时间序列长期趋势

§5.3长期趋势分析时间序列的构成要素与模型线性趋势非线性趋势趋势线的选择时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线一、时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素长期趋势(Seculartrend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律季节变动(SeasonalFluctuation)也称季节性(seasonality)时间序列在一年内重复出现的周期性波动循环波动(CyclicalMovement)也称周期性(cyclity)

围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动不规则波动(IrregularVariations)也称随机性(random)

除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动2.模型时间序列的构成要素分为四种，即长期趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

长期趋势

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势二、线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律测定方法有移动平均法线性模型法1.移动平均法

(MovingAverageMethod)测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为移动平均法

(实例)表5-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽车产量数据如表5-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，并作图与原序列比较

年份时间标号产量(万量)三项移动平均五项移动平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------移动平均法

(趋势图)05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值汽车产量（万辆）

图5-1汽车产量移动平均趋势图（年份）移动平均均法(应注意意的问题题)移动平均均后的趋趋势值应应放在各各移动项项的中间间位置对于偶数数项移动动平均需需要进行行“中心化”移动间隔隔的长度度应长短短适中如果现象象的发展展具有一一定的周周期性，，应以周周期长度度作为移移动间隔隔的长度度若时间序序列是季季度资料料，应采采用4项项移动平平均若为月份份资料，，应采用用12项项移动平平均2.线线性模型型法（概念要要点与基基本形式式）现象的发发展按线线性趋势势变化时时，可用用线性模模型表示示线性模型型的形式式为—时间序列的趋势值t—时间标号a—趋势线在Y轴上的截距b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型型法（a和b的最小二二乘估计计）趋势方程程中的两两个未知知常数a和b按最小二二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归归分析中中的最小小二乘法法原理使各实际际观察值值与趋势势值的离离差平方方和为最最小最小二乘乘法既可可以配合合趋势直直线，也也可用于于配合趋趋势曲线线根据趋势势线计算算出各个个时期的的趋势值值线性模型型法（a和b的最小二二乘估计计）1.根根据最最小二乘乘法得到到求解a和b的标准方方程为取时间序序列的中中间时期期为原点点时有t=0，上式可化化简为解得：解得：返回线性模型型法(实例及及计算过过程)表5-6汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】】利用表5-6中的数据据，根据据最小二二乘法确确定汽车车产量的的直线趋趋势方程程，计算算出1981～1998年各年汽汽车产量量的趋势势值，并并预测2000年的汽车车产量，，作图与与原序列列比较线性模型型法（计算结结果）根据上表表得a和b结果如下下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为线性模型型法(趋势图图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

图5-2汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）三、非线线性趋势势现象的发发展趋势势为抛物物线形态态一般形式式为（一）二二次曲线线(SecondDegreeCurve)a、b、c为未知常常数根据最小小二乘法法求得二次曲线线(SecondDegreeCurve)取时间序序列的中中间时期期为原点点时有根据最小小二乘法法得到求求解a、b、c的标准方方程为二次曲线线(实例)【例5.11】已知我国国1978～1992年针织内内衣零售售量数据据如表5-9。试配合合二次曲曲线，计计算出1978～1992年零售量量的趋势势值，并并预测1993年的零售售量，作作图与原原序列比比较表5-91978～1992年针织内衣零售量年份零售量(亿件)年份零售量(亿件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲线线(计算过过程)表5-10针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t零售量(亿件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趋势值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合计0173.845.22802712.69352173.8二次曲线线（计算结结果）根据计算算表得a、b、c的结果如如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(亿件)1993年零售量的预测值为二次曲线线(趋势图图)048121619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）图5-3针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）用于描述述以几何何级数递递增或递递减的现现象一般形式式为（二）指指数曲线线(Exponentialcurve)a、b为未知常常数若b>1，增增长率随随着时间间t的增加而而增加若b<1，增增长率随随着时间间t的增加而而降低若a>0，b<1，趋趋势值逐逐渐降低低到以0为极限限指数曲线线(a、b的求解方方法)取时间序序列的中中间时期期为原点点，上上式可化化简为采取“线线性化””手段将将其化为为对数直直线形式式根据最小小二乘法法，得到到求解lga、lgb的标准方方程为指数曲线线(实例及及计算结结果)【例5.12】】根据表5-6中的资料料，确定定1981～1998年我国汽汽车产量量的指数数曲线方方程，求求出各年年汽车产产量的趋趋势值，，并预测测2000年的汽车车产量，，作图与与原序列列比较汽车产量量的指数数曲线方方程为2000年汽车车产量的的预测值值为指数曲线线(趋势图图)05010015020025019811985198919931997汽车产量趋势值图5-4汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）指数曲线线与直线线的比较较比一般的的趋势直直线有着着更广泛泛的应用用可以反应应出现象象的相对对发展变变化程度度上例中，，b=1.14698表示1981～～1998年汽汽车产量量趋势值值的平均均发展速速度不同序列列的指数数曲线可可以进行行比较比较分析析相对增增长程度度在一般指指数曲线线的基础础上增加加一个常常数K一般形式式为（三）修修正指数数曲线(Modifiedexponentialcurve)K、a、b为未知常常数K>0，，a≠0，，0<b≠1修正指数数曲线用用于描述述的现象象：初期期增长迅迅速，随随后增长长率逐渐渐降低，，最终则则以K为增长极极限(即即当K>0，a<0，0<b<1)修正指数数曲线(求解k、a、b的三和法法)趋势值K无法事先先确定时时采用将时间序序列观察察值等分分为三个个部分，，每部分分有m个时期令趋势值值的三个个局部总总和分别别等于原原序列观观察值值的三个个局部总总和修正指数数曲线(求解k、a、b的三和法法)设观察值值的三个个局部总总和分别别为S1，S2，S3根据三和和法求得得将上式右右端括号号内分别别乘以(b-1)/(b-1)，，得修正指数数曲线(实例)【例5.13】已知1978~1995年我国小小麦单位位面积产产量的数数据如表表5-12。试确定定小麦单单位面积积产量的的修正指指数曲线线方程，，求出各各年单位位面积产产量的趋趋势值，，并预测测2000年的小麦麦单位面面积产量量，作图图与原序序列比较较表5-121978～1995年小麦单位面积产量数据年份单位面积产量(公斤/公顷)年份单位面积产量(公斤/公顷)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指数数曲线（计算结结果）解得K、a、b如下修正指数数曲线（计算结结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麦单位面积产量的预测值为$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指数数曲线(趋势图图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值K

图5-5小麦单位面积产量修正指数曲线趋势（年份）产单位面积量（公斤/公顷）K=3659.149以英国统统计学家家和数学学家B·Gompertz而命命名一般形式式为K、a、b为未知常常数K>0，，0<a≠1，，0<b≠1（四）龚龚铂茨曲曲线(Gompertzcurve)所描述的的现象：：初期增增长缓慢慢，以后后逐渐加加快，当当达到一一定程度度后，增增长率又又逐渐下下降，最最后接近近一条水水平线两端都有有渐近线线，上渐渐近线为为YK,下渐近近线为Y0将其改写写为对数数形式Gompertz曲线线(求解k、a、b的三和法法)仿照修正正指数曲曲线的常常数确定定方法，，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数数求得a和K令：则有：Gompertz曲线线(实例)【例5.14】根据表5-12的数据，，试确定定小麦单单位面积积产量的的Gompertz曲线方程程，求出出各年单单位面积积产量的的趋势值值，并预预测2000年的小麦麦单位面面积产量量，作图图与原序序列比较较Gompertz曲线线（计算结结果）Gompertz曲线线（计算结结果）小麦单位位面积产产量的Gompertz曲曲线方方程为2000年小麦麦单位面面积产量量的预测测值为Gompertz曲线线(趋势图图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值KK=3566.04

图5-6小麦单位面积产量Gompertz曲线趋势（年份）（公斤/公顷）（六）罗罗吉斯蒂蒂曲线(LogisticCurve)K、a、b为未知常常数K>0，，a>0，，0<b≠11838年比利时时数学家家Verhulst所确定的的名称该曲线所所描述的的现象的的特征与与Gompertz曲线类似似3.其其曲线线方程为为Logistic曲曲线(求解k、a、b的三和法法)取观察值值Yt的倒数Yt-1当Yt-1很小时，，可乘以以10的适适当次方方a、b、K的求解方方程为四、趋势势线的选选择观察散点点图根据观察察数据本本身，按按以下标标准选择择趋势线线一次差大大体相同同，配合合直线二次差大大体相同同，配合合二次曲曲线对数的一一次差大大体相同同，配合合指数曲曲线一次差的的环比值值大体相相同，配配合修正正指数曲曲线对数一次次差的环环比值大大体相同同，配合合Gompertz曲线线倒数一次次差的环环比值大大体相同同，配合合Logistic曲曲线3.比比较估估计标准准误差图形描述述(例题分分析)图形描述述(例题分分析)返回线性模型型法(例题分分析)【例】根据人口口自然增增长率数数据，用用最小二二乘法确确定直线线趋势方方程，计计算出各各期的趋趋势值和和预测误误差，预预测2001年年的人口口自然增增长率，，并将原原序列和和各期的的趋势值值序列绘绘制成图图形进行行比较线性趋势方程程：预测的估估计标准误差差：2001年人口自自然增长长率的预测值：‰线性模型型法(例题分分析)线性模型型法(例题分分析)二次曲线线(例题分分析)【例】根据能源源生产总总量数据据，计计算出各各期的趋趋势值和和预测误误差，预预测2001年年的能源源生产总总量，并并将原序序列和各各期的趋趋势值序序列绘制制成图形形进行比比较二次曲线线方程：预测的估估计标准误差差：2001年能源生生产总量量的预测值：二次曲线线(例题分分析)二次曲线线(例题分分析)指数曲线线(例题分分析)【例】根据人均均GDP数据，，确定指指数曲线线方程，，计算出出各期的的趋势值值和预测测误差，，预测2001年的人人均GDP，并并将原序序列和各各期的趋趋势值序序列绘制制成图形形进行比比较指数曲曲线趋势方方程：预测的的估计计标准误误差：2001年人均均GDP的的预测值值：指数曲曲线(例题题分析析)指数曲曲线(例题题分析析)修正指指数曲曲线(例题题分析析)【例】我国1983~2000年的的糖产产量数数据如如表。。试确确定修修正指指数曲曲线方方程，，计算算出各各期的的趋势势值和和预测测误差差，预预测2001年年的糖糖产量量，并并将原原序列列和各各期的的趋势势值序序列绘绘制成成图形形进行行比较较修正指指数曲曲线(例题题分析析)修正指指数曲曲线(例题题分析析)解得K、a、b如下修正指指数曲曲线(例题题分析析)糖产量量的修修正指指数曲线方方程2001年年糖产产量的的预测值值预测的的估计计标准误误差$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t修正指指数曲曲线(例题题分析析)Gompertz曲曲线线(例题题分析析)【例】我国1983~2000年的的糖产产量数数据如如表。。试确确定修修正指指数曲曲线方方程，，计算算出各各期的的趋势势值和和预测测误差差，预预测2001年年的糖糖产量量，并并将原原序列列和各各期的的趋势势值序序列绘绘制成成图形形进行行比较较Gompertz曲曲线线(例题题分析析)Gompertz曲线(例题题分析析)Gompertz曲线(例题题分析析)糖产量量的Gompertz曲线方方程2001年糖产产量的的预测值值预测的的估计计标准误误差Gompertz曲线(例题题分析析)9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。07:30:0507:30:0507:3012/24/20227:30:05AM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。12月月-2207:30:0507:30Dec-2224-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。07:30:0507:30:0507:30Saturday,December24,202213、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。12月月-2212月月-2207:30:0507:30:05December24,202214、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。24十十二二月月20227:30:05上上午午07:30:0512月月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。十二月227:30上午午12月-2207:30December24,202216、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2022/12/247:30:0507:30:0524December202217、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。7:30:05上上午7:30上上午午07:30:0512月月-229、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。07:30:0507:30:0507:3012/24/20227:30:05AM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。12月-2207:30:0507:30Dec-2224-Dec-2212、世世间间成成事事，，不不求求其其绝绝对对圆圆满满，，留留一一份份不不足足，，可可得得无无限限完完美美。。。。07:30:0507:30:0507:30Saturday,December24,202213、不知香积寺寺，数里入云云峰。。12月-2212月-2207:30:0507:30:05December24,202214、