数学分析刘玉琏161课件

西南财经大学省级精品课程《经济管理数学分析》课题组版权所有请勿外传1西南财经大学1第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限§3二元函数的连续性§1平面点集与多元函数经济管理数学分析2第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限§3§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续3§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续3一平面点集1.平面点集的基本概念(P85)第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数4一平面点集1.平面点集的基本概念(P85)第十六章多元2.点与点集的关系Ⅰ(按内外关系)：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数52.点与点集的关系Ⅰ(按内外关系)：第十六章多元函数的极限与x+y=0xyO如图D1例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}：易见，直线上方每一点都是D1的内点.但直线上的点不是D1的内点.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数6x+y=0xyO如图D1例如，平面点集D1={(xyOx2+y2=111D2易知，圆内部的每一点都是D2

的内点.但圆周上的点不是D2

的内点.又如，平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}，如图：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数7xyOx2+y2=111D2易知，圆内其中CE=R2\E是E关于全平面的余集，E

的全体界点所成集合称为E

的边界，记作E.例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}的边界是直线x+y=0上点的全体.平面点集D2={(x,y)|x2+y2

1}的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图所示：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数8其中CE=R2\E是E关于全平面的余集，E的全体界点所成集xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOE的界点可以是E

中的点，也可以不是E

中的点.D1例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}的边界是直线x+y=0上点的全体.平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图所示：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数9xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyO

从几何上看，所谓A是E的聚点是指在A的附近聚集了无限多个E中的点.即在A的任意近旁都有无限多个E中的点.A如图所示3.点与点集的关系Ⅱ(按疏密关系)：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数10从几何上看，所谓A是E的聚点是指在A的附近聚D1的界点是D1的聚点，但它不属于D1；D2

的界点是D2的聚点，但它属于D2.例如,

平面点集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}如图所示：xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOD1第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数11D1的界点是D1的聚点，但它不属于D1第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数12第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数12例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}是开集.平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}不是开集.xyOE一般地，E如右图所示：若E不包含边界，则E为开集.若E包含边界，则E不是开集.4.一些重要的平面点集第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数13例如，平面点集D1={(x,y)|如图XYE连通YXE不连通例如,

平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是闭集.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数14如图XYE连通YXE不连通例如,平面点集D2=从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.从几何上看，所谓E是连通集，是指E是连成一片的，E中的点都可用折线连接.例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}都是连通集.例如，平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是闭区域.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数15从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}是无界集，它是无界开区域，而平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是有界集，它是有界闭区域.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数16例如，平面点集D1={(x,y)|第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数17第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数17第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数18第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数18点集D—定义域，—值域.x、y

—自变量，z—因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数19点集D—定义域，—值域.x、y—自变量，z—因变量与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.解所求定义域为第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数其中D为有界半开半闭区域.20与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算二元函数

z=f(x,y)的几何意义如图所示设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的(x,y)∈D

，对应的函数值为z=f(x,y).以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，当(x,y)取遍D上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|

z=f(x,y),(x,y)∈D}

，二元函数的图形通常是一张曲面.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数21二元函数z=f(x,y)的几何意义如图所示例如，1.

z=ax+by+c

——一张平面，如图Oxyz

——球心在(0，0，0)，半径

为R的上半球球面S，如图ROxyzS第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数22例如，1.z=ax+by+c——顶点在原点，位于xoy面上方的园锥面SOxyzSOyzxS——双曲抛物面(马鞍面)S注与例4(P91)的区别第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数23——顶点在原点，位于xoy面上方的园锥面第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数24第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数242525西南财经大学省级精品课程《经济管理数学分析》课题组版权所有请勿外传26西南财经大学1第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限§3二元函数的连续性§1平面点集与多元函数经济管理数学分析27第十六章多元函数的极限与连续§2二元函数的极限§3§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续28§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续3一平面点集1.平面点集的基本概念(P85)第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数29一平面点集1.平面点集的基本概念(P85)第十六章多元2.点与点集的关系Ⅰ(按内外关系)：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数302.点与点集的关系Ⅰ(按内外关系)：第十六章多元函数的极限与x+y=0xyO如图D1例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}：易见，直线上方每一点都是D1的内点.但直线上的点不是D1的内点.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数31x+y=0xyO如图D1例如，平面点集D1={(xyOx2+y2=111D2易知，圆内部的每一点都是D2

的内点.但圆周上的点不是D2

的内点.又如，平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}，如图：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数32xyOx2+y2=111D2易知，圆内其中CE=R2\E是E关于全平面的余集，E

的全体界点所成集合称为E

的边界，记作E.例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}的边界是直线x+y=0上点的全体.平面点集D2={(x,y)|x2+y2

1}的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图所示：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数33其中CE=R2\E是E关于全平面的余集，E的全体界点所成集xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOE的界点可以是E

中的点，也可以不是E

中的点.D1例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}的边界是直线x+y=0上点的全体.平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图所示：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数34xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyO

从几何上看，所谓A是E的聚点是指在A的附近聚集了无限多个E中的点.即在A的任意近旁都有无限多个E中的点.A如图所示3.点与点集的关系Ⅱ(按疏密关系)：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数35从几何上看，所谓A是E的聚点是指在A的附近聚D1的界点是D1的聚点，但它不属于D1；D2

的界点是D2的聚点，但它属于D2.例如,

平面点集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}如图所示：xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOD1第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数36D1的界点是D1的聚点，但它不属于D1第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数37第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数12例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}是开集.平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}不是开集.xyOE一般地，E如右图所示：若E不包含边界，则E为开集.若E包含边界，则E不是开集.4.一些重要的平面点集第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数38例如，平面点集D1={(x,y)|如图XYE连通YXE不连通例如,

平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是闭集.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数39如图XYE连通YXE不连通例如,平面点集D2=从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.从几何上看，所谓E是连通集，是指E是连成一片的，E中的点都可用折线连接.例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}都是连通集.例如，平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是闭区域.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数40从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.例如，平面点集D1={(x,y)|x+y>0}是无界集，它是无界开区域，而平面点集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是有界集，它是有界闭区域.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数41例如，平面点集D1={(x,y)|第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数42第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数17第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数43第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数18点集D—定义域，—值域.x、y

—自变量，z—因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数44点集D—定义域，—值域.x、y—自变量，z—因变量与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.解所求定义域为第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数其中D为有界半开半闭区域.45与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算二元函数