第七章弯曲变形第二节叠加法课件

第四节计算弯曲变形的叠加法

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.一、叠加原理

（Superposition）

第四节计算弯曲变形的叠加法梁的变形1.载荷叠加（Superpositionofloads）多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2.结构形式叠加（逐段刚化法）1.载荷叠加（Superpositionofloads）[例1]图示悬臂梁，同时承受集中载荷

F1和

F2的作用。设梁的抗弯刚度为

EI，试用叠加法计算自由端

C

的挠度

wC

。解：1）在F1和单独作用下[例1]图示悬臂梁，同时承受集中载荷F1和F2的2）在F2和单独作用下2）在F2和单独作用下[例2]阶梯悬臂梁如图，试求自由端端

C

的挠度

wC

。已知

BC

段梁的抗弯刚度为为

EI、AB

段梁的抗弯刚度为为

2EI。解：该梁可看做由悬臂梁AB和固定在横截面B上的悬臂梁BC组成1）令AB不变形，只考虑BC变形2）令BC不变形，只考虑AB变形[例2]阶梯悬臂梁如图，试求自由端端C的挠度wC2）令BC不变形，只考虑AB变形（a）在F作用下（b）在Me作用下2）令BC不变形，只考虑AB变形（a）在F作用下（b2）令BC不变形，只考虑AB变形2）令BC不变形，只考虑AB变形[例3]外伸梁如图，试用叠加法计算截面

C

的挠度

wC和转角C

，设梁的抗弯刚度

EI

为常量。解：[例3]外伸梁如图，试用叠加法计算截面C的挠度wC[例4]如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷

q

，试用叠加法计算截面

C

的挠度

wC

。设梁的抗弯刚度

EI

为常量。解：[例4]如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷q，试叠加法的要点——1）叠加法适用前提：线弹性、小变形3）必须画出叠加变形图2）记住常用结论4）掌握叠加法的常用技巧叠加法的要点——1）叠加法适用前提：线弹性、小变形3）必须第五节弯曲刚度计算一、梁的刚度条件

式中，[w]

为梁的许用挠度第五节弯曲刚度计算一、梁的刚度条件式中，[w]2.采用合理的截面形状选用具有较高Iz

/

A

比值的截面形状3.减小梁的跨度结论：工字形截面较为合理二、提高梁的弯曲刚度的措施1.合理选材选用弹性模量

E

较高的材料结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义2.采用合理的截面形状选用具有较高Iz/A比值的[例5]图示简支梁由

No.

18

工字钢制成，长度

l=

3

m

，受q=

24

kN/m

的均布载荷作用。材料的弹性模量

E=

210

GPa

，许用应力

[

]

=

150

MPa

，梁的许可挠度

[w

]

=

l

/400

。试校核梁的强度和刚度。

解：1）强度校核最大弯矩查型钢表，Wz=

186

cm3，故梁的强度满足要求根据弯曲正应力强度条件[例5]图示简支梁由No.18工字钢制成，长度l2）梁的刚度校核查型钢表，得

Iz

=

1660

cm4梁的最大挠度发生在中间截面，为由于故梁的刚度满足要求2）梁的刚度校核查型钢表，得Iz=1660cm4梁的[例2]图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力

F

作用。已知F=

35

kN，跨度

l=

4

m

，许用应力

[

]

=

160

MPa

，许用挠度

[w

]

=

l

/

500

，弹性模量

E=

200

GPa

。试选择工字钢型号。解：1）强度计算最大弯矩根据梁的正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数[例2]图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力F作用。已2）刚度计算最大挠度发生于跨中截面，为根据梁的刚度条件得梁截面对中性轴的惯性矩查型钢表，No.

22a

工字钢的

Wz

=

3.09

104

m3、Iz

=

3.40105

m4，同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取No.

22a

工字钢。2）刚度计算最大挠度发生于跨中截面，为根据梁的刚度条件得梁截

第六节简单超静定梁4.由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。求解简单超静定梁的基本步骤——1.解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静定梁的相当系统；2.根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；3.计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得补充方程；第六节简单超静定梁4.由补充方程求出多余未知[例3]图示圆形截面梁，承受集中力

F

作用。已知F=

20

kN，跨度

l=

500

mm，截面直径

d

=

60

mm，材料的许用应力

[

]

=

100

MPa，试校核该梁的强度。解：1）解除多余约束2）建立变形协调方程3）建立补充方程4）求解多余未知力解得[例3]图示圆形截面梁，承受集中力F作用。已知F作弯矩图5）强度计算最大弯矩根据梁的弯曲正应力强度条件结论：该梁的强度符合要求作弯矩图5）强度计算最大弯矩根据梁的弯曲正应力结论：该梁的第四节计算弯曲变形的叠加法

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.一、叠加原理

（Superposition）

第四节计算弯曲变形的叠加法梁的变形1.载荷叠加（Superpositionofloads）多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2.结构形式叠加（逐段刚化法）1.载荷叠加（Superpositionofloads）[例1]图示悬臂梁，同时承受集中载荷

F1和

F2的作用。设梁的抗弯刚度为

EI，试用叠加法计算自由端

C

的挠度

wC

。解：1）在F1和单独作用下[例1]图示悬臂梁，同时承受集中载荷F1和F2的2）在F2和单独作用下2）在F2和单独作用下[例2]阶梯悬臂梁如图，试求自由端端

C

的挠度

wC

。已知

BC

段梁的抗弯刚度为为

EI、AB

段梁的抗弯刚度为为

2EI。解：该梁可看做由悬臂梁AB和固定在横截面B上的悬臂梁BC组成1）令AB不变形，只考虑BC变形2）令BC不变形，只考虑AB变形[例2]阶梯悬臂梁如图，试求自由端端C的挠度wC2）令BC不变形，只考虑AB变形（a）在F作用下（b）在Me作用下2）令BC不变形，只考虑AB变形（a）在F作用下（b2）令BC不变形，只考虑AB变形2）令BC不变形，只考虑AB变形[例3]外伸梁如图，试用叠加法计算截面

C

的挠度

wC和转角C

，设梁的抗弯刚度

EI

为常量。解：[例3]外伸梁如图，试用叠加法计算截面C的挠度wC[例4]如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷

q

，试用叠加法计算截面

C

的挠度

wC

。设梁的抗弯刚度

EI

为常量。解：[例4]如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷q，试叠加法的要点——1）叠加法适用前提：线弹性、小变形3）必须画出叠加变形图2）记住常用结论4）掌握叠加法的常用技巧叠加法的要点——1）叠加法适用前提：线弹性、小变形3）必须第五节弯曲刚度计算一、梁的刚度条件

式中，[w]

为梁的许用挠度第五节弯曲刚度计算一、梁的刚度条件式中，[w]2.采用合理的截面形状选用具有较高Iz

/

A

比值的截面形状3.减小梁的跨度结论：工字形截面较为合理二、提高梁的弯曲刚度的措施1.合理选材选用弹性模量

E

较高的材料结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义2.采用合理的截面形状选用具有较高Iz/A比值的[例5]图示简支梁由

No.

18

工字钢制成，长度

l=

3

m

，受q=

24

kN/m

的均布载荷作用。材料的弹性模量

E=

210

GPa

，许用应力

[

]

=

150

MPa

，梁的许可挠度

[w

]

=

l

/400

。试校核梁的强度和刚度。

解：1）强度校核最大弯矩查型钢表，Wz=

186

cm3，故梁的强度满足要求根据弯曲正应力强度条件[例5]图示简支梁由No.18工字钢制成，长度l2）梁的刚度校核查型钢表，得

Iz

=

1660

cm4梁的最大挠度发生在中间截面，为由于故梁的刚度满足要求2）梁的刚度校核查型钢表，得Iz=1660cm4梁的[例2]图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力

F

作用。已知F=

35

kN，跨度

l=

4

m

，许用应力

[

]

=

160

MPa

，许用挠度

[w

]

=

l

/

500

，弹性模量

E=

200

GPa

。试选择工字钢型号。解：1）强度计算最大弯矩根据梁的正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数[例2]图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力F作用。已2）刚度计算最大挠度发生于跨中截面，为根据梁的刚度条件得梁截面对中性轴的惯性矩查型钢表，No.

22a

工字钢的

Wz

=

3.09

104

m3、Iz

=

3.40105

m4，同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取No.

22a

工字钢。2）刚度计算最大挠度发生于跨中截面，为根据梁的刚度条件得梁截

第六节简单超静定梁4.由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。求解简单超静定梁的基本步骤——1.解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静定梁的相当系统；2.根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；3.计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得补充方程；第六节简单超静定梁4.由补充方程求出多余未知[例3]图示圆形