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文档简介

第二节一阶微分方程一可分离变量的微分方程二一阶线性微分方程三可用变量代换求解的微分方程四全微分方程解法分离变量法一可分离变量的微分方程的形式，原方程称为可分离变量的微分方程定义一阶方程若能写成1.可分离变量的微分方程为微分方程的通解形式例1

求微分方程解：分离变量两端积分解：

例2分离变量两端积分思考题求方程的通解。思考题解答：为所求通解。解法作变量代换代入原式可分离变量的方程的微分方程称为齐次方程定义2.齐次方程例3

求解微分方程解：分离变量两边积分即方程的通解为：例4求解微分方程解:分离变量积分即方程的通解为：例5抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面---旋转抛物面解：如图得微分方程由夹角正切公式得分离变量积分得平方化简得抛物线（其中h和k是待定的常数）解法为齐次方程,否则为非齐次方程。定义*3.可化为齐次方程的微分方程有唯一一组解得通解代回通过变量代换方程化成可分离变量的方程例6解:解方程组方程变为分离变量积分方程的通解为即解:分离变量积分方程通解为1.一阶线性微分方程方程称为齐次方程。方程称为非齐次方程。二一阶线性微分方程例如线性的非线性的标准形式：齐次方程的通解为一阶线性微分方程的解法线性齐次方程(使用分离变量法)把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质:未知函数的变量代换。常数变易法线性非齐次方程设积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程特解解：例8例9解：例10

如图所示，平行于

轴的动直线被曲

线

与

截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线

两边求导得解:解此微分方程所求曲线为例11求微分方程的通解解：贝努利方程的标准形式

方程为非线性微分方程,方程为线性微分方程,解法：需经过变量代换化为线性微分方程。2.贝努利方程求出通解后，将代入即得代入上式解：例12解：所求通解为例13求微分方程的通解解：代入原方程原方程的通解为三可用变量代换求解的微分方程例15解:方程的通解为解：分离变量法得所求通解为例16求的通解解:代入原式分离变量法得所求通解为另解例17求的通解思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程例如所以是全微分方程1.定义若有全微分形式则四全微分方程解法1：应用曲线积分与路径无关解法2：用直接凑全微分的方法是全微分方程通解为解法3：利用不定积分法求解：是全微分方程,原方程的通解为例18解：是全微分方程,原方程的通解为将左端重新组合例19解：例20是全微分方程定义问题如何求方程的积分因子?2.积分因子法方程的通解为：1）公式法特殊地求解不容易凭观察凑微分得到2）观察法常见的全微分表达式可选用的积分因子有解：例21则原方程为原方程的通解为解：将方程左端重新组合,有原方程的通解为例22

求微分方程例23求

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