连续性定义课件

一、函数的连续性1.函数的增量一、函数的连续性1.函数的增量12.连续的定义2.连续的定义2连续性定义课件3例1证由定义2知例1证由定义2知43.单侧连续定理3.单侧连续定理5例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,64.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区7例3证例3证8二、函数的间断点二、函数的间断点91.跳跃间断点例4解1.跳跃间断点例4解102.可去间断点例52.可去间断点例511解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则12如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点133.第二类间断点例6解3.第二类间断点例6解14例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.15狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.16在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断17例8解例8解18三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分19可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx20思考题思考题21思考题解答且思考题解答且22但反之不成立.例但但反之不成立.例但23练习题练习题24连续性定义课件25练习题答案练习题答案26连续性定义课件27连续性定义课件28一、四则运算的连续性定理1例如,一、四则运算的连续性定理1例如,29二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有30定理3证定理3证31将上两步合起来:将上两步合起来:32意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解33例2解同理可得例2解同理可得34定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,35三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连36定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内371.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定38例3例4解解例3例4解解39连续性定义课件40§1.3.3闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理介值定理§1.3.3闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理41一、最大值和最小值定理定义:例如,一、最大值和最小值定理定义:例如,42定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大43推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.44证：∴取当|x|>X时,|f(x)-A|<1又||f(x)|-|A||<|f(x)-A|<1,即:|f(x)|<|A|+1∵f(x)在(-∞，+∞)上连续，∴f(x)在[-X，X]上连续。由最值定理,M0>0,xX,都有|f(x)|<M0取M=max{|A|+1,M0},例1设f(x)在(-∞,+∞)上连续，且存在,证明f(x)在(-∞,+∞)上有界。有渐近线证：∴取当|x|>X时,|f(x)-A|<1又||f45二、介值定理定义:二、介值定理定义:46几何解释:零点定理是介值定理的一个特例。几何解释:零点定理是介值定理的一个特例。47几何解释:MBCAmab证由零点定理,作辅助函数几何解释:MBCAmab证由零点定理,作辅助函数48推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值49例1’证由零点定理,例1’证由零点定理,50例2证由零点定理,不动点定理xy0y=xabab例2证由零点定理,不动点定理xy0y=xabab51连续性定义课件52连续性定义课件53例5设f(x)在(a,b)内连续，x1,x2,……xn是(a,b)内任意值，证明存在一点ξ∈(a,b)使证：设∵f(x)在(a,b)内连续，∴f(x)在[xi,xj]上连续。x1,x2……xn∈[xi,xj]由最值定理：f(x)在[xi,xj]上达到最大M=f(ξ1)，最小值m=f(ξ2)，例5设f(x)在(a,b)内连续，x1,x2,……xn54即据介值定理推论:至少存在使即据介值定理推论:至少存在使55小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足,上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意56思考题下述命题是否正确？思考题下述命题是否正确？57思考题解答不正确.例函数思考题解答不正确.例函数58一、函数的连续性1.函数的增量一、函数的连续性1.函数的增量592.连续的定义2.连续的定义60连续性定义课件61例1证由定义2知例1证由定义2知623.单侧连续定理3.单侧连续定理63例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,644.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区65例3证例3证66二、函数的间断点二、函数的间断点671.跳跃间断点例4解1.跳跃间断点例4解682.可去间断点例52.可去间断点例569解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则70如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点713.第二类间断点例6解3.第二类间断点例6解72例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.73狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.74在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断75例8解例8解76三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分77可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx78思考题思考题79思考题解答且思考题解答且80但反之不成立.例但但反之不成立.例但81练习题练习题82连续性定义课件83练习题答案练习题答案84连续性定义课件85连续性定义课件86一、四则运算的连续性定理1例如,一、四则运算的连续性定理1例如,87二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有88定理3证定理3证89将上两步合起来:将上两步合起来:90意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解91例2解同理可得例2解同理可得92定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,93三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连94定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内951.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定96例3例4解解例3例4解解97连续性定义课件98§1.3.3闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理介值定理§1.3.3闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理99一、最大值和最小值定理定义:例如,一、最大值和最小值定理定义:例如,100定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大101推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.102证：∴取当|x|>X时,|f(x)-A|<1又||f(x)|-|A||<|f(x)-A|<1,即:|f(x)|<|A|+1∵f(x)在(-∞，+∞)上连续，∴f(x)在[-X，X]上连续。由最值定理,M0>0,xX,都有|f(x)|<M0取M=max{|A|+1,M0},例1设f(x)在(-∞,+∞)上连续，且存在,证明f(x)在(-∞,+∞)上有界。有渐近线证：∴取当|x|>X时,|f(x)-A|<1又||f103二、介值定理定义:二、介值定理定义:104几何解释:零点定理是介值定理的一个特例。几何解释:零点定理是介值定理的一个特例。105几何解释:MBCAmab证由零点定理,作辅助函数几何解释:MBCAmab证由零点定理,作辅助函数106推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值107例1’证由零点