归纳与推理(导学案)

归纳与推理（导学案）(学生用)制作人：杨克林班级：姓名：考情解读：以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现。主干知识1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：eq\x(实验、观察)→eq\x(概括、推广)→eq\x(猜测一般性结论)(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：eq\x(观察、比较)→eq\x(联想、类推)→eq\x(猜测新的结论)2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．典例剖析例1观察下列等式，找出规律，并将横线处填写完整1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第5个等式为__________________________________________________．照此规律，第n个等式为__________________________________________________．例2观察下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第5个图形中有____个点从以上几个特殊的图形中，你能归纳出第n个图中有_______个点。例3已知an=(n2-5n+5)2（n是正整数）（1）分别求a1，a2，a3，a4；（2）由此，你能猜想到一个什么结论？（3）这个结论正确吗？请说明理由。例4如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。1、每次只能移动一个金属片；2、较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？课堂训练(高考真题)类比推理、归纳推理1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．1992．观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．81253．观察下列不等式1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此规律，第五个不等式为_______________________________________________．4．设n≥2，n∈N，2x＋eq\f(1,2)n－3x＋eq\f(1,3)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T4＝0，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，Tn，…其中Tn＝________．5．观察下列等式：Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝23－2，Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(9,9)＝27＋23，Ceq\o\al(1,13)＋Ceq\o\al(5,13)＋Ceq\o\al(9,13)＋Ceq\o\al(13,13)＝211－25，Ceq\o\al(1,17)＋Ceq\o\al(5,17)＋Ceq\o\al(9,17)＋Ceq\o\al(13,17)＋Ceq\o\al(17,17)＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，Ceq\o\al(1,4n＋1)＋Ceq\o\al(5,4n＋1)＋Ceq\o\al(9,4n＋1)＋…＋Ceq\o\al(4n＋1,4n＋1)＝________．.演绎推理6．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．7．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－eq\f(1,2)，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>eq\r(3).8．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．课外练习(附加题)归纳推理：1.(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A．48,49 B．62,63C．75,76 D．84,853.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,5))，33eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7,9,11))，43eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13,15,17,19))，….仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m＝________.(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴第一次1猫2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3猫4兔第三次A．1 B．2C．3 D．4(2)已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，则有________________．类比推理例2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.(1)若数列{an}是等差数列，bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．真题感悟:1．(2014·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．2．(2014·陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________．押题精练1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．()A．2n－1 B．2nC．2n＋1 D．2n＋2及时检测题(推荐时间：50分钟)一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则PB．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．以上均不正确2．已知x>0，观察不等式x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，…，由此可得一般结论：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，则a的值为()A．nn B．n2C．3n D．2n3．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数 B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若eq\o(DO,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于(