(*，y)在同一条平行于y轴的直线上〞可得点B的横坐标；由"点B到*轴的距离等于3〞可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标一样，∴ *＝-3．. z.-∵点B到*轴的距离为3，∴ y＝3y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到*轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】假设*轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为〔〕.〔，〕 30〕或3〕C〔，〕 D0，〕或，【答案】B.【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习4〔5】【变式2】在直角坐标系中，点P(*,y)在第二象限且P到*轴轴的距离分别为则P的坐标；假设去掉点P在第二象限这个条件，则P的坐标.〔-5,25，2-5,25，-25，-2〕.平面直角坐标系〔提高〕稳固练习【稳固练习】【稳固练习】一、选择题1．A地在地球上的位置如图，则A地的位置是〔.A.东经130°，北纬50° B.东经130°，北纬C.东经140°，北纬50° D.东经40°，北纬50°点〔a，-2〕在二、四象限的角平分线上，则aＡ．2Ｂ．-2Ｃ．12

Ｄ．12点M到*轴y轴的距离分别为4和6，且点M在*轴的上方y轴的左侧，则点M的标为( ).A．(4，-6) B．(-4，6) C．(6，-4) D．(-6，4)4．A(a，b)、B(b，a)表示同一个点，则这个点一定( ).A．第二、四象限的角平分线上 B．第一、三象限的角平分线C．平行*轴的直线上 D．平行于y轴的直线上点M(a，b)，过M作MHx轴于H，并延长到N，使NHMH，且N点坐标为(2，3)，则ab( ).Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．—1 Ｄ．—5()在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，形的部不含边界上的点．观察如下列图的中心在原点，一边平行*轴的形：边长为1的形部有一个整点边长为2的形部有1个整点边长为3的形部有9个整点则边长为8的形部的整点的个数为( ).A．64B．49C．36D．25二、填空题. z.-点到两坐标轴的距离相等，则P点的坐标．线段AB3*轴，点A2，-5B如果点A(0，1)，B(3，1)，点C在y轴上，且△ABC的面积是5，则C点坐标 ．10.设y为有理数，假设则点〕在象.11．观察以下有序数对：(3，-1)、5,17,1、9,1、……根据你发现的规 2 3 4 律，第100个有序数对．

在平面直角坐标系中，点、、C的坐标分别为B(-3，-1)，C(-1，-1)，且D在轴上.顺次连接这4个点得到的四边形是平行四边形，则D点的坐标13．平面直角坐标系两点M(5，a)，N(b，-2)．假设直线轴，则a ，b ；(2)假设直线MN∥y，轴，则a ，b 假设点的坐标满*+y＝*y，则称点P为"和谐点〞请写出一和谐点〞的坐标，．三、解答题15．如图，棋子"马〞所处的位置为(2，3)．(1)你能表示图中"象〞的位置吗.写出马〞的下一步可以到达的位象棋"马〞日〞字" 〞字)16．如图，假设*〔*〕均为第一象限的点BC三点不在同一条直线1 1 2 2上.求△OBC*、*、y、y1 2 1 2如图，假设三个点的坐标分别为A〔2,5B7,7C〔9,1OABC的面积.OAB变换成三角形OAB11角形OAB变换成三角形OAB，第三次将三角形OAB变换成三角形OAB，A(1，2)，A(2，11 22 22 33 12)，A(4，2)，A(8，2)；B(2，0)，B(4，0)，B(8，0)，B(16，0)．2 3 1 2 3OAB33

变换成三角形OAB，则A的坐标，B的坐标；44 4 4(1)中找到的规律将三角形OAB进展n次变换，得到三角形OAB，推测A的坐标，Bn

的坐标．

nn n〔3〕求出的面积．【答案与解析】一、选择题C.A；【解析】因为〔a，-2〕在二、四象限的角平分线上，所以a+(-2)=0，即a=2.D；【解析】根据题意，画出以下列图，由图可知M〔-6，4〕.B；【解析】由题意可得：ab，横坐标等于纵坐标的点在一三象限的角平分线上.B；. z.--.z..z.【解析】由题意知：点M〔a，b〕与点N〔-2，-3〕关于*轴对称，所以M(-2,3).B；1二、填空题〔1，1〕或〔2，-2【解析】2a2，得a0或a1，分别代入即.〔5，-5-1，-5〕；【解析】xB

235或-1，而yB

5．07〕或〔0133 3【解析】AB3，由△ABC的面积是5，可得△ABC的边AB上的高为10，又点3C在y轴上，所以x

0，

110

13或-7.C【答案】二；

C 3 3 3【解析】由绝对值的非负性，可得*，y的值，从而可得〔*，y〕所在的象限．11.【答案】201,

1 ;100100-n+1(2n1)，纵坐标的规律：(1n1.n12.【答案】(0，1)或(-4，1)；【解析】xD

224，yD

1.1【答案(1-2，； (2≠-，＝；2，2)或(0，0三、解答题【解析】解：(1)(5，3)； (2)(1，1)