高二数学人教B版选择性必修第二册第三章二项式定理与杨辉三角2课件

二项式定理与杨辉三角（2）

高二年级数学二项式定理与杨辉三角（2）

高二年级数学1复习上节课的主要内容：1.二项式定理：二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以直接写二项展开式．2.二项式定理的通项公式为：，利用通项公式可以求指定项．3.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到二项式系数和为复习上节课的主要内容：1.二项式定理：二项展开式有n+1项，2巩固练习：已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则n=__，展开式中含有的项是___，该项的二项式系数是___.解：依题意可知，因此n=10.从而可知展开式的通项为要使此项含有，必须有20–2k=6，从而k=7，因此含有的项为该项的二项式系数是120.巩固练习：已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则3第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行4图片来自互联网资源我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录．因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的．实际上比我国发现数表要晚了600多年．图片来自互联网资源我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了5第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行6杨辉三角至少具有以下性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；这个对称可以表述为：与首末两端“等距离”的两个数相等.说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，由组合数性质可知，，所以每一行的数都是对称的．两端的数分别是，显然二者均为1.杨辉三角至少具有以下性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数7第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行8杨辉三角至少具有以下性质：（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．可以说成：从第三行起，每一行除了两端的1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.杨辉三角至少具有以下性质：（2）从第三行起，不在两端的任意一9杨辉三角至少具有以下性质：说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，从第三行起，假设其中的任意一个数为，其上一行与这个数相邻的两个数分别为，由组合数性质可知，，显然结论成立．杨辉三角至少具有以下性质：说明：杨辉三角中的数代表的二项展开10根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？

172135352171第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561当二项式的次数不太大时，可以借助规律直接写出二项式系数．第7行根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？111（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中间大、两边小）．教材P33习题3–3A3、5P34习题3–3C4第4行14641第6行n=61615201561第2行121当二项式的次数不太大时，可以借助规律直接写出二项式系数．我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录．因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的．实际上比我国发现数表要晚了600多年．证明：由二项式定理可知第2行121第1行11杨辉三角至少具有以下性质：第1行11例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到二项式系数和为第4行14641杨辉三角至少具有以下性质：（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中间大、两边小）．第6行

n=6

1615201561

第7行n=7172135352171（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中12第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行13说明：假设，则化简可得，从而有利用二项式系数的对称性可知，二项式系数是先逐渐变大，再逐渐变小.当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．说明：假设，则化简可得，从而有利用二项式系数的对称性可知，二14莱布尼茨三角形莱布尼茨三角形15例1.求证：能被100整除．证明：因为由二项式定理可知注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知，原数能被100整除.例1.求证：能被100整除．证明：因为由二项式定理可知注意到16

借助二项式定理可以解决整除的问题，其方法是利用二项式定理将目标表达式按照除数展开，得出除数的整数倍即可．归纳反思：借助二项式定理可以解决整除的问题，其方法是利17例2.当n是正整数且x>0时，求证：证明：由二项式定理可知因为x>0，所以上式右边的项都是正数，从而可知例2.当n是正整数且x>0时，求证：证明：由二项式定理可知因18例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为这个数大概是多少呢？利用例2的结果可知实际应用经济学中常借助二项式定理进行近似值估算保留6位有效数字的近似值107.419.例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.19课堂小结本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结杨辉三角中数字的特征，再次回顾了组合数的性质．应用二项式定理证明整除问题及估计近似值．课堂小结本节课学习了杨辉三角，并通过观察总结杨辉三角中数字的20课后作业

教材P33习题3–3A3、5P34习题3–3C4课后作业教材P33习题3–3A3、5P34习题3–21拓展作业

通过书籍或者网络查找有关数学材料，了解杨辉三角中蕴含的其他数学内容，将有关材料整理成小论文，与其他同学进行交流．拓展作业通过书籍或者网络查找有关数学材料，了22谢谢谢谢23二项式定理与杨辉三角（2）

高二年级数学二项式定理与杨辉三角（2）

高二年级数学24复习上节课的主要内容：1.二项式定理：二项展开式有n+1项，按a的降幂排列，利用定理可以直接写二项展开式．2.二项式定理的通项公式为：，利用通项公式可以求指定项．3.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到二项式系数和为复习上节课的主要内容：1.二项式定理：二项展开式有n+1项，25巩固练习：已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则n=__，展开式中含有的项是___，该项的二项式系数是___.解：依题意可知，因此n=10.从而可知展开式的通项为要使此项含有，必须有20–2k=6，从而k=7，因此含有的项为该项的二项式系数是120.巩固练习：已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则26第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行27图片来自互联网资源我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录．因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的．实际上比我国发现数表要晚了600多年．图片来自互联网资源我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了28第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行29杨辉三角至少具有以下性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；这个对称可以表述为：与首末两端“等距离”的两个数相等.说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，由组合数性质可知，，所以每一行的数都是对称的．两端的数分别是，显然二者均为1.杨辉三角至少具有以下性质：（1）每一行都是对称的，且两端的数30第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561

······杨辉三角第0行31杨辉三角至少具有以下性质：（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．可以说成：从第三行起，每一行除了两端的1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.杨辉三角至少具有以下性质：（2）从第三行起，不在两端的任意一32杨辉三角至少具有以下性质：说明：杨辉三角中的数代表的二项展开式的二项式系数，从第三行起，假设其中的任意一个数为，其上一行与这个数相邻的两个数分别为，由组合数性质可知，，显然结论成立．杨辉三角至少具有以下性质：说明：杨辉三角中的数代表的二项展开33根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？

172135352171第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561当二项式的次数不太大时，可以借助规律直接写出二项式系数．第7行根据性质，大家能不能直接写出杨辉三角中第7行的数呢？134（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中间大、两边小）．教材P33习题3–3A3、5P34习题3–3C4第4行14641第6行n=61615201561第2行121当二项式的次数不太大时，可以借助规律直接写出二项式系数．我国古代数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录．因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”．西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的．实际上比我国发现数表要晚了600多年．证明：由二项式定理可知第2行121第1行11杨辉三角至少具有以下性质：第1行11例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.区分清楚系数和二项式系数，并理解应用赋值法得到二项式系数和为第4行14641杨辉三角至少具有以下性质：（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中间大、两边小）．第6行

n=6

1615201561

第7行n=7172135352171（3）杨辉三角的每一行的数都是开始越来越大，然后越来越小（中35第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行

15101051第6行

1615201561