山东省自学考试线性代数经管类

-线性代数〔经管类〕综合试题一〔课程代码4184〕一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。1.设则D= =1(B )．D.6M设C为同阶方阵，假设由AB=AC必能推出B，则A应满足(D )．A.OB.A=O0 D.设均为n阶方阵，(A )．|=，则|=0或+|=0 (+)+2+2当=O时，有=O或O )-1=--1A，则以下说确的(B )．

|=，则-= (B )．D.s=t.. z.-假设s=

)=)假设

)=r(

)，则两向量组等价.向量组A.B.C.D. 可由设向量组

线性相关的充分必要条件(C 中至少有一个零向量中至少有两个向量对应分量成比例中至少有一个向量可由其余向量线性表示线性表示有两个极大无关组 与，则以下成立的( C)．r与s未必相等 B.r+s=mC.r=s D.r+s>m对方程组A*=b与其导出组A*=以下命题正确的选项(D )．A*obA*obA*boA*bo设方程组 有非零解，则k=( DA.2 B.3 C.-1D.110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件(D )．. z.-.|>0 存在n阶方阵C使CC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。D中第3列元素依次为式的值依次为5，3，-7，4，则D=-15．假设方阵A满足2=，且，则|=0.假设A为3阶方阵，且 ，则|2A|=设矩阵15.设向量

2，则t=-3．=(4，–3，5)，( , )=0．16.设n元齐次线性方程组A*=o，r(A)=r<n，则根底解系含有解向量的个数为n-r个.17.设 ＝10)， ＝，，1， =(001)是3的基，则 =(1，2，3)在此基下的坐标(1,1,2).设A1-122的特征值为1,1,4.二次型 的矩阵2 2 0A=2 3 1. 0 1 假设矩阵A与相似，则A的特征值为1,2,3.. z.-三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕求行列式 的值.1x 1 1 1 1 1 1111y1111y111111y1111y11111y00yy1x000x0001100xy1100001y100y000110011xy

x2y2.解矩阵方程： .1 1 1 2解：令A2 1 1=3. 1 1 1 6 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0因为(AE)2 1 1 0 1 00 3 1 2 1 0 1 1 1 0 0 1

10 0 2 1 0 11 0 0 0 1 1

1 1 3 3

3 3 0 1

1 1 1A1

1 1. 2 3 6 2 3 6 1 1 1 10 0 1 2 0 2 2 0 2 0 1 1 3 32 1由AX得：XA1B1 1 133.2 3 6 6 21 0 1 2 2. z.-23.求向量组 =(1,1,2,3)， =(－1,－1,1,1)， =(1,3,3,5 =(4,－2,5,6极大无关组线性表示.所以，r(aaaa1234

3,极大无关组为aaaa123 4

7a1

3a.324.a取何值时，方程组 有解.并求其通解〔要求用它的一个特解和导出组的根底解系表示〕.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：2 1 1 1 1 1 2 1 4 2 1 2 1 4 2 A=1 2 1 4 20 5 3

0 5 3 7 3. 1 7 4 11 a 0 5 3 7 a 假设方程组有解，则rA)rA，故1 0 1 6 4555555当时继续施以初等行变换得：A0 1 3 5 0 0 0

3，原方程组50x41x6x的同解方程组为：1 5 5 3 5 4,

x为自由未知量，令

x =0，x

33x7x

3,4 3 42

5 5 3 5 4. z.-45 5 .得原方程组的一个特解：3 与导出组同解的方程组为：.50 0 0 x1x6x 5 3 5 4

令x

分别取10

得到导出组的根4 ,xx4

3 ，x

3x7x 3 45 3 5 4

x 0116 5 5

37，所以，方程组的全部解为：5 510 0 0 ,求A的特征值及特征向量，并判断A对角化，假设能，求可逆矩阵，使PP〔对角形矩阵〕．解：矩阵A的特征多项式为：2 0 0EA 1 2 1 (2)2(1),1 0 1所以，A1 2

2,3

1.对于1 2

2，求齐次线性方程组(2EA)xo的基础解系，0 0 0 1 0

012EA1 0 10 0

,得根底解系:1,0,从 0 1 0 1 0

而矩阵A的对应于特征值1 2

2的全部特征向量为:对于=1，求齐次线性方程组(EA)o的根底解系,3. z.-1 0 1 1 0 0 0EA1 1 10 1 11,从而矩阵 1 0 0 0A的对应于特征值3

1c1(c0).1 1 010因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量101， 0 1 0 1 0 1 0 2 0 0 所以，A相似于对角矩阵，且P=1 0 1，A= 0 1 1 用配方法将以下二次型化为标准形：解：f

xxxx22x2x34xx4xx4xx123 1 2 3 12 13 23 =x24x(xx)4(xx)24xx 2x22x2x24 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 23= 2x2x2x 2x24xx5x21 2 3 2 23 3=x

2x

2x

22x2 2

x23x2=x

2x

2x

22

x23x2.1 2

2 23

3 1 2

2 3 3yx2x

2x xy2y令1 1 2

3 1 1 2 y xx ,即x yy , 2 2 3 2 2 3yx3 3

xy3 3得二次型的标准形为： y22y23y2.1 2 3四、证明题〔本大题共6分〕设向量是R3空间中的一个基.

，证明向量组1 1 0 1 1 0证：因为1 1 0=0 2 0=2所以a，a

线性无关，1 1 1

0 0

1 2 3. z.-所以向量组a,a1 2

,a是R3空间中的一个基.3线性代数〔经管类〕综合试题二〔课程代码4184〕一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。1.假设三阶行列式 =0,则k= (C).A．1 B．0 C．-1 D．-2设B为n阶方,则 成立的充要条件是 (D).A．A可逆B．B可逆设A是n阶可逆矩是A的伴随矩,则 (A).B．C． D．矩阵 的秩为2，则B).A．2 B．1 C．0 D．设34矩阵A的秩1， 是齐次线性方程组o的个线性无关的解向量，则方程组的根底解系为 (D).C．

D．. z.-向量(C ).A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=

线性相关,则设u,u是非齐次线性方程组的两个,假设 是1 2其(B

导 出

的 解 , 则 有A．c+c=1B．c=cC．c+c=0D．c=2c1 2 1 2 1 2 1 2设A为2阶方阵且2则必有 (B A．A的行列式等于1B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于ED．A的特征值均为1设三阶矩阵A的特征值为2,1,，则-1的特征值(D A．1,2B．2,1,1C． ,1D． ,1,110.(A ).

二 次 型 是正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. = 5 ．12.设A为三阶方且|A|=4，32 ．. z.-设 , 则1 1 0

1 1

． 0 4 10 向量

则-1=_2 1 ．5 5 表示为向量组的线性组合式为 1

2

．3如果方程组 有 非零解 , 则-1 ．设向量 与 正交，则2 ．实对称矩阵 ,写出矩阵 A对应的二次型_(x,x,x)x22x23x2xx 3xx．1 2 3 1 2 3 12 13矩阵A与对角矩阵= 相似，则= E ．. z.-设实二次型 的矩阵A是满秩矩阵且二次型的惯性指数为3，则其规形_y2y2y2y2 ．1 2 3 4三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕xx3yyyy1yyy1yyyx3yxyy(x3y)xyy(x3y)xy00x3yyxy1yxy00xy0x3yyyx1yyx000xy

的值.=(x3y)(xy)3设矩阵，求矩阵.4 3 11 1 2 9所以，A1B5 3 10 23 10 6 4 12 1 设矩阵1，2，3.

kA的秩1 2 1 2 3k 解：对矩阵A施行初等变换：A1 2k 30 2k2 3k31 2 3

k 2 3 0 2k2 3 当k1时，A0 0 0,矩阵A的秩r(A)1; 0 0 0 . z.-1 2 6当k时0 3 3,矩阵的秩r(2; 0 0 0 1 2 当k且k时,A0 1

矩阵的秩r3. 0 0 1 求向量组 的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：将所给列向量构成矩阵 A，然后实施初等行变换：1 1 1 2 1 1 1 2(aaaa

1)

2 3

1 2 21234

1 3 7 10 1 4 13 20 1

2 6 83 12 181 1 1 2 0 1 2 2 0 0 2 4

1 1 2 1 2 2 0 1 2

0 0 21 0 2，0 1 20 0 1 2 0

0 0 0

0 0 0所以，向量组的秩

，向量组的一个极大无关组为：a,a1 2

a且有a3

2a1

2a2

2a.3求线性方程.

的根底解系，并用根底解：对方程组的系数矩阵〔或增广矩阵〕作初等行变换：x

4x

5x1 3

4

,x为自由未知量.x 3x2 3

4x 3 44. z.-4 5令x

10

3 4 3分别取 , 得基础解系:

,

.x

01

1 1

04 0 14 5方程组的通解为：

3 4cvcv c

c

.(cc

为任意常数)11 23 11 20 120 1 矩阵 ，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使1 1 1解：矩阵A的特征多项式为：EA

1

1 2(3),得矩阵A1 2

0,3

1

1 1对于1 2

0求方程组(0EA)xo的根底解系.1 1 1 1 1 1 1 1因为1 1 1

0 0 0，得根底解系为a

1,

0, 1 2 0 1 1 1 0 将此线性无关的特征向量正交化，得：对于=3解方程组(3EA)xo.3

2 1 1 1 0 1 1因为1 2 10 1 1，方程组的基础解系为a 1, 3 1 1 2 将其单位化，得：

13 3 =1.33 3 13 3 P是正交矩阵，且P1AP1. z.-四、证明题〔本大题共6设向量组 线性无关，证明：向量组也线性无关.证：令整理得：因为a,a1 2

,...,as

线性无关，所以故 a,a1 1

a,aa2 1

a,...,aa3 1

...as

线性无关.线性代数〔经管类〕综合试题三〔课程代码4184〕一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。当(D )成立时， 阶行列式的值为.行列式主对角线上的元素全为零行列式中有

个元素等于零阶子式为零行列式所有 阶子式全为零均为n为单位矩阵，且满足结论必然成立的是 ( B).A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E设均为n阶可逆矩阵，则以下等式成立的是 ( D).. z.-.()-1--1 (+)-1-1-1D.以下矩阵不是初等矩阵的是 ( B).B. C. D.设

是4维向量组，则

( D).至少有两个向量成比例只有一个向量能由其余向量线性表示D设A为n矩阵且则齐次线性方程组*=o必 (C 无解 B.只有唯一零解 C.有非零解 能确定7.4A的秩为3，又( DA.C.

是A*=b的两个解,则A*=b的通解是B.D.如果矩阵A与B满足( D)，则矩阵A与B相似.有一样的行列式C.有一样的秩. z.-D.有一样的特征值,且这些特征值各不一样设A是n阶实对称矩阵则A是正定矩阵的充要条件是 (D ).BA的每一个元素都大于零C. D.A的正惯性指数为n设为同阶方阵，且=则 (C ).A与B相似 B.A与B合同C.A与B等价 二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 24.设A为三阶矩阵|=-将矩阵A按列分块其中 是A的第j列，

，,则|B|=6.

，*=1 1.1 2向量组=-2.

k向量向量

的长度在基

=15.

下的坐. z.-设的秩

是4元齐次线性方程组A*=o的根底解系，则矩阵A设 是三阶矩阵A 的特征值，则a=1.假设次型，则 满足5.

是正定二A1,2,3，矩阵.三、计算题〔本大题共6954分〕求：(1)矩阵

，E为三阶单位矩阵..3 0 0 2 0 0 1 0 01A2E

1 1 00 2 0

1 1 0〔2〕因为

1 2 3 向量组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：所以，向量组的秩r(a,a1 2

,a,a3

,)2. z.-〔2〕向量组的一个极大无关组为：a,a1 3

，且有a2

2a,a1

2a1

2a.3讨论a解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：假设方程组有解，则rA)rA)2，从而a当a1时，原方程组的通解方程组为：

有解.当方程令x x3 4

,(0,1,0,0)T.

4x1x x

4 ,

,x为自由未知量.x 3 42 3 4令x分别取10得导出组的根底解系：3

(0,1,1,0)T,(4,1,0,1)T.4x 014所以，方程组的通解为：向量组

，讨论该向量组1 2 1 1 2 1解：因为1

1=0 a

2 (a2)(a6)2 4 a 0 8 a2矩阵，. z.-A的特征值与特征向量；判断A可否与对角矩阵相似，假设可以，求一可逆矩阵P解：矩阵A的特征多项式为：1 1 0EA 4 3 0 (2)(1)2,1 0 2所以，A

=1，=21 2 3对于=1 2

=1，求齐次线性方程组(EA)xo的根底解系，2 1 0 1 0 1 1EA4 2 00 1 2,2, 1 0 1 A的对应于特征值1 2

1 的全部特征向量为：c=2c 1 1 对于=2，求齐次线性方程组(2EA)xo的基础解系，3因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵.设二次型将二次型化为标准形；解：(1)利用配方法，将二次型化为标准形：. z.-yxxx xyy令1 1 2 3 1 1 2223 y xx ,即x y y,2232 2 3y x x yy3 3 3 3得二次型的标准形为：y2y1 2

25y2.3〔2〕由上述标准形知：二次型的秩为四、证明题〔本大题共627.A是n

，证明矩阵A可逆，并求证：由(AE)2得：A22AE 从而所以A可逆,且A1A2E.线性代数〔经管类〕综合试题四〔课程代码4184〕一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。三阶行列式 则a= ( ).A.2 B.3 C. D.-3设 A，B均为 n阶非零方阵，以下选项正确的选项( )..(-)=22 .()-1=-1-1C.假设则或D.=设A ( ).. z.-B. C. D.A.设向量

的秩为则 ( ).B.t=-4 C.t是任意实数 D.以上都不对，则 ( ).A.(1,0,5,4) B.(1,0,-5,4) C.(-1,0,5,4) D.(1,0,5,-6)向量组 线性相则( ).A.k=-4 B.k=4 C.k=3 D.k=2uA*=b的两个解，假设cu+cu也1 2 1 1 2 2是方程组A*=b的解，则 ( ).c+c

=1 B.c=

C.c+

=0 D.c=2c1 2 1 2 1 2 1 2设n矩阵A的秩)=-3>3， 是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组的根底解系( ).B.C. D.特征值( ).( ).

A.3，5 B.1，2 C.1，1，2 D.3，3，5BnC.负惯性指数为 D.各阶顺序主子式均为正数. z.-二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. .设A|=*|*|=.设

，则 =.，则积 =.假设向量 不能, )=.

线性表示，且r(

)=2，则设线性方程组方程组是.

有解，则t=.的根底解系含有解向量的个数AB相似，A1，2，则设二次型的矩阵 ,则二次型 .用正交变换将二次型，则矩阵A

化为标准形为三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕. z.-计算n阶行列式 .解矩阵方程： 验证量 在此基下的坐.

是R3的一个基，并求向

线性无关，令，试确定向量组 的线性相关.通解.

的根底解系，并表示其求矩阵 的特征值和全部特征向四、证明题〔本大题共6分〕设 是三维向量组，证明： 线性无关的充分必要件是任一三维向量都可由它线性表.线性代数〔经管类〕综