《统计学》第三章-统计分布的数值特征解读课件

第三章统计分布的数值特征第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量第二节分布的离散趋势第三节分布的偏度和峰度第三章统计分布的数值特征第一节分布的平均水平、集中1第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量2一、统计平均数的含义与作用1.统计平均数average：表示现象总体各单位某一标志值在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。2.作用：1）反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平。2）比较同类现象在不同单位的发展水平3）比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。4）分析现象之间的依存关系。一、统计平均数的含义与作用1.统计平均数average：表示33.分类：

按其具体代表的含义和计算方式的不同，分为数值平均数和位置平均数。1）数值平均数：

A）定义

B）特点

C）种类按计算方法不同，分为：算术平均数、调和平均数、几何平均数和幂平均数。3.分类：

按其具体代表的含义和计算方式的不同，分为数值平均42）位置平均数：A）定义：用处于数列中特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值。B）特点：对数据的概括能力不如数值平均数的强，但是不易受数列中极端值的影响。C）种类：常用的位置平均数有众数和中位数两种。2）位置平均数：5二、数值平均数(一)算术平均数arithmeticmean1.计算平均数的要求：总体标志总量必须是总体各单位标志值的总和，标志值和单位之间存在一一对应关系。二、数值平均数(一)算术平均数arithmeticmea62.计算方法，均值Meanvalue1）简单算术平均数。简单算术平均数主要用于未分组资料,计算公式：式中，代表算术平均数，xi表各单位标志值，N代表总体单位数。2.计算方法，均值Meanvalue72）加权算术平均数WeightedaverageA）加权算术平均数主要用于原始资料已经分组，并得出次数分布的条件。计算公式：

fi为各组标志值出现的次数2）加权算术平均数Weightedaverage8B)权数的选择问题

相对指标计算平均数，要根据指标的经济涵义，选泽合适的权数。并非所有的频数都可以作为权数。B)权数的选择问题93.是非标志的平均数percentage具有某种性质的单位占总体的比率为p，不具有该种性质的单位占总体的比率为q，以1作为“是”，具有某种性质的单位的标志值，以0作为“非”，不具有某种性质的单位的标志值。按加权算术平均数公式计算，得到：p为总体中具有某种属性的单位成数，N为总体单位数。成数是是非标志的平均数。3.是非标志的平均数percentage104.算术平均数的数学性质1）算术平均数与标志值个数的乘积等于各标志值的总和。2）各个标志值与其算术平均数的离差之和等于零。3）各标志值与算术平均数离差的平方和为最小值。4）对被平均的变量实施某种线性变换后，新变量的算术平均数等于对原变量的算术平均数实施同样的线性变换的结果。4.算术平均数的数学性质11(二)调和平均数Harmonicmean1.简单调和平均数定义：标志值的倒数的算术平均数的倒数。计算公式：(二)调和平均数Harmonicmean122.

加权调和平均数计算公式：

2.加权调和平均数133）调和平均数与算术平均数的关系适用的资料条件不同。算术平均数：已知变量值及频数（频率）调和平均数：已知各组的变量值及标志总量。3）调和平均数与算术平均数的关系14(三)几何平均数Geometricmean1.几何平均数：是N项标志值连乘积的N次方根。2.分类：1）简单几何平均数：是N个标志值xi连乘积的N次方根。计算公式为：G=

式中G表示几何平均数，xi表示各项标志值。(三)几何平均数Geometricmean152）加权几何平均数

加权几何平均数是各标志值fi次方的连乘积的N次方根，计算公式为：G=

3.适用场合：用于计算动态数列或时间上相互衔接的比率的平均数。2）加权几何平均数16(四)幂平均数powermean设有一组变量求各变量k次方的和：

称为k阶幂平均数，当k取不同的整数值时，幂平均数就给出不同的数值平均数计算公式。(四)幂平均数powermean17例如：当k=1时，幂平均数为算术平均数计算公式。当k=-1时，幂平均数为调和平均数计算公式。当k0时，为几何平均数计算公式。例如：18设有幂平均数的是关于k阶的递增函数当k1<k2时，就有：

≤

算术平均数、几何平均数、调和平均数是幂平均数的k阶数由1递减为0又减为-1的特例。设有幂平均数的是关于k阶的递增函数19三、位置平均数(一)Mode众数Mo1.定义：众数是指总体中最普遍出现的标志值。从分布的角度看，众数是具有明显集中趋势的数值。在分配曲线图上，众数就是曲线的最高峰所对应的标志值。在分配数列中，具有最多次数的标志值就是众数值。三、位置平均数(一)Mode众数Mo202.众数的确定1）单项式分配数列确定众数：出现次数最多的标志值就是众数。2）组距式分配数列确定众数：组距式数列确定众数的公式:下限公式：

上限公式：2.众数的确定21公式中，Mo代表众数；

代表众数组的下限；代表众数组的上限；代表众数组的次数；代表众数组前一组的次数；代表众数组后一组的次数；代表众数组的组距。公式中，Mo代表众数；22(二)Median中位数1.定义：中位数是将总体各个单位按其标志值的大小顺序排列，处于数列中点的那个单位的标志值。在总体中，标志值小于中位数的单位占一半；标志值大于中位数的单位也占一半。(二)Median中位数232.中位数的确定1）未分组资料确定中位数。

确定中位数的方法是：先将总体各单位的标志值按照大小顺序排列，当总体单位数N为奇数时：当总体单位数N为偶数时：

2.中位数的确定242）单项式分组资料确定中位数当为奇数时，

当为偶数时,2）单项式分组资料确定中位数253）组距式分组资料确定中位数下限公式：

上限公式：3）组距式分组资料确定中位数26式中：

表示中位数；表示中位数所在组的下限；表示中位数所在组的上限；表示向上累计至中位数所在组前一组的次数；表示向下累计至中位数所在组后一组的次数；表示中位数所在组的次数；表示中位数所在组的组距。式中：27(三)众数、中位数和算术平均数的关系1.区别：

1）三者的含义不相同；2）三者的计算（确定）方法不同；3）对资料的要求不同，4）数据的“灵敏度”、“抗耐性”和“概括能力”不同。(三)众数、中位数和算术平均数的关系282.联系：

1）三者都是作为反映总体一般水平（或集中趋势）的平均指标：2）三者之间存在着一定的数量关系，

A）在对称的正态分布条件下：算术平均数等于众数等于中位数：

B）在非对称正态分布的情况下，众数、中位数和平均数三者的差别取决于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它们之间的差别越大。2.联系：29当次数分配呈右偏(正偏)时算术平均数受极大值的影响，当次数分配呈左偏(负偏)时，算术平均数受极小值的影响，

中位数则总是介于众数和平均数之间。

当次数分配呈右偏(正偏)时303.皮尔生Pearson经验法则分布在轻微偏斜的情况下，众数、中位数和算术平均数数量关系的经验公式为3.皮尔生Pearson经验法则31第二节分布的离散趋势第二节分布的离散趋势32一、变异指标的含义与作用1.定义2.作用：

1）衡量平均指标的代表性。2）反映现象变动的均衡性。3）研究总体标志值分布偏离正态的情况。4）进行抽样推断等统计分析的一个基本指标。一、变异指标的含义与作用33二、极差与四分位差1.极差Range：1）极差也称全距，它是统计总体中两个极端标志值之差，表明总体中标志值变动的范围。2）计算公式：

（未分组）

（分组）式中：Umax代表最高组的上限；

Lmin代表最低组的下限。二、极差与四分位差1.极差Range：343）特点：计算简便，直观易于理解。但不考虑总体内部的分配状况，不能充分反映标志值变动的一般程度。2.四分位差1）计算公式：数列的3/4位次与1/4位次的标志值之差除以2。2）特点：四分位差避免了数列中极端值的影响，但去头弃尾，丢失大量的原始数据。

3）特点：计算简便，直观易于理解。35三、平均差（A.D）averagedeviation1.定义：平均绝对偏差，总体所有单位的标志值与其平均数的离差绝对值的算术平均数。2.计算公式：3.特点三、平均差（A.D）averagedeviation1.定36四、方差variance与标准差standarddeviation(一)数量标志的方差与标准差1.数量标志方差与标准差的计算。未分组的资料其计算公式为：方差：标准差：四、方差variance与标准差standarddevia37用分组的资料计算方差：

用分组的资料计算方差：382.总方差的分解analysisofvariance

在资料分组的条件下，总体各标志值对平均数的方差可以分解为组内方差和组间方差。

式中：代表总体方差；代表组间方差；代表组内方差的平均数。2.总方差的分解analysisofvariance393.方差与标准差的数学性质：1）变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。2）变量对算术平均数的方差小于对任意常数的方差。3）个同性质独立变量和的方差等于各个变量方差的和。4）个同性质独立变量平均数的方差等于各个变量方差平均数的。5）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。3.方差与标准差的数学性质：40(二)是非标志的方差与标准差是非标志的平均数为p(二)是非标志的方差与标准差41四、变异系数coefficientofvariation1.变异系数：变异系数也称离散系数，是各变异指标与其算术平均数的比值。

标准差系数：标准差与其平均数的比值。2.作用：

能准确地比较不同现象或具有不同水平的单位之间的差异程度。

四、变异系数coefficientofvariation42第三节分布的偏度

和峰度第三节分布的偏度

和峰度431.统计动差：也称为矩moment，反映分布偏斜或离散程度的指标。2.原点动差：变量x关于原点的k阶矩，一般形式：

一、统计动差1.统计动差：也称为矩moment，反映分布偏斜或离散程度的443.中心动差：

变量x关于分布中心（平均数）的k阶矩。一般形式：

3.中心动差：45二、偏度skewness1.偏度：衡量频数分配不对称程度，或偏斜程度的指标。2.计算公式：（用矩法测定）

偏度指标：

二、偏度skewness1.偏度：衡量频数分配不对称程度，46三、峰度kurtosis1.峰度：用以衡量频数分配的集中程度，即分布曲线的尖峭程度的指标。2.计算公式：（用矩法测定）

三、峰度kurtosis1.峰度：用以衡量频数分配的集中程度47第三章统计分布的数值特征第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量第二节分布的离散趋势第三节分布的偏度和峰度第三章统计分布的数值特征第一节分布的平均水平、集中48第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量49一、统计平均数的含义与作用1.统计平均数average：表示现象总体各单位某一标志值在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。2.作用：1）反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平。2）比较同类现象在不同单位的发展水平3）比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。4）分析现象之间的依存关系。一、统计平均数的含义与作用1.统计平均数average：表示503.分类：

按其具体代表的含义和计算方式的不同，分为数值平均数和位置平均数。1）数值平均数：

A）定义

B）特点

C）种类按计算方法不同，分为：算术平均数、调和平均数、几何平均数和幂平均数。3.分类：

按其具体代表的含义和计算方式的不同，分为数值平均512）位置平均数：A）定义：用处于数列中特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值。B）特点：对数据的概括能力不如数值平均数的强，但是不易受数列中极端值的影响。C）种类：常用的位置平均数有众数和中位数两种。2）位置平均数：52二、数值平均数(一)算术平均数arithmeticmean1.计算平均数的要求：总体标志总量必须是总体各单位标志值的总和，标志值和单位之间存在一一对应关系。二、数值平均数(一)算术平均数arithmeticmea532.计算方法，均值Meanvalue1）简单算术平均数。简单算术平均数主要用于未分组资料,计算公式：式中，代表算术平均数，xi表各单位标志值，N代表总体单位数。2.计算方法，均值Meanvalue542）加权算术平均数WeightedaverageA）加权算术平均数主要用于原始资料已经分组，并得出次数分布的条件。计算公式：

fi为各组标志值出现的次数2）加权算术平均数Weightedaverage55B)权数的选择问题

相对指标计算平均数，要根据指标的经济涵义，选泽合适的权数。并非所有的频数都可以作为权数。B)权数的选择问题563.是非标志的平均数percentage具有某种性质的单位占总体的比率为p，不具有该种性质的单位占总体的比率为q，以1作为“是”，具有某种性质的单位的标志值，以0作为“非”，不具有某种性质的单位的标志值。按加权算术平均数公式计算，得到：p为总体中具有某种属性的单位成数，N为总体单位数。成数是是非标志的平均数。3.是非标志的平均数percentage574.算术平均数的数学性质1）算术平均数与标志值个数的乘积等于各标志值的总和。2）各个标志值与其算术平均数的离差之和等于零。3）各标志值与算术平均数离差的平方和为最小值。4）对被平均的变量实施某种线性变换后，新变量的算术平均数等于对原变量的算术平均数实施同样的线性变换的结果。4.算术平均数的数学性质58(二)调和平均数Harmonicmean1.简单调和平均数定义：标志值的倒数的算术平均数的倒数。计算公式：(二)调和平均数Harmonicmean592.

加权调和平均数计算公式：

2.加权调和平均数603）调和平均数与算术平均数的关系适用的资料条件不同。算术平均数：已知变量值及频数（频率）调和平均数：已知各组的变量值及标志总量。3）调和平均数与算术平均数的关系61(三)几何平均数Geometricmean1.几何平均数：是N项标志值连乘积的N次方根。2.分类：1）简单几何平均数：是N个标志值xi连乘积的N次方根。计算公式为：G=

式中G表示几何平均数，xi表示各项标志值。(三)几何平均数Geometricmean622）加权几何平均数

加权几何平均数是各标志值fi次方的连乘积的N次方根，计算公式为：G=

3.适用场合：用于计算动态数列或时间上相互衔接的比率的平均数。2）加权几何平均数63(四)幂平均数powermean设有一组变量求各变量k次方的和：

称为k阶幂平均数，当k取不同的整数值时，幂平均数就给出不同的数值平均数计算公式。(四)幂平均数powermean64例如：当k=1时，幂平均数为算术平均数计算公式。当k=-1时，幂平均数为调和平均数计算公式。当k0时，为几何平均数计算公式。例如：65设有幂平均数的是关于k阶的递增函数当k1<k2时，就有：

≤

算术平均数、几何平均数、调和平均数是幂平均数的k阶数由1递减为0又减为-1的特例。设有幂平均数的是关于k阶的递增函数66三、位置平均数(一)Mode众数Mo1.定义：众数是指总体中最普遍出现的标志值。从分布的角度看，众数是具有明显集中趋势的数值。在分配曲线图上，众数就是曲线的最高峰所对应的标志值。在分配数列中，具有最多次数的标志值就是众数值。三、位置平均数(一)Mode众数Mo672.众数的确定1）单项式分配数列确定众数：出现次数最多的标志值就是众数。2）组距式分配数列确定众数：组距式数列确定众数的公式:下限公式：

上限公式：2.众数的确定68公式中，Mo代表众数；

代表众数组的下限；代表众数组的上限；代表众数组的次数；代表众数组前一组的次数；代表众数组后一组的次数；代表众数组的组距。公式中，Mo代表众数；69(二)Median中位数1.定义：中位数是将总体各个单位按其标志值的大小顺序排列，处于数列中点的那个单位的标志值。在总体中，标志值小于中位数的单位占一半；标志值大于中位数的单位也占一半。(二)Median中位数702.中位数的确定1）未分组资料确定中位数。

确定中位数的方法是：先将总体各单位的标志值按照大小顺序排列，当总体单位数N为奇数时：当总体单位数N为偶数时：

2.中位数的确定712）单项式分组资料确定中位数当为奇数时，

当为偶数时,2）单项式分组资料确定中位数723）组距式分组资料确定中位数下限公式：

上限公式：3）组距式分组资料确定中位数73式中：

表示中位数；表示中位数所在组的下限；表示中位数所在组的上限；表示向上累计至中位数所在组前一组的次数；表示向下累计至中位数所在组后一组的次数；表示中位数所在组的次数；表示中位数所在组的组距。式中：74(三)众数、中位数和算术平均数的关系1.区别：

1）三者的含义不相同；2）三者的计算（确定）方法不同；3）对资料的要求不同，4）数据的“灵敏度”、“抗耐性”和“概括能力”不同。(三)众数、中位数和算术平均数的关系752.联系：

1）三者都是作为反映总体一般水平（或集中趋势）的平均指标：2）三者之间存在着一定的数量关系，

A）在对称的正态分布条件下：算术平均数等于众数等于中位数：

B）在非对称正态分布的情况下，众数、中位数和平均数三者的差别取决于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它们之间的差别越大。2.联系：76当次数分配呈右偏(正偏)时算术平均数受极大值的影响，当次数分配呈左偏(负偏)时，算术平均数受极小值的影响，

中位数则总是介于众数和平均数之间。

当次数分配呈右偏(正偏)时773.皮尔生Pearson经验法则分布在轻微偏斜的情况下，众数、中位数和算术平均数数量关系的经验公式为3.皮尔生Pearson经验法则78第二节分布的离散趋势第二节分布的离散趋势79一、变异指标的含义与作用1.定义2.作用：

1）衡量平均指标的代表性。2）反映现象变动的均衡性。3）研究总体标志值分布偏离正态的情况。4）进行抽样推断等统计分析的一个基本指标。一、变异指标的含义与作用80二、极差与四分位差1.极差Range：1）极差也称全距，它是统计总体中两个极端标志值之差，表明总体中标志值变动的范围。2）计算公式：

（未分组）

（分组）式中：Umax代表最高组的上限；

Lmin代表最低组的下限。二、极差与四分位差1.极差Range：813）特点：计算简便，直观易于理解。但不考虑总体内部的分配状况，不能充分反映标志值变动的一般程度。2.四分位差1）计算公式：数列的3/4位次与1/4位次的标志值之差除以2。2）特点：四分位差避免了数列中极端值的影响，但去头弃尾，丢失大量的原始数据。

3）特点：计算简便，直观易于理解。82三、平均差（A.D）averagedeviation1.定义：平均绝对偏差，总体所有单位的标志值与其平均数的离差绝对值的算术平均数。2.计算公式：3.特点三、平均差（A.D）averagedeviation1.定83四、方差variance与标准差standarddeviation(一)数量标志的方差与标准差1.数量标志方差与标准差的计算。未分组的资料其计算公式为：方差：标准差：四、方差variance与标准差standarddevia84用分组的资料计算方差：