《菱形》典型例题

菱形，矩形，正方形典型例题例1如图，在菱形ABC丽，E是AB的中点，且DE_LAB,AB=a，求:（1）/ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面BB例2已知：如图，在菱形ABCW,CE_LAB于E,CF_LAD于F.求证：AE=AF例3如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD=DF.求证：GH垂直平分CF.例4如图，0例4如图，0ABCD中，AD=2AB,E、求证：BE.LAF.F在直线CD上，且DE=CD=CF.例5如图，在例5如图，在Rt△ABC中，/ACB=90边形.求证：AC与DE互相垂直平分E为AB的中点，四边形BCDE是平行四DE交BC于D,交AB于E,点FDE交BC于D,交AB于E,点F在直线DE上，AF=CE(1)说明，四边形ACEF是平行四边形；(5分)(2)当/B的大小满足什么条件时，四边形 ACEF是菱形？说明理由.(3)四边形ACEFW能是正方形吗？说明理由.(3分)例7、如图，△ABC中，点。是AC边上一动点，过点O作直线MNBC,设MN^/BCA的平分线于E,交/BCA的外角平分线于点F.(1)说明：E0=OF(2)当点0运动到时，四边形BEFC可能是菱形吗？并说明理由.(3)当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由.FN(4)在(3)的条件下，当^ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由.FN巩固练习1、梯形ABCM,AD//BC,BD平分/ABC,/C=60°，当AB=CD=4寸，梯形ABCD勺周长2、在等腰梯形ABCD^2、在等腰梯形ABCD^,AB//CQ面积为 3.如图，梯形ABC珅，AD//BCC对角线AC平分/BADZB=60o,CD=2cm,则梯形ABCDB勺AC为对角线，AE!BC于E,ABLAC若ZACB=30,BE=2.则EC=.5.在梯形ABC珅，AD//BCAB=AC若/D=110,/ACD30,则/BAC?于7.直角梯形一腰长16cm,该腰和一个底所成的角为30。，那么另一腰长cm.9、如图，等腰梯形ABC珅，AD/BCAB=DCACLBQ过D点作DE//AC^BC的延长线于E点.⑴求证：四边形ACED1平行四边形；⑵若AD=3,BC=7,求梯形ABCD勺面积.参考答案例1分析(1)由E为AB的中点，DE_LAB,可知D比AB的垂直平分线，从而AD=DB,且AD=AB,则AABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.(2)而AC_LBD,AO=OC,利用勾股定理可以求出AC(3)由菱形的对角线互相垂直，可知c1 -SACBD.2解(1)连结BD二•四边形ABCD1菱形，，AD=AB.丫E是AB的中点，且DE_LAB,..AD=DB.MBD是等边三角形，，ADBC也是等边三角形..ABC=602=120.•••四边形ABCD1菱形，.二ACWBD互相垂直平分，TOC\o"1-5"\h\z•- 1… 1… 1•・OB=—BD=—AB=—a.2 2 2OA=AAB2—OB2=*a2—(—a)2=——a,/.AC=2AO=V3a.1 — \32(3)菱形ABCD勺面积S=—ACBD=—•、,3aa=—a2.2 2说明：本题中的菱形有一个内角是 60,的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2分析要证明AE=AF,可以先证明BE=DF,而根据菱形的有关性质不难证明ABCE^ADCF,从而可以证得本题的结论.证明二.四边形ABC虚菱形，，BC=CD,/B=ND,且NBEC=NDFC=90°,•••ABCE-ADCF,BE=DF,;AB=AD,AB-BE=AD-DF,••AE=AF.例3解答：连结AC•・四边形ABC西菱形，/B=ND=60",AB=BC=CD=AD.•・AABC与ACDA为等边三角形..AB=AC,.B=.ACD=.BAC=60./EAF=60°,•.BAE二/CAF..ABE三ACFAE=AF./EAF=60°,•••AEAF为等边三角形.AEF=60./AEC=/B+/BAE=/AEF+/CEF,6018=60CEF4EF=18°说明本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC证MBE-MCF例4分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明 GH垂直平分CF.证明：•••四边形ABCD、BEDF都是长方形DE//BF,AB//CD,jDFH=2BCD=90二，AD=BC.•・四边形BGDH是平行四边形.AD=DF,DF=BC在△DFH和^BCH中DFH=BCHDHF=/BHCDF=BC△DFH心BCHDH=BH,HF=HC•.四边形BGDH是平行四边形，四边形BGDH是菱形GH平分/BHD GH平分ZFHC HF=HC••GH垂直平分FC.例5分析要证BE_LAF,关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明.••四边形ABCD是平行四边形AB//CD,AB=CD,AG//BH,•.Z1=ZE.CD=ED,..AB=ED.1=./E在△人36和4EDG中《/2=/3AB=EDABG^ADEGAG=GD•••AD=2ABAG=AB同理：AB=BH，AG=BH•••AG//BH.•・四边形ABHG是平行四边形••.AB=BH 二.四边形ABHG是菱形AF_LBE.例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形AD