2022年上海市宝山区上海大学附中高三数学第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：2B2．作答2B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设向量a，b满足a2，b1，a,b 60，则atb的取值范围是A 2, B 3,．C．

2,6

．D．

3,6已知命题p:若a1，则a21，则下列说法正确的是（ ）p是真命题p的逆命题是真命题p的否命题是a1，则a21”p的逆否命题是若a21a1”某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）月收入的极差为60 B．7月份的利润最大C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元ABCAB

，，AB2，BC

1

所成的角的1 1 1

1 1 1正弦值为（ ． 2

105

5

3x,x0abRf(x1

1 yf(xaxb恰有三个零点，则（）A．a0C．a

3x32(a1x2ax,x0B．a0D．a1,b若复数z满足z 3(1z)i1，复数z的共轭复数是z，则zz（ ）3A．1 B．0 C．1 D．1 i32 2已知数列

满足logan 3

1log3

an1

nN* ,aaa

9则log1 aa35335

7 的值是( )A．5 B．

9C．4 D．91xOyE

x2y2a2 b2

b0)FF到直线2bxay0的距离为3A．32

c，则E的离心率为( )22222122B． C． D．2 2 3

3数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为x2y2 x2y2.给出下列四个结论：①曲线C有四条对称轴；②曲线C上的点到原点的最大距离为1；4③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为1；8④四叶草面积小于.4其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④.某班级从3AAA和3BB2B中1 2 3 1 3各随机选出两名，把选出的4A

两人组成一队参加比赛的概率为1 1（ ）1A． B．219 9

1 4C． D．3 91ABCDABC

P

MN

和棱BC

上任意1 1 1 1 1 1 1 1一点，则2PM 2MN的最小值为（ ）A．22

B．2 C．3 D．2x2已知双曲线a2

y2b2

1（，b0）的左、右焦点分别为，以

（O为坐标原点）为直径的圆C交双曲线于B两点，若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为（ ）23 6A．2

B．2 2 62

3 22 6C．2

3 2 6D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合AB5,7.若AB则实数a的值是 .锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2ac0，则sinA的取值范围是 .sinB函

fx满足

fxfx4

x2,2

2x33x2a,2xa时，f(x) 若函x,ax2

fx在

0,2020上有1515个零点，则实数a的范围为 .如图已知ACBC4，ACB90，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则AMDC的最小值是 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）等差数列an

的前nSn

aa3

18，S6

36.（Ⅰ）求数列an

的通项公式及前n项和为S；n 1 （Ⅱ）设

的前n

1.n

n n18（12分）宪法小卫士”5050学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：分数段人数

[50，60)5

[60，70)15

[70，80)15

[80，90)12

[90，100]3将竞赛成绩在[70,100]内定义为合格”，竞赛成绩在[50,70) 内定义为不合格”．请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有95%与是否是高一新生有关？合格高一新生 12非高一新生合计

不合格 合计6在5055名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．n(adbc)2参考公式及数据：K2

，其中nabcd．(ad)(ad)PP(K2k)00.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82819（12分）已知f(x)x3ax2bx,a,bR（1）若b1，且函数f(x) 在区间1,1

上单调递增，求实数a的范围；2 2 （2）若函数f(x)有两个极值点x,x1 2,

，xx1

且存在x0

满足x1

2x0

3x2

g(x)f(xf(x0

)，试判断g(x)零点的个数并证明．20（12分）已知直线l的极坐标方程为sin6，圆C的参数方程为x1co

（为参数．3 y3 lC的方程化为直角坐标方程；l被圆截得的弦长．21（12分）已知函数f(x)2x,g(x)x22ax.（1）当a时，求函数yf(g(x))(2 x 3)的值.2f(x),x b2（2）设函数h(x) ，若ab0，且h(x)的最小值为 ，求实数a的取值范围.g(x),xb 222（10分）选修4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为{

x2cosysin为参数．以直角坐标系原点Ox轴的2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l224

，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．参考答案125601、B【解析】(t1)(t1)233aatb (atb)2 a22abtt2b2 4t2当t1时取等号，所以本题答案为B.

= ，【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.2、B【解析】解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式a211a1p为假命题，A选项错误；p的逆命题是a21，则a1”，该命题为真命题，B选项正确；p的否命题是a1，则a21”，C选项错误；p的逆否命题是若a21，则a1”，D选项错误．故选：B．【点睛】3、D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为903060A正确；11220，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；3803030CD错误.D.【点睛】4、C【解析】

BCM,N,PABM,N,PABB的中点，得出MNNPACMQMP和MNP.【详解】根据题意画出图形:M,N,PABBBB

的中点，BC1 1 1则 1 的夹角为MN和NP夹角或其补角1 5 1 2MN

AB ，NP BC .2 1 2 2 1 2作BC中点Q，则PQM 为直角三角形；1PQ1,MQ AC2ABC 中，由余弦定理得

1AC2AB2BC22ABBCcosABC4122127 AC

，MQ77277MQ2PQ211在△MQP中，MQ2PQ2112在PMN中，由余弦定理得

5211 2 2 25211MN2NP2PM2

2 2

2 25210cosMNP25210

2MHNP 52 21cos2MNP1101cos2MNP11025155故选：C【点睛】5、C【解析】当x0时，yf(x)axbxaxb(1a)xb最多一个零点；当x 0时，1 1 yf(xaxb1x3 (a1)x2axaxb x3 (a1)x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调1 1 3 2 3 2性画函数草图，根据草图可得．【详解】x0yf(xaxbxaxb(1a)xb0x

b yf(xaxb最多一个零点；1a1 1 1 1当x 0时，yf(x)axb x3 (a1)x2axaxb x3 (a1)x2b，3 2 3 2yx2(a1)x，当a10即a 1时，y 0，yf(x)axb在[0，)上递增，yf(x)axb最多一个零点不合题意；当a10，即a1时，令y0得x[a1，)，函数递增，令y0得x[0，a1)，函数递减；函数最多有2个零点；yf(xaxb3yf(xaxb在(,0)上有一个零点，在[02个零点，如图：b0 b 0且1 1 ，1a 3(a132(a1)a12b01解得b0，1a00b故选C．

(aa1．6【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,b两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.6、C【解析】根据复数代数形式的运算法则求出z，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵z 3zi1，∴z1

1 3i，1 2 2则z1 3i，2 2zz1故选：C．【点睛】7、B【解析】由loga3 n

1log3

an1

，可得an1

3an

，所以数列

是公比为3的等比数列，n所以a2

aa4

a9a2

81a2

91a2

9，则a ，92 919则log(aa则1 3

a)log7

(3a2

27a2

243a2

)log1

B.3 3 3n.8、A【解析】由已知可得到直线【详解】

2bxay

的倾斜角为45

1a2b2c2即可解决.，有2，有2bF到直线2bxay0

，得直线2bxay0的倾斜角为451，2c2 a2c即4a2c2

a2，解得e .323A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于a,b,c的方程或不等式，本题是一道容易题.9、C【解析】①利用x,y之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为x,y的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据x,y满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.4【详解】xx

3 x2y2 x2 3 当y变为y时，x2y23x2y2不变，所以四叶草图象关于x轴对称；当y变为x时，x2y2

x2y2不变，所以四叶草图象关于yx轴对称；2当y变为x时，x2y23x2y2不变，所以四叶草图象关于yx轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；2

x2y22②：因为x2y23

x2y2，所以

x2y23

x2y2

， x2x2y2x2y2

，所以

x2

y2 ，4 2 81所以最大距离为，故错误；2Pxyxy， 因为x2

x2y2，所以x2y2 x2y2

2xy3，所以xy1， xy

12，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；24 81 1④：由②可知x2y2

x2y24

的内部，4S1

，所以四叶草的面积小于，故正确.4 4 4【点睛】xy去分析证明.10、B【解析】C2C2C1C1 A B

C1C1根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为最后简单计算，可得结果.【详解】3名男生、32C2C2

3 3 A22

2，然后计算和1

1分在一组的数目为2 2，3 3C1C12名女生平均分为两组：21A22C1C12名男生平均分为两组：21A22则选出的4人分成两队混合双打的总数为：C1C1

C1C1

C2C2C1C1C2C2 2

2 1A2 3 3 2 2183 3 2

A2 2 A22 2AB1分在一组的数目为C1C141 2 24 2所以所求的概率为189故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成mAm，即m!，审清题m意，细心计算，考验分析能力，属中档题.11、D【解析】ACEMMFABCD

MFNPMEM，1 1 1 1MNB

时，MN最小，由MF

2MN，故1 1 22PM 2MN 2MN2EMMF2AA22PM 2

1 ，即可求解. 【详解】ACEMMFABC

，如图：1 1 1 1PMEM，MMNBC时，MN最小．1 1此时由MF面ABCD，可知MFN为等腰直角三角形，MF 2MN，1 1 1 1 22PM 2MN 2MN2EMMF2AA2故 2PM 2 1 . 故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12、D【解析】连接EC【详解】

3c，在ACF中，由余弦定理得AF，结合双曲线的定义，即得解.2连接CA，AF，则OCCACF

c，OEc，23c所以EC

c，|FC2 2RtEACAE

2c，cosACE1，3故cosACFcosACE13在ACF中，由余弦定理AF2CA2CF22CACFcosACF

6c.32c

6c2a3ec 2

6 3 2 6所以双曲线的离心率 a

2 63

3 2 6 2故选：D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.452013、9【解析】根据集合交集的定义即得.【详解】AB5,7ABa54a9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.32 323 14、 , 3 【解析】由余弦定理，正弦定理得出sinAsin(BAB2AA的范围，由余弦函数的性质得出cosA的.【详解】由题意得b2a2c22accosBa2acac2acosB由正弦定理得sinAsinC2sinAcosBsin(AB2sinAcosB化简得sinAsin(BA)又ABC 为锐角三角形B2A0B2A2

,0C3A2A6 4则cosA

, ，2cosA( 2, 3)

1 , 232 223

2cosA 3 232 32sinA

sinA

sinA

1 , sinB sin2A 2sinAcosA 2cosA 3 2.32 3232 323 故答案为 , 3 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.151,02 【解析】fx在[2,2)3个根，分2a10a11a0afx的单调.【详解】由已知，fx的周期为4，且至多在[2,2)上有4个根，而0,2020含505个周期，所以fx在[2,2)上有3个g(x)2x33x2

a，g'(x)6x2

6xg(x在(1,0)(1)上单调递增，g(2)a40g(1)a50.2a1fx在(a2)fx在[2,a3个根，f(1)0 a10则 ，即 ，此时a；f(0)0 a0若0a1fx在(a2)1f(0)a0fx在[2,a2个根，故不满足；1a0fx在[2,a2个根，只需f(1)0，解得1

a0；f(a)0 2afx在[2,a1个零点，不满足题意；1综上，实数a故答案为：1,0

a0.22 【点睛】516、845【解析】建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得AM,DC的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出AMDC的表达式,求出其最小值即可.【详解】建立直角坐标系如图所示：A2,0COM2,2,D2cos,2sin,AM2DC2cos2sin,由平面向量数量积的坐标表示可得,AMDC422cos22sin84sin2cos84 5sin,tan2,因为sin所以AMDC的最小值为84 5.故答案为:84 5【点睛】建立直角坐标系AMDC表示为关于角的三角函数属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。n17（Ⅰ）a 2n1，S n2nn

（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.1（Ⅱ） 1

1 1

1 ，根据裂项求和法计算得到T1

得到证明.S n n2n n n1n

n n1【详解】（Ⅰ）等差数列的公差为da

18，

36得a 9，a

12，na4d92a1

35d12，解得a1

7 61，d2.

5 1 6∴a 2n1，S 135n n

(2n1)n2.（Ⅱ）

1n2，∴

1 1

1 1 ，n S n n2n n(n1) n n1nT 11111 1 1 1 1，即

1.n 2 2 3 n n1 n1 n【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18（）（）P310【解析】22列联表如下：合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计30205050(12614182 22则K2的观测值k 4.3273.841，30202426 52所以有95%的把握认为与是否是高一新生有关．5名学生中竞赛成绩合格的有30

53名学生，记为abc，5020

52名学生，记为m,n，5052ac,bcan,bm,bn,cm,cnmn10种，2abacbc3种，2P3．10319（1）7a （2）函数gx有两个零点x和x34 1 0【解析】（）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于（）先判断x0

为一个零点，然后再求导，根据x2x1

3x2

，化简求得另一个零点。（）当b=

fx3x2+2ax1，因为函数

fx在1,1上单调递增， 2 2x1,1fx3x210恒成立．[来源:Z&X&X&K] 2 2函数fx3x2+2ax1的对称轴为xa．3a1，即a3f10，33即310，解之得a ，解集为空集；32②1a

1，即3

a3fa03 2 2 3 即3a2+2aa103

a

，所以3

a3 3339 2333③a3

1，即a3时，f103 2 2

2 即31a10a7，所以7a34 4 4 23综上所述，当7a 函数fx在区间1,13

上单调递增．24 24 （2）∵fx有两个极值点x,x，1 2∴x,

fx3x2b=0fx在区间x

和

,上单调递增，在1x,

2 1 2上单调递减．1 2∵gxfxgx也是在区间

和

,上单调递增，在x,x

上单调递减1 2 1 2∵gx0

fx0

fx0

=0，∴x0

是函数gx的一个零点．gx2

fx2

fx0∵x2x1

3x2

，∴2x0

2x2

xx2

0，∴x0

x∴fx2

fx0

，∴gx2

fx2

fx0

0又gx1

fx1

fx0∵x,

是方程fx3x2+2axb=0的两个根，1 2∴3x2+2axb=0，3x2+2ax

b=0,1 1 2 2∴gxfxfx=01 1 0gx图像连续，且在区间x上单调递增，在xx上单调递减，在x上单调递增1 1 2 2xxgx0xxxgx0xx

gx0，1 1 0 0gxxx．1 020（）3xy120．x2＝（）16【解析】.2圆心到直线的距离为d126，故弦长为2 r2d2得到答案.2【详解】sin6 1sin

3cos6 1 3（1）

3

，即2

2 ，即y