电动力学-习题答案chapter

考虑两列振幅相同的偏振方向相同频率分别为d和d的线偏振平面波它们都沿z轴方向求合成波证明波的振幅不是常 而是一个求合成波的相位速度和振幅速 E1(x,t)E0(x)cos(k1x E2(x,t)E0(x)cos(k2x EE1(x,t)E2(x,t)E0(x)[cos(k1x1t)cos(k2x k1 12t)cos(k1

1x 2E0(x) x2

其中k1kdkk2kdk;1d,2 E2E0(x)cos(kxt)cos(dkxd E2E0(xcos(dkxd相速kxtvp群速dkxdt

一平面电磁波以45o从真空入射到r2的介质电场强度垂直于入射 求反r S,S',S''分别为入射波反射波和折射波的玻S'S'SnnE'R nTS''nT

E2E00n2cos2E''2n1cosE20又根据电场强度垂直于入射面的公式可R

1cos cos1 cos cos2 41412coscos(1cos 2cos21sin2 10,202 22 2R(

22 2 2 224

222 22 22T 22

32有一可见平面光波由水入射到空气入射角为60 证明这时将会发生全反射并求折射波沿表面的相速度和透入空气的深度 设该波在空气中的波长为06.28105 水的折射率为 1解由折射定律得临界角c kk3 3k相速度vpk 2k

) 所以当平面光波以 入射 6.28 sin2nsin260 sin2nsin260 vvv 频率为的电磁波在各向同性介质 时若E,D,B,H仍按ei(kxt)变化但 E平行DEv v v v vkBkDBDBE0,但一般kE

v 2 vv 2[kE(kE)k 证明 由麦氏方程 EHvH

D B得0 v v v v0B

ei(kxt)ikBei(kxt)ikBrkBv同 kDv

vv]

v

v0 [ei(kxt 0

i ikBvv1v(vv)B v

vv]

vvi [ei(kxtv 1

vBE(kE)E Eik vQD E一般 即kE一般B 1 B 由E B(kD D另由H D(kvv) 1 B(k

得H(k

2 vvSEHE(kE)[Ek(kQv

2 kE一般0S一般E 一个波沿x方向偏振另一个沿方向偏振2

反之一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振解偏振方向在x轴上的波可记为xA0cos(tkz)A0cos(t0xyAcos(tkz

)Acos(t 00y0x2

0x2y2A2[cos2(t )cos2(t0y 00A2[cos2(t0000即x2y20

0x)sin2(t0x所以合成的振动是一个圆频率为的沿z轴方 的右旋圆偏振反之一个圆振可以分解为两个偏振方向垂直同振 同频 相位差为2的线偏振的合证明设在z>0z<0的空间中垂直于导体表面入射 zi(ztEE0 于是由 0的表 单位面积进入导体的能量v

1 1 ) E 其中HkEin

H)2vzi(zt

JE 所以金属导体单1面积v*消v的 dQ

E)

2E0122 作积 Q2E00 dz4 又Q2QE2 E 原题得证 已知海水的r1,1S 试计算频率为50,106和109Hz的三种电磁波在22透射深 Qr0r0422 250410722 25041072221064107222106410723109Hz时:3 2

22221094107平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上入射角为 相速度和衰减长度若导电介质为金 结果如 v提示导电介质中 量ki,只有z分量为什解根据题 如图所

zv kvkvzv kvkvk0 EE xei(0 k''x2 22v 2x根据边界条件得k''x

ix

x又kxkxksin1 vv

c 故k,k无y分 y0,y v有与

2222(csin1 有 z

2212

22 2

22222 c

c2 212 2 12

)2222] c

c

1v1v如果是良导体

sin2122c 2 c 2

z

2

1

4222 2c2sin2 2[c4 2

21

4

2222 2c2 2[c2 2无限长的矩形波导管在在 0处被一块垂直地插入地理想导体平板完全封闭求z到 0这段管内可能存在的波解在此中结构得波导管 电磁波的依旧满足亥姆方 2Ek2Ek0

v E(x,y,z)(C1sinkxxD1coskxx)(C2sinkyyD2coskyy)(C3sinkzzD3coskzEyEz0,(x0, ExEz0,(y0,

0,(x0,

0,(y0,

0,(zExA1coskxxsinkyysinkz故EyA2sinkxxcoskyysinkzEzA3sinkxxsinkyycoskzE其

m,makn,n kxkykz 00c2A1aA2bA3kz综上

E(x,y,z,t)E(x,y)ei(k2zt)在波导管中沿z方向传 试使 Ei0H及Hi0EEx(xy)和Hz(xy这两证 沿z轴的电磁波其电场和磁场可写 E(x,y,z,t)E(x,y)ei(kzzt H(x,y,z,t)H(x,y)ei(kzztvE H

Bi vEEivE0

ikz

ikz

i0H

H

H

H

ikzH

i0 H

H

ikzH

H

i0 H

H

0由 消去

得

i(2k2

kEzzc 由 消去

得

k

kEzzc 由 消去Ey

Hx

H

0Ez1 k21由 消去Ex

c1Hy 1

2

Hy

z0zi( kc v 对于定态波磁场为v(v,)

v()Hx Hx v 由麦氏方程组 H 得H)(H2H2Hi 又EB 2

Ev(

k)H0, HHvHv 由nB0得nH Hn利用viv和电场的边界条件可 Ht

HnH论证矩形波导管内不存在TMm0TM0nv证明E

cos

xsink

yeikzEyA2sinkxxcoskyyeikz

A3sinkxxsinkv

yeikzHE Hx(A3kyiA2kz)sinkxxcosk

yeikzHH

(iA1k

A3kx)coskxxsink

yeikzH

(A

Ak)cos

xcos

yeikz 2 1 本题讨论TM波故 A2kxA1ky故 若n0,则kyb0,A2kx又kxa0,那么 HxHy 若m0,则kxa0,A1ky又kyb0,那么A1HxHy波导中不可能存在TMm0TM0n两种模式的频率为30109Hz的微波在0.7cm0.4cm的矩形波导管中能以什么波 0.7cm0.6cm的矩形波导管中能以什么波模解1 30109Hz 波导为0.7cm0.4cmc (m)c (m)2(nb当a0.7102mb0.4102mm1,n1时,4.31010Hzm1,n0时2.11010Hzm0n1时,3.71010Hz此波可以以TM10波在其 30109Hz 波导为0.7cm0.6cmm1,n1时,2.11010Hzm1,n0时2.51010Hzm0n1时,3.31010Hz此波可以以TE10TE01两种波一对无限大的平行理想导体板相距为b 电磁波沿平行与板面的z方向 在x方向是均匀的求可能的波模和每种波模的截止频率解在导体板之 的电磁波满足亥姆方 2Ek2Ek0v 令 是E的任意一个直角分 由于E在x方向上是均匀U(x,y,z)U(y,z)Y(y)Z又在y方向由于有金属板作为边界是取驻波解在z方向是空间取行波解得通解U(xyz)(C1sink

y

cosk

y)eikz由边界条件nE0,和n0EAsin(

y)ei(kzzt i(kzt

n E

且k2

k,n E

sin(

y)ei(kzzt

c 又由E0得A1独立与A2,A3无 bA2ikz令 0得截止频率cbv证明在谐振腔 电场E的分布

cos

xsink

yeikzEyA2sinkxxcoskyyeikz

A3sinkxxsinkv

yeikzHE Hx(A3kyiA2kz)sinkxxcosk

yeikzHH

(iA1k

A3kx)coskxxsink

yeikzHzz

(A

Ak)cos

xcos

yeikz 2 1 1v 由 (EDHB)有谐振腔21 电场能流密 1 E 1 *

v* 2[

4[A2cos2kxsin2kysin2kzA2sin2kxcos2kysin2kzA2sin2kxsin2kycos2k 2)磁场能流

1v H BRe(H*B4 [(AkA

)2sin2kxcosk2kycos2kz4 3 z

(A1kzA3kx)2cos2k