电路分析基础13-电路方程的矩阵形式课件

第13章电路方程的矩阵形式（）13.1割集13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵13.3回路电流方程的矩阵形式13.4节点电压方程的矩阵形式13.5割集电压方程的矩阵形式13.6状态方程13.7应用实例——计算机辅助电路分析

（，★）（，★）第13章电路方程的矩阵形式（）13.1割集（，★）（13.1

割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)

，将图分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}一、割集定义13.1割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有二、割集的确定在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G的一个割集。在图G上画高斯面（闭合面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465二、割集的确定在图G上作一个高斯面（闭合面），使其图13-1割集的定义245(b)15(c)12345(a)①②③④(d)234512345(f)①②③④Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)图13-1割集的定义245(b)15(c)12345(a三、基本割集888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。n个节点，b条支路的连通图G，独立割集的数目为(n－1)。

三、基本割集888(a)1234567(c)1234567思考与练习1.割集必须满足的条件是什么？

2.如何选择基本割集？3.割集和节点的关系是什么？

4.属于同一割集的所有支路的电流是否满足KCL？

思考与练习1.割集必须满足的条件是什么？2图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示:节点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵

13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVajk=

1有向支路k

背离

j节点。

-1有向支路k指向

j节点。

0有向支路k

与j

节点无关。1.关联矩阵：Aa={ajk}nb节点数支路数643521①②④③Aa=1234

123456

支节

100-101

-1-11000

0100-1-1

00-11

10设④为参考节点，划去第4行。

-1-11000A=123

123456

支节

100-101

0100-1-1称A为降阶关联矩阵

(n-1)b

，表征独立节点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。

一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义ajk=1有向支路k背离j节点。2.割集矩阵支路k与割集j方向一致。-1支路k与割集j方向相反。0支路k

不在割集j中。qjk=12345678(a)Q1

Q2Q3

Q4Q={qjk}n-1

b基本割集数支路数{(1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)}是该图的一组独立割集，流出闭合面方向为割集方向。

Q1Q2Q3Q414283576úúúúûùêêêêëé-----=11010000101000100001100100000111Q支路割集2.割集矩阵支路k与割集j方向一致。-1支路(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定:(1)割集方向与树支方向相同。12345678(b)Q1

Q2Q4Q3基本割集矩阵Qf选2、

4、5、8为树支，连支为1、3、6、7。Q1Q2Q3Q428475163支路割集=[1

Ql]EtQl(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定:(1)割3.回路矩阵B={bjk}lb基本回路数支路数1支路k与回路j关联，方向一致。-1支路k

与回路j关联，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=(a)12345678l2l3

l4l114283576l1l2l3l4支路回路3.回路矩阵B={bjk}lb基本回路数12345678

(2)支路排列顺序为先连支后树支。约定:(1)回路电流的参考方向取连支电流方向。基本回路矩阵Bf选2、

4、5、8为树支，连支为1、3、6、7。17386254b1b3b6b7支路回路=[1

Bt]ElBt12345678(2)支路排列顺序为先连支后树支。1.用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形式以节点④为参考节点Aib

=111000000-111000000-1-11n-1个独立方程矩阵形式的KCL:Aib=0二、用矩阵A、Q、B表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567①②③④1.用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形(2)KVL的矩阵形式矩阵形式=úúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu(2)KVL的矩阵形式矩阵形式=úúúúúúúúúûùê矩阵形式的KCL：矩阵形式的KCL：Qfib=0

(1)KCL的矩阵形式取（2，3，6）为树，1234567Q2Q1Q32.用矩阵Qf描述的基尔霍夫定律的矩阵形式矩阵形式的KCL：矩阵形式的KCL：Qfib=0(1)电路中的（n-1）个树支电压可用（n-1）阶列向量表示，即(2)KVL的矩阵形式，，，

，电路中的（n-1）个树支电压可用（n-1）阶列向l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bf

ub=03.用矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567(1)KVL的矩阵形式l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bfub=03.用(2)KCL的矩阵形式独立回路电流1234567矩阵形式的KCL：ib=BfTil(2)KCL的矩阵形式独立回路电流1234567矩阵形式的KQQi=0QTut=u小结：ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=0QQi=0QTut=u小结：ABAi13-1电路的有向图如图所示，(1)节点⑤为参考写出其关联矩阵A，(2)以实线为树枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵Bf(3)写出单树支割集矩阵Qf。例：解：⑤123456789①②③④(1)以节点⑤为参考节点，其余4个节点为独立节点的关联矩阵A为应用举例

13-1电路的有向图如图所示，(1)节点⑤为参考写出例：解：(2)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单连支回路矩阵Bf为⑤123456789①②③④(2)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,(3)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单树支割集矩阵Qf为⑤123456789①②③④(3)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,1.对于一个含有n个节点b条支路的电路，关联矩阵反映了什么关联性质？2.对于一个含有n个节点b条支路的电路，回路矩阵反映了什么关联性质？

检验学习结果3.对于一个含有n个节点b条支路的电路，割集矩阵反映了什么关联性质？

4.对于一个含有n个节点b条支路的电路，用矩阵A、Qf、Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式分别是什么？1.对于一个含有n个节点b条支路的电路，关联矩阵反映了什么关13.3回路电流方程的矩阵形式

Zk一、复合支路第k条支路第k条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感或电容，不允许是它们的组合。阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同。独立电压源，其参考方向和支路方向相反。独立电流源，其参考方向和支路方向相反。支路电压、支路电流，取关联参考方向。13.3回路电流方程的矩阵形式Zk一、复合支路1.电路中不含互感和受控源的情况(相量法)按定义写开

Zk二、支路方程的矩阵形式1.电路中不含互感和受控源的情况(相量法)按定义写2.电路中含有互感的情况设第k条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为流入同名端）：其余支路电压、电流的关系为：2.电路中含有互感的情况设第k条、j条支故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵，其非对角线元素的第k行、第j列和第j行、第k列的两个元素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的“±”，电流流入同名端的对应取“＋”，反之取“－”。

仍可统一写为故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵3.电路中含有受控源的情况而这时含有受控源的支路阻抗Z为非对角阵，非对角线上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：

Zk++－－kj3.电路中含有受控源的情况而这时含取回路电流（连支电流）为未知变量。回路方程矩阵形式

支路电压与支路电流的关系代入上面方程，整理后得Zk+-+-回路矩阵方程（回路电压源相量）Zl（回路阻抗阵）三、回路电流方程的矩阵形式

取回路电流（连支电流）为未知变量。回路方程矩阵形式例：解：13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式。124356+-μU2Z3Z6

IS6+-Z2Z5Z1+-

U2US1⑴画出有向图，给支路编号，选树(1,4,6)。⑵

应用举例

例：解：13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式⑶计算Zl和。矩阵形式回路电流方程的频域表达式为⑶计算Zl和。矩阵形式回路电流方程的频域表达式为13-3列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域表达式。例：解：R1C2L3L5uS4uS5**M12435⑴画出有向图，给支路编号，选树(1,4)。⑵应用举例

13-3列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域例：解：R1⑶计算Z(s)UlS(s)。矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为⑶计算Z(s)UlS(s)。矩阵形式回路电流方程的复频域表。小结列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给支路编号，选树。(2)写出支路阻抗矩阵Z(s)和回路矩阵Bf。按标准复合支路的规定写出支路电压列向量(4)写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式或(3)求出回路阻抗矩阵。。小结列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给思考回答

1.什么是复合支路？

2.矩阵形式回路电流方程的列写中，若电路中含有无伴电流源，将会有何问题？思考回答1.什么是复合支路？2.矩阵形式回路电

13.4节点电压方程的矩阵形式一、复合支路—

元件电流—

支路电流—

受控电流—

支路的复导纳（阻抗）—

支路电压—

独立电压源—

独立电流源按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许存在“纯电压源支路”。复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。Zk

(Yk)+-+-13.4节点电压方程的矩阵形式一、复合支路—元件电流二、支路方程的矩阵形式分三种不同情况进行分析。1.电路中不含互感和受控源

Zk(Yk)+-+-二、支路方程的矩阵形式1.电路中不含互感和受控源支路阻抗阵、支路导纳阵为

b×b

矩阵：按定义列写支路阻抗阵、支路导纳阵为b×b矩阵：按定义列2.具有互感情况下的节点电压分析设第k条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为流入同名端）。则2.具有互感情况下的节点电压分析设第k条、3.具有受控电流源的节点分析+对第k条支路有(1)VCCS时：(2)CCCS时：考虑b条支路3.具有受控电流源的节点分析+对第k条支路k

jYkj其中此方程形式与情况1相同，只是Y

不是对角阵。kjYkj其中此方程形式与情况1相同二、节点电压方程的矩阵形式KCL支路方程：节点导纳矩阵独立电源引起的注入节点的电流列向量KCL：KVL：二、节点电压方程的矩阵形式KCL支路方程：节点导纳矩阵独立13-4列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。例：解：L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④

.US

=0,

..

.IS

=[00

IS3IS400]T(1)作有向图，选参考节点；(2)写关联矩阵A、独立电源列相量和支路导纳矩阵；应用举例

13-4列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。例：解：L1

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=AIS

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+

.IS4

=0

.-IS4

R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL21jwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag[,,,,,]AYAT...(3)求AY1.画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。2.写出关联矩阵A3.写支路导纳矩阵Y5.写出矩阵形式节点电压方程的表达式4.写列向量小结列写节点电压方程矩阵形式的步骤如下：1.画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。2.写出关联

1.节点电压方程的矩阵形式的一般步骤是什么？

2.矩阵形式节点电压方程的列写中，若电路中含有无伴（无串联电阻）电压源，将会有何问题？想想练练？1.节点电压方程的矩阵形式的一般步骤是什么？2.矩

13.5割集电压方程的矩阵形式割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。复合支路用导纳表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-13.5割集电压方程的矩阵形式割集电压是指割集矩阵方程割集电压法是节点电压法的推广。割集矩阵方程割集电压法是节点电压法的推广。例：应用举例

13-5以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。设L3、L4、C5的初始条件为零。31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)选1、2、3为树支，3个单树支割集如虚线所示，树支电压Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集电压，它们的方向也是割集的方向。基本割集矩阵Q为:iS2R2R1L4L3C5iS1解：例：应用举例13-5以运算形式写出如图所示电路的割集电压源和电流源列向量分别为（运算法）：支路导纳矩阵为：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1电压源和电流源列向量分别为（运算法）：支路导纳矩阵为31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1则割集电压方程的矩阵形式为：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)由此可得：(1)两个割集互电导中的公共支路若同时与两个割集同(或反)方向，该支路电导取正号，反之取负号。

因为每一树支只能出现在本割集中，所以割集互导不可能包含树支，全部由连支构成。任一连支若是某两单树支割集的共有支路，则该两树支必包含在这个连支的单连支回路中，则：当沿着树绕行，两个树支方向相同时其割集互导为正，反之为负。(2)当电压源正极性对着该割集方向时取正号，反之取负号。由此可得：(1)两个割集互电导中的公共支检验学习结果

1.列写割集电压方程的矩阵形式的步骤是什么？

2.节点电压方程和割集电压方程有何区别和联系？检验学习结果1.列写割集电压方程的矩阵形式的步骤是什么？13.6状态方程一、状态和状态变量1.状态:电路在任何时刻所必需的最少信息,它们和自该时刻以后的输入(激励)足以确定该电路的性状。2.状态变量:描述电路的一组最少数目独立变量,如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。选定系统中一组最少数量的变量X=[x1，x2，…，xn]T,如果当t=

t0时这组变量X(t0)和t

t0后的输入e(t)为已知,就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。13.6状态方程一、状态和状态变量1.状态:电路在任何时刻二、状态方程用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。特点：1.联立一阶微分方程组；2.左端为状态变量的一阶导数；3.右端仅含状态变量和输入量；[x]=[x1

x2xn]T式中:一般形式:\nn\nmn1m1二、状态方程用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR选uC,iL

为状态变量，列微分方程。整理得状态方程三、状态方程的列写1.直观法13-6电路图如图所示，选uC，iL为状态变量，列写状态方程。解：例：应用举例

RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR选u矩阵形式RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR(4)把状态方程整理成标准形式。对于简单的网络，用直观法比较容易，列写状态方程的步骤为：(1)选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；(2)对只接有一个电容的节点列写KCL方程；对只包含一个电感的回路列KVL方程；(3)列写其他必要的方程，消去方程中的非状态变量；直观编写法的缺点：1)编写方程不系统，不利于计算机计算。

2)对复杂网络的非状态变量的消除很麻烦。矩阵形式RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-L步骤：

(1)选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，

而不包含电容和电流源。(2)对包含电容的单树支割集列写KCL方程。(3)对包含电感的单连支割集列写KVL方程。(4)列写其他必要的方程，消去非状态变量。(5)整理并写出矩阵形式。2.系统法：对于比较复杂的电路，仅靠观察法列写状态方程有时是很困难的，有必要寻求一种系统的编写方法。简单的说，系统编写法就是寻求一个适当的树，使其包含全部电容而不包含电感。对含电容的单树支割集用KCL可列写一组含有的方程。对于含电感的用KVL可列写出一组含有的方程。这些方程中含有一个导数项，若再加上其他约束方程，便可求得标准状态方程。单连支回路运步骤：2.系统法：对于比较复杂的电路，仅靠观察法列写状态的方13.7列写如下图所示电路的状态方程。解：例：+_1F+_+__uSiSuiLiC11对图示的两个树支，按基本割集列写KCL方程对图示的两个连支，按基本回路列KVL方程应用举例

13.7列写如下图所示电路的状态方程。解：例：+_1F+_整理得矩阵形式状态方程为整理得矩阵形式状态方程为检验学习结果

1.状态方程系统列写法的步骤是什么？

2.如何选取特有树？检验学习结果1.状态方程系统列写法的步骤是什么？213.7应用实例——计算机辅助电路分析

电路的矩阵表示用计算机程序分析电路时，应根据电路图写出这些电路数据，在程序运行时，从键盘将这些数据输入计算机，或者将这些数据先存入到某个数据文件(例如D.DAT)中，让计算机从这个文件中自动读入这些数据。13.7应用实例——计算机辅助电路分析电路的矩阵表示13-8用DCAP程序对图13-21所示电路进行分析。-----电压，电流和功率-----节点电压V1=8.000V2=1.000V3=3.000各支路吸收功率之和P=.0000解：例：应用举例

运行DCAP程序，读入图(b)所示电路数据，选择菜单中的功能代码2，可得到各节点电压，各支路电压、电流和吸收功率：13-8用DCAP程序对图13-21所示电路进行分析。---小结：看看记记一、割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)

，将图分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。

3.这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。对于一个具有n个节点，b条支路的连通图G，独立割集的数目等于树支数，为（n－1）。

215634Q1Q2Q3小结：看看记记一、割集割集Q是连通图G中支路二、关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵ajk=

1有向支路k

背离

j节点。

-1有向支路k指向

j节点。

0有向支路k

与j

节点无关。1.关联矩阵：Aa={ajk}nb节点数支路数643521①②④③Aa=1234

123456

支节

100-101

-1-11000

0100-1-1

00-11

10设④为参考节点，划去第4行。

-1-11000A=123

123456

支节

100-101

0100-1-1称A为降阶关联矩阵

(n-1)b

，表征独立节点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。

二、关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵ajk=1有向1支路k与割集j方向一致。-1支路k与割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定：(1)割集方向与树支方向相同。2.基本割集矩阵：Q={qjk}n-1

b基本割集数支路数选4、5、6为树支，连支为1、2、3。Q1Q2Q3Q=456123支路割集100-1-10

01011-1=[1

Ql]

0010-11QtQlQ1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}123

6541支路k与割集j方向一致。-1支3.基本回路矩阵：选4、5、6为树支，连支为1、2、3。123B=123456支路回路1001-10

0101-11=[1

Bt]

00101-1BlBt123

654l3l2l3l1B={bjk}lb基本回路数支路数1支路k与回路j关联，方向一致。-1支路k

与回路j关联，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=3.基本回路矩阵：选4、5、6为树支，连支为1、2、3。三、回路分析法列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：根据已知电路，画出有向图，写出回路矩阵B；写出支路阻抗矩阵Z，电源列向量3.求出回路阻抗矩阵4.列出回路方程；；。四、节点分析法1.画有向图2.写出关联矩阵A3.写支路导纳矩阵Y5.用矩阵乘法求得节点方程4.写列向量三、回路分析法列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：3.求出回1.选定一个树，写出五、割集分析法2.求出3.列出割集方程线性电路以iL,uC为状态变量。六、状态方程的列写

步骤：

1.选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，

而不包含电容和电流源。

2.对包含电容的单树支割集列写KCL方程。

3.对包含电感的单连支割集列写KVL方程。

4.列写其他必要的方程，消去非状态变量。

5.整理并写出矩阵形式。1.选定一个树，写出五、割集分析法2.求出3.列出割集课后习题13-1图(a)以节点4为参考节点，图(b)以节点5为参考节点，写出13-1图所示有向图的关联矩阵A。(a)123456解：课后习题13-1图(a)以节点4为参考节点，图(b)以(b)12345678(b)12313-2下图所示有向图，若选支路1、2、3为树支，写出基本回路矩阵和基本割集矩阵。(a)456123解：13-2下图所示有向图，若选支路1、2、3为树支，写出和基(b)123456(b)12313-3电路如下图所示，列出矩阵形式的回路电流方程。R1R2-+1①②③④2345l2l1

1

2

3

45解：13-3电路如下图所示，列出矩阵形式的回路电流方程。R1R2R1R2-+1①②③④2345l2l1R1R2-+1①②③④2345l2l113-4用矩阵形式列出电路的回路电流方程：(1)L2和L3之间不含互感；(2)L2和L3之间含有互感。

15243(1)选支路1、4、5为树支，支路2、3为连支，则基本回路矩阵为：解：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-13-4用矩阵形式列出电路的回路电流方程：15243(代入(2)L2和L3之间含有互感时，只有支路阻抗阵和(1)不同，电流流进互感同名端，则+US5R5R1L2L3C4IS1123M-代入(2)L2和L3之间含有互感时，只有支路阻抗阵和(1)则回路电流矩阵方程为：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-则回路电流矩阵方程为：+US5R5R1L2L3C4I123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0解：13-5

列写如图所示电路的节点电压方程。(1)L2和L3之间不含互感；(2)L2和L3之间含有互感。(1)123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-从[Yn]可知，[Yn]主对角线上的元素为节点自导纳,恒为正值，主对角线外的元素为节点之间的互导纳，恒取负值。等式右边为节点电流源流进的电流（流入为“+”）。从[Yn]可知，[Yn]主对角线上的元素为节点自导纳(2)L2和L3之间有互感。123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123M-解：(2)L2和L3之间有互感。123123450+US+US5R5R1L2L3C4IS1123M-则+US5R5R1L2L3C4IS1123M-则电路分析基础13-电路方程的矩阵形式课件3451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2C51234513-6电路如下图(a)所示，图(b)是它的有向图。设的初始条件为零，试用运算形式列写出该电路的节点电压方程。、、解：3451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2CL3iS5(a)L4G1G2C53451①②③④2(b)L3iS5(a)L4G1G2C53451①②③④2524310312-g13-7电路如图所示,L1和L2之间有互感,试列写节点电压方程。iS5guauaG5C3G4+

-

**ML2L1解：其中524310312-g13-7电路如图所示,L1和L2之间有代入，得其中代入，得其中13-8电路如图所示，试用运算形式写出该电路割集电压方程的矩阵形式。（设电感电容的初始条件为零）(1)作出电路的有向图，如图(b)所示，选支路1、2、3为树支。(3)由于电源中不含受控源，所以支路导纳矩阵为一对角阵L4R1R1C5L3C6R2L3(a)152436(b)123456解：(2)由图(b)可写出基本割集矩阵13-8电路如图所示，试用运算形式写出该电路割集电压(4)将上式关系代入割集电压方程得:电压源和电流源列向量分别为:(4)将上式关系代入割集电压方程得:电压源和电流源列向量分别

13-9选

uC,i1,

i2为状态变量，列写状态方程。R1

-+uSCuCiSiRR2i2L2L1

-+i1解：13-9选uC,i1,i2为状态变量，电路分析基础13-电路方程的矩阵形式课件学习结束学习结束第13章电路方程的矩阵形式（）13.1割集13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵13.3回路电流方程的矩阵形式13.4节点电压方程的矩阵形式13.5割集电压方程的矩阵形式13.6状态方程13.7应用实例——计算机辅助电路分析

（，★）（，★）第13章电路方程的矩阵形式（）13.1割集（，★）（13.1

割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)

，将图分成两个分离部分。2.保留Q

中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}一、割集定义13.1割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有二、割集的确定在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G的一个割集。在图G上画高斯面（闭合面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465二、割集的确定在图G上作一个高斯面（闭合面），使其图13-1割集的定义245(b)15(c)12345(a)①②③④(d)234512345(f)①②③④Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)图13-1割集的定义245(b)15(c)12345(a三、基本割集888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。n个节点，b条支路的连通图G，独立割集的数目为(n－1)。

三、基本割集888(a)1234567(c)1234567思考与练习1.割集必须满足的条件是什么？

2.如何选择基本割集？3.割集和节点的关系是什么？

4.属于同一割集的所有支路的电流是否满足KCL？

思考与练习1.割集必须满足的条件是什么？2图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示:节点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵

13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVajk=

1有向支路k

背离

j节点。

-1有向支路k指向

j节点。

0有向支路k

与j

节点无关。1.关联矩阵：Aa={ajk}nb节点数支路数643521①②④③Aa=1234

123456

支节

100-101

-1-11000

0100-1-1

00-11

10设④为参考节点，划去第4行。

-1-11000A=123

123456

支节

100-101

0100-1-1称A为降阶关联矩阵

(n-1)b

，表征独立节点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。

一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义ajk=1有向支路k背离j节点。2.割集矩阵支路k与割集j方向一致。-1支路k与割集j方向相反。0支路k

不在割集j中。qjk=12345678(a)Q1

Q2Q3

Q4Q={qjk}n-1

b基本割集数支路数{(1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)}是该图的一组独立割集，流出闭合面方向为割集方向。

Q1Q2Q3Q414283576úúúúûùêêêêëé-----=11010000101000100001100100000111Q支路割集2.割集矩阵支路k与割集j方向一致。-1支路(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定:(1)割集方向与树支方向相同。12345678(b)Q1

Q2Q4Q3基本割集矩阵Qf选2、

4、5、8为树支，连支为1、3、6、7。Q1Q2Q3Q428475163支路割集=[1

Ql]EtQl(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定:(1)割3.回路矩阵B={bjk}lb基本回路数支路数1支路k与回路j关联，方向一致。-1支路k

与回路j关联，方向相反。0支路k

不在回路j中。bjk=(a)12345678l2l3

l4l114283576l1l2l3l4支路回路3.回路矩阵B={bjk}lb基本回路数12345678

(2)支路排列顺序为先连支后树支。约定:(1)回路电流的参考方向取连支电流方向。基本回路矩阵Bf选2、

4、5、8为树支，连支为1、3、6、7。17386254b1b3b6b7支路回路=[1

Bt]ElBt12345678(2)支路排列顺序为先连支后树支。1.用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形式以节点④为参考节点Aib

=111000000-111000000-1-11n-1个独立方程矩阵形式的KCL:Aib=0二、用矩阵A、Q、B表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567①②③④1.用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形(2)KVL的矩阵形式矩阵形式=úúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu(2)KVL的矩阵形式矩阵形式=úúúúúúúúúûùê矩阵形式的KCL：矩阵形式的KCL：Qfib=0

(1)KCL的矩阵形式取（2，3，6）为树，1234567Q2Q1Q32.用矩阵Qf描述的基尔霍夫定律的矩阵形式矩阵形式的KCL：矩阵形式的KCL：Qfib=0(1)电路中的（n-1）个树支电压可用（n-1）阶列向量表示，即(2)KVL的矩阵形式，，，

，电路中的（n-1）个树支电压可用（n-1）阶列向l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bf

ub=03.用矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567(1)KVL的矩阵形式l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bfub=03.用(2)KCL的矩阵形式独立回路电流1234567矩阵形式的KCL：ib=BfTil(2)KCL的矩阵形式独立回路电流1234567矩阵形式的KQQi=0QTut=u小结：ABAi=0

BTil=iKCLKVL

ATun=uBu=0QQi=0QTut=u小结：ABAi13-1电路的有向图如图所示，(1)节点⑤为参考写出其关联矩阵A，(2)以实线为树枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵Bf(3)写出单树支割集矩阵Qf。例：解：⑤123456789①②③④(1)以节点⑤为参考节点，其余4个节点为独立节点的关联矩阵A为应用举例

13-1电路的有向图如图所示，(1)节点⑤为参考写出例：解：(2)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单连支回路矩阵Bf为⑤123456789①②③④(2)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,(3)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单树支割集矩阵Qf为⑤123456789①②③④(3)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,1.对于一个含有n个节点b条支路的电路，关联矩阵反映了什么关联性质？2.对于一个含有n个节点b条支路的电路，回路矩阵反映了什么关联性质？

检验学习结果3.对于一个含有n个节点b条支路的电路，割集矩阵反映了什么关联性质？

4.对于一个含有n个节点b条支路的电路，用矩阵A、Qf、Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式分别是什么？1.对于一个含有n个节点b条支路的电路，关联矩阵反映了什么关13.3回路电流方程的矩阵形式

Zk一、复合支路第k条支路第k条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感或电容，不允许是它们的组合。阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同。独立电压源，其参考方向和支路方向相反。独立电流源，其参考方向和支路方向相反。支路电压、支路电流，取关联参考方向。13.3回路电流方程的矩阵形式Zk一、复合支路1.电路中不含互感和受控源的情况(相量法)按定义写开

Zk二、支路方程的矩阵形式1.电路中不含互感和受控源的情况(相量法)按定义写2.电路中含有互感的情况设第k条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为流入同名端）：其余支路电压、电流的关系为：2.电路中含有互感的情况设第k条、j条支故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵，其非对角线元素的第k行、第j列和第j行、第k列的两个元素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的“±”，电流流入同名端的对应取“＋”，反之取“－”。

仍可统一写为故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵3.电路中含有受控源的情况而这时含有受控源的支路阻抗Z为非对角阵，非对角线上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：

Zk++－－kj3.电路中含有受控源的情况而这时含取回路电流（连支电流）为未知变量。回路方程矩阵形式

支路电压与支路电流的关系代入上面方程，整理后得Zk+-+-回路矩阵方程（回路电压源相量）Zl（回路阻抗阵）三、回路电流方程的矩阵形式

取回路电流（连支电流）为未知变量。回路方程矩阵形式例：解：13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式。124356+-μU2Z3Z6

IS6+-Z2Z5Z1+-

U2US1⑴画出有向图，给支路编号，选树(1,4,6)。⑵

应用举例

例：解：13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式⑶计算Zl和。矩阵形式回路电流方程的频域表达式为⑶计算Zl和。矩阵形式回路电流方程的频域表达式为13-3列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域表达式。例：解：R1C2L3L5uS4uS5**M12435⑴画出有向图，给支路编号，选树(1,4)。⑵应用举例

13-3列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域例：解：R1⑶计算Z(s)UlS(s)。矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为⑶计算Z(s)UlS(s)。矩阵形式回路电流方程的复频域表。小结列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给支路编号，选树。(2)写出支路阻抗矩阵Z(s)和回路矩阵Bf。按标准复合支路的规定写出支路电压列向量(4)写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式或(3)求出回路阻抗矩阵。。小结列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给思考回答

1.什么是复合支路？

2.矩阵形式回路电流方程的列写中，若电路中含有无伴电流源，将会有何问题？思考回答1.什么是复合支路？2.矩阵形式回路电

13.4节点电压方程的矩阵形式一、复合支路—

元件电流—

支路电流—

受控电流—

支路的复导纳（阻抗）—

支路电压—

独立电压源—

独立电流源按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许存在“纯电压源支路”。复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。Zk

(Yk)+-+-13.4节点电压方程的矩阵形式一、复合支路—元件电流二、支路方程的矩阵形式分三种不同情况进行分析。1.电路中不含互感和受控源

Zk(Yk)+-+-二、支路方程的矩阵形式1.电路中不含互感和受控源支路阻抗阵、支路导纳阵为

b×b

矩阵：按定义列写支路阻抗阵、支路导纳阵为b×b矩阵：按定义列2.具有互感情况下的节点电压分析设第k条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为流入同名端）。则2.具有互感情况下的节点电压分析设第k条、3.具有受控电流源的节点分析+对第k条支路有(1)VCCS时：(2)CCCS时：考虑b条支路3.具有受控电流源的节点分析+对第k条支路k

jYkj其中此方程形式与情况1相同，只是Y

不是对角阵。kjYkj其中此方程形式与情况1相同二、节点电压方程的矩阵形式KCL支路方程：节点导纳矩阵独立电源引起的注入节点的电流列向量KCL：KVL：二、节点电压方程的矩阵形式KCL支路方程：节点导纳矩阵独立13-4列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。例：解：L1R5R4iS4L2R3C6iS3②③④①123456③②①④

.US

=0,

..

.IS

=[00

IS3IS400]T(1)作有向图，选参考节点；(2)写关联矩阵A、独立电源列相量和支路导纳矩阵；应用举例

13-4列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。例：解：L1

AYAT

.Un

.

=AIS

.-AYUS(3)求AYAT并代入得到

AYAT

.Un

.

=AIS

.Un1

.Un2

.Un3

.IS3+

.IS4

=0

.-IS4

R31+R41+jwL11-jwL11-R41-jwL11jwL11+jwL21+jwC6-jwL21-R41-jwL21R41+R51+jwL21jwL11jwL21R31R41R51jwC6Y=diag[,,,,,]AYAT...(3)求AY1.画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。2.写出关联矩阵A3.写支路导纳矩阵Y5.写出矩阵形式节点电压方程的表达式4.写列向量小结列写节点电压方程矩阵形式的步骤如下：1.画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。2.写出关联

1.节点电压方程的矩阵形式的一般步骤是什么？

2.矩阵形式节点电压方程的列写中，若电路中含有无伴（无串联电阻）电压源，将会有何问题？想想练练？1.节点电压方程的矩阵形式的一般步骤是什么？2.矩

13.5割集电压方程的矩阵形式割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。复合支路用导纳表示的支路方程：Zk(Yk)+-+-13.5割集电压方程的矩阵形式割集电压是指割集矩阵方程割集电压法是节点电压法的推广。割集矩阵方程割集电压法是节点电压法的推广。例：应用举例

13-5以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。设L3、L4、C5的初始条件为零。31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)选1、2、3为树支，3个单树支割集如虚线所示，树支电压Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集电压，它们的方向也是割集的方向。基本割集矩阵Q为:iS2R2R1L4L3C5iS1解：例：应用举例13-5以运算形式写出如图所示电路的割集电压源和电流源列向量分别为（运算法）：支路导纳矩阵为：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1电压源和电流源列向量分别为（运算法）：支路导纳矩阵为31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1则割集电压方程的矩阵形式为：31245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)由此可得：(1)两个割集互电导中的公共支路若同时与两个割集同(或反)方向，该支路电导取正号，反之取负号。

因为每一树支只能出现在本割集中，所以割集互导不可能包含树支，全部由连支构成。任一连支若是某两单树支割集的共有支路，则该两树支必包含在这个连支的单连支回路中，则：当沿着树绕行，两个树支方向相同时其割集互导为正，反之为负。(2)当电压源正极性对着该割集方向时取正号，反之取负号。由此可得：(1)两个割集互电导中的公共支检验学习结果

1.列写割集电压方程的矩阵形式的步骤是什么？

2.节点电压方程和割集电压方程有何区别和联系？检验学习结果1.列写割集电压方程的矩阵形式的步骤是什么？13.6状态方程一、状态和状态变量1.状态:电路在任何时刻所必需的最少信息,它们和自该时刻以后的输入(激励)足以确定该电路的性状。2.状态变量:描述电路的一组最少数目独立变量,如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。选定系统中一组最少数量的变量X=[x1，x2，…，xn]T,如果当t=

t0时这组变量X(t0)和t

t0后的输入e(t)为已知,就可以确定t0及