2022-2023学年云南省昆明市农业大学附属中学数学高三第一学期期末预测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x 0, 1x 0, 若不等式x2ax10对于一切 2恒成立，则的最小值是（） A．0 B．C．52

D．”.设A、B为两个同高的几何体，p:A、B的体积不相等，q:A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的（）C．充要条件

必要不充分条件D3．设集合ABx22xm若AB{3}，则B（ ）B．C．

为等差数列n

的前n项和.若an 2

5，S4

16，则a6

（ ）A．5 B．3 C．－12 D．－13定义在R上的偶函数fx满足fx1f x

fx0，且在区间,是锐角三角形的两个内角，则fcos的大小关系是（ ）A．fsinfcosC．fsin=fcos

B．fsinfcosD．以上情况均有可能如图，在

M是边

的中点，将

沿着AM翻折成 ，且点不在平面

内，点是线段 上一点若二面角

与二面角

的平面角相等，则直线 经过

的（ ）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心7．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%，根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A．2019年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A．800 B．1000 C．1200 D．1600在复平面内，复数zabi（a，bR）对应向量OZ（O为坐标原点，设OZr，以射线OxOZ为终边旋转的角为，则zrcosisin，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1

r1

isin，1zr2

cos2

isin2

，则zz12

rr1

cos1

isin2

，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：23rcosisin3

rncosisin，已知z3i4，则

z（ ）z3A．23

B．4 C．8

D．16已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1已知点f(x)(m1)xn的图象上，设a

m,bf(ln),cf(n)，则（ ）n A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b欧拉公式为eixcosxisinxi)建立了三角函数和指数函数的关系它在复变函数论里非常重要被誉为数学中的天桥根据欧拉公式可知，e3i示的复数位于复平面中的（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知函数）axln﹣b（，）在点（，（）处的切线方程为=﹣，则ab= .设F为抛物线Cy2

4xBD为C上互相不重合的三点，且|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，若线段AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)，则B的坐标为 .已知点(1,2)

x2y2a2 4

0)渐近线上的一点，则双曲线的离心率 已知复数z1，其中i为虚数单位，则z2的模为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知圆O:x2y24,定点(1,0),P为平面内一动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C求曲线C的方程过点Q(2, 3)的直线l与C交于E,F两点，已知点D(2,0)，直线xx0

DEDFS,T两点，线段ST的中点M是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.18（12分）如图，在四棱柱ABCDABC

平面ABCD ，底面ABCD满足AD∥BC，且ABADAA1

11 1 1 1DC2 2.(Ⅰ)求证ABADDA;11(Ⅱ)ABB

所成角的正弦值.1 119（12分）已知函数fxtanxasin2x2x0x．2 2 若a0fx的单调区间；fx0恒成立，求实数a的取值范围．20（12分）求函数y 1x 3x2的最大值．21（12分在四边形ABCPABBC使PBPA，求证：

2,P

PC2如图将PAC 沿AC边折起连结PB，3平面ABC平面PAC ；FABAPPCF所成角的正弦值为3FPCA的大小.422（10分）如图，三棱柱ABCABC的所有棱长均相等，B在底面ABC上的投影D在棱BC上，且AB∥平面1 1 1 1 1ADC1（Ⅰ）证明：平面ADC1

平面BCCB；11（Ⅱ）求直线AB与平面ADC1

所成角的余弦值.参考答案125601、C【解析】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．1 1 1解：不等式对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x- 对于一切x 0, 成立，2 x∵y=-x-1在区间0,1上是增函数

2x 2∴x1125x 2 25∴a≥-25∴a的最小值为-2故答案为C．考点：不等式的应用档题2、A【解析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A、BA、B在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A、B在等高处的A、BA是一个正放的正四面体，Bp是q的充分不必要条件，A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.3、A【解析】根据交集的结果可得3是集合B的元素，代入方程后可求m的值，从而可求B.【详解】依题意可知3是集合B的元素，即3223m0，解得m3，由x22x30，解得x1,3.【点睛】4、Ba1

d5，4a1

432

d16a1

7d2，计算可得a.6a52，S a52

d5，

43 d16，解得

7，d2，a a6

4 1 1 2 15d3.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n5、B【解析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求f(x)在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．【详解】由f(x1) 1

可得f(x2)f[(x1)1] 1

f(x，即函数的周期T2，f(x) f(x1)因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)f(x在(0,1)上单调递增，因为，是锐角三角形的两个内角，所以(0,1)且1即1，2 2 2所以coscos(1即0cossin1，2f(cos)f(sin)．故选：B．【点睛】6、A【解析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到

，得到答案.【详解】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故故 ，故，即为 中点.，两三棱锥高相等，故 ，故选：.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7、C【解析】根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.C.【点睛】8、B【解析】由图可列方程算得[250,350]总数频率可以求得成绩在[250,350]学生人数.【详解】1，得(0.0020.0042a0.002)501，解得a0.006，所以成绩在[250,350](0.0040.006)500.5，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.9、D【解析】根据复数乘方公式：rcosisin

rncosnisinn，直接求解即可.【详解】3 3

14

4z 3

42

i 16cos isin 2

2 6 6 16cos46isin4688，82882823z 16.z故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.10、A【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】ACB可知集合C2，所以符合要求的集合C有4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.11、B【解析】mRa，b，c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，m2∵n 3，＜l＜，＝，m∴n＜ln＜n，∴a＜b＜c，故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.12、A【解析】3计算ei3

cosisin1 i，得到答案.33 3 2 23【详解】根据题意eixcosxisinx，故e3

isin1 i.33 3 2 23A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.452013、0【解析】fef'e3，列方程组可求ab，即求ab.【详解】∵在点e,fe处的切线方程为y3xe，fefxaxlnxbx得ab2①.又 f'xalnxf'e2ab3②.a1,b1.ab0.【点睛】14、(1,2)或【解析】设出A,B,D三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.【详解】抛物线Cy24xxA(x

),B(x,y

),D(x,

)，由抛物线的定义可知：1 1 2 2 3 3|AF|x1

(1)x1

1，|BFx2

(1)x2

1，|DFx3

(1)x3

1，因为|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，所以有2|BF||DF||AF|x2

xx1 3，2因为线段AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)，所以EAED，因此有(3x)2y21 1(3x)2y23 3 96x(3x)2y21 1(3x)2y23 3

，化简整理得：1 1 1 3 3 3(xx1

)(xx1

2)0x1

x或xx3 1

2.若xx

xx 1 3xxx

x，这与已知矛盾，故舍去；1 3 2

2 1 2 3xx若xx1

2，所以有x 12

31y2

24x2

4y2

2.(1,2)或【点睛】5本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.15、5【解析】先表示出渐近线，再代入点(1,2)，求出a，则离心率易求.【详解】解：x2y2

0)

x2

y20(a0)a2 4 a2 4因为(1,2)a2

224

0(a0)a0)122212225故答案为：5

，ec55a55【点睛】考查双曲线的离心率的求法，是基础题.16、5【解析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由z1i，得z21i

34i，324232425.

5.【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。317（）x2y21（）存在，3x2y2 0.34 3【解析】APB，切点为NAyAAP4，故轨迹为椭圆，计算得到答案.设直线的方程为xty(2 3t)，设E(x,y1 1

),F(x,y32 3

),M(x,y0

)，联立方程得到yy 1 (x2)，y y

y2 (x

2)，计算2y0

，得到答案.s x2 1

T x2 2

x20【详解】设以AP为直径的圆心为B，切点为N，则OB2,OBBA2，取A关于y轴的对称点A，连接，故AP2(OBBA)42，P4的椭圆，其中a2,c1，x2 y2曲线方程为

1.4 3设直线的方程为xty(2 3t)，设E(x,y1 1

),F(x,y2

),M(x,y)，0 0y y yDEy

1 (x2),y 1 (x2)，同理y

2 (x

2)，x21

s x2 1

T x2 2所以2y yy

y (x

2)

y2 (x

2)，10 s 12y y

x1 012yy2yyt[yy123(yy)3(yy)12

x2 02即 0 1 2 ，x2 x0

2 x22 12 1 2xty(2 t)联立3x24y212

,(3t24)y26 2)y9t212 0，所以yy 1 2

24

,yy 9t9t212

，6 212t6 212t2y代入得 0

29t212 3t24

2y

2 30， x2 12 6 3t212 0 t[ 3 3]3t24 3t24所以点M都在定直线3x2y2 30上.【点睛】本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 66【解析】(Ⅰ)AA1

AB，根据AB2AD2BD2得到ABAD，得到证明.(Ⅱ)AAxyzB

的法向量n，1 1 1计算向量夹角得到答案.(Ⅰ) AA1

平面ABCD，AB 平面ABCD ，故AA1

AB.ABAD2BD2 2AB2AD2BD2ABAD.AD

A，故AB平面ADDA.1 11(Ⅱ)如图所示：分别以AB,AD,AA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，1A0,0,0BB1

，C2,4,0，D1

0,2,2. nBC0 4y2z0B

的法向量n

x,y,

，则 1

，即2x2y0，1 1

BD0 1 1x1nABABBCD

所成角为故sincosn,AB

nABn

1 1 2 6.2 6 6【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19（）增区间为 , ，减区间为0, （）

1,.44 24

2 【解析】将a0yfxyfx的单调区间；yfx的导数，分类讨论ayfxyfx的最fx0是否恒成立，可得实数a的取值范围．【详解】（1）当a0fxtanx2x

sinx

2x 0 2cosx 2则fx

cos2xsin2x2 1 212cos2

cos2x，cos2x cos2

x cos2

x cos2x当0x4

cos2x0fx0yfx为减函数；当x4 2

cos2x0fx0yfx为增函数.yfx的增区间为0,；4 2 4 （2）fxtanxasin2x2x0xf00，fx 1

222acos2x2 1

2a2cos2x12cos2

x cos2x 4acos4x2a2cos2x1

2cos

x1

2a

x1.cos2x cos2x1①当2a1a

2acos2x10，2由fx0，得4

x2

yfx为增函数；fx0，得0x4

yfx为减函数.则fx

ff00，不合乎题意；min

4 ②当2a1a1时，24a4acosx2cosx2acosx2cosx2afx

1 1 1 1 .cos2x2a不妨设cosx 2a

0,fx0xx.0（i）a1x0

，4

20 4 02当0x4

fx0yfx为增函数；当xx4 当xx0 2

fx0yfx为减函数；fx0yfx为增函数.此时fxmin

minf0,fx0

，而fx0

tanx0

asin2x0

2x0

tanx0

12acos2

x2x0

2tanx0

x，0构造函数gxtanxx，0x，则gx 1 1tan2x0，2 cos2xgxtanxx在区间0,gxg00， 2 2x0,tanxxf

2tan

x0.22fx

0 0 0f00，符合题意；min②当a1fx0yfx0,上为增函数，fxmin

22f00，符合题意；1a1yfx在0,

上单调递增，在x

, 上单调递减，在

, 上单调递增，4 42 0 0

4 2此时fx

1a

0

1a1.min

min

0,f

4

4 2 2 综上所述，实数a

2

1,.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.21520、2153【解析】试题分析：由柯西不等式(abcd)2

(a2c2)(d2b2得(

3x2)2(

1)21x33x133x2(33x3x1x33x133x21x31x33x133x2试题解析：因为(

3x2)2(

1)2(33x3x2)(11)20，所以y

3 31x3x1x3x2215333x3x2 7等号当且仅当 13y的最大值为3

1 x2 15．2 15

时成立．12考点：柯西不等式求最值21（）（）6【解析】ABCPACACO，连接OB、OP，可得3OBAC,OPAC，可求出OP3

.在中，由勾股定理可证得OPOB，结合OPACO，可证明OBPACABCPAC.3以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系OxyzFABAFmAB(0m1)，得出CFPFC的一个法向量n.APPCF所成角的正弦值，由其等于3，解得n.再结合OB为平面PAC的一个法向量，用向量法即可求出n与OB的夹角，结合图形，写出二面角4FPCA的大小.【详解】（）在PAC中，PAPC2,P3△PAC为正三角形，且AC22在ABC中，ABBC2ABCABBCAC的中点O，连接0BOPOBAC,OPACOB1,OP 3,PBPA2，PB2OB2OP2，OPOBOP ACO，AC,OPOP ACOOB平面PACOB平面ABC..平面ABC平面PAC（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0,1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, 3)，AB(1,1,0),AP(0,1, 3)，CP