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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在的展开式中,的系数为()A.-120 B.120 C.-15 D.152.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位3.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元5.在中,,则()A. B. C. D.6.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.7.己知集合,,则()A. B. C. D.8.若与互为共轭复数,则()A.0 B.3 C.-1 D.49.展开项中的常数项为A.1 B.11 C.-19 D.5110.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.11.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷,四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个,每个景点去一人.已知:①甲不在远古村寨,也不在百里绝壁;②乙不在原始森林,也不在远古村寨;③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件;④丁不在百里绝壁,也不在远古村寨.若以上语句都正确,则游玩千丈瀑布景点的同学是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁12.已知向量,,若,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,则________;满足的的取值范围为________.14.戊戌年结束,己亥年伊始,小康,小梁,小谭,小杨,小刘,小林六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分别奔赴四所不同的学校参加演讲,则不同的分配方案有_________种(用数字作答),15.记为数列的前项和,若,则__________.16.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.18.(12分)某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动,当天各店铺销售额破十亿,为了提高各店铺销售的积极性,采用摇号抽奖的方式,抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额(单位:千元)的频率分布直方图.(1)求抽取的这家店铺,元旦当天销售额的平均值;(2)估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家;(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案,销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究,求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.19.(12分)某单位准备购买三台设备,型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中,随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台,调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数,并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号A30300频数型号B203010型号C04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率,各台设备在易耗品的使用上相互独立.(1)求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率;(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据,该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品?20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若正数、满足,求证:.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线交于两点.(1)求的长;(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离.22.(10分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
写出展开式的通项公式,令,即,则可求系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,即时,系数为.故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式,属基础题.2.A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.3.D【解析】
由复数除法运算求出,再写出其共轭复数,得共轭复数对应点的坐标.得结论.【详解】,,对应点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念,考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.4.D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.5.A【解析】
先根据得到为的重心,从而,故可得,利用可得,故可计算的值.【详解】因为所以为的重心,所以,所以,所以,因为,所以,故选A.【点睛】对于,一般地,如果为的重心,那么,反之,如果为平面上一点,且满足,那么为的重心.6.A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.7.C【解析】
先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.8.C【解析】
计算,由共轭复数的概念解得即可.【详解】,又由共轭复数概念得:,.故选:C【点睛】本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.9.B【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的,所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项,有3种情况:(1)5个括号都出1,即;(2)两个括号出,两个括号出,一个括号出1,即;(3)一个括号出,一个括号出,三个括号出1,即;所以展开项中的常数项为,故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程,考查定理的本质,即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.10.B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.11.D【解析】
根据演绎推理进行判断.【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨,必有丙同学去了远古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.故选:D.【点睛】本题考查演绎推理,掌握演绎推理的定义是解题基础.12.B【解析】
直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标,利用求得参数m,再用计算即可.【详解】依题意,,而,即,解得,则.故选:B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用,考查运算求解能力以及化归与转化思想.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
首先由分段函数的解析式代入求值即可得到,分和两种情况讨论可得;【详解】解:因为,所以,∵,∴当时,满足题意,∴;当时,由,解得.综合可知:满足的的取值范围为.故答案为:;.【点睛】本题考查分段函数的性质的应用,分类讨论思想,属于基础题.14.1080【解析】
按照先分组,再分配的分式,先将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,然后用分步计数原理求解.【详解】将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,则不同的分配方案有种.故答案为:1080【点睛】本题主要考查分组分配问题,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.15.-254【解析】
利用代入即可得到,即是等比数列,再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4为首项,2为公比的等比数列,所以,即,所以。故答案为:【点睛】本题考查已知与的关系求,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.16.750【解析】因为0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1,得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.005三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见详解.【解析】
(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】解:(1),,,因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,,,等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.18.(1)元;(2)32家;(3)分布列见解析;【解析】
(1)根据频率分布直方图求出各组频率,再由平均数公式,即可求解;(2)求出的频率即可;(3)中的个数的所有可能取值为,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【详解】(1)频率分布直方图销售额的平均值为千元,所以销售额的平均值为元;(2)不低于元的有家(3)销售额在的店铺有家,销售额在的店铺有家.选取两家,设销售额在的有家.则的所有可能取值为,,.,,所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.19.(1)(2)应该购买21件易耗品【解析】
(1)由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可;(2)由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.【详解】(1)由题中的表格可知A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为;B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为;C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为;设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则,,,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则而,,故,即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.(2)以题意知,X所有可能的取值为;;;由(1)知,,若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,;;;;;若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,;;;;,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.20.(1);(2)见解析【解析】
(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分别解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【详解】(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集为;(2),,,,,当且仅当,即时取等号,,当且仅当即时取等号,.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,考查三角不等式的应用及基本不等式的应用,是一道中档题.21.(1);(2).【解析】
(1)将直线的参数方程化为直角坐标方程,由点到直线距离公式可求得圆
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