立体几何基本概念

1基本概念数学上，立体几何(solidgeometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称。立体几何一般作为平面几何的后续课程，暂时在人教版数学必修二中出现。立体测绘(Stereometry)是处理不同形体的体积的测量问题。如：圆柱，圆锥，圆台，球，棱柱，棱锥等等。立体几何空间图形毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。立体几何形戒指尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。2基本课题课题内容包括：各种各样的几何立体图形（10张）-面和线的重合-二面角和立体角-方块，长方体，平行六面体-四面体和其他棱锥-棱柱-八面体，十二面体，二十面体-圆锥，圆柱-球-其他二次曲面：回转椭球，椭球，抛物面，双曲面公理立体几何中有4个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4平行于同一条直线的两条直线平行。各种立体图形表面积和体积一览表名称符号面积S体积V正方体a 边长S=6aA2V=aA3长方体a 长b 宽c 高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S底 底面积h 高S=S侧+2S底V=Sh棱锥S—底面积h 高V=Sh/3棱台S1和S2——上、下底面积h 高V=h[S1+S2+V(S1S2)]/3拟柱体S1—上底面积S2――下底面积S0—中截面积h 高V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱r――底半径h 高S底=nRTS侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=nrA2h

C 底面周长C=2nrS底—底面积S侧一一侧面积S表 表面积空心圆柱R 外圆半径r 内圆半径h 高V=nh(RA2-rA2)直圆锥r――底半径h 冋l――母线S=nr(r+l)V=nrA2h/3圆台r――上底半径R――下底半径h 冋l——母线S=n(r2+R2+rl+Rl)V=nh(RA2+Rr+rA2)/3球r——半径d 直径S=4nrA2;V=4/3nrA3=ndA3/6球缺h 球缺冋r——球半径a――球缺底半径aA2=h(2r-h)V=nh(3aA2+hA2)/6=nh2(3r-h)/3球台门和r2 球台上、下底半径h 冋V=nh[3(门’2+r2'2)+hT2]/6圆环体R――环体半径V=2n^2RrA2=nA2DdA2/4D——环体直径r 环体截面半径d——环体截面直径桶状体D――桶腹直径d 桶底直径h 桶高V=nh（2DA2+d2A）/12（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）V=nh（2DA2+Dd+3dT/4）/15（母线是抛物线形）注：初学者会认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。三垂线定理描述的是P0（斜线）,A0（射影）,a（直线）之间的垂直关系.a与PO可以相交,也可以异面.三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定理的应用，关键是找出平面（基准面）的垂线.至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a丄b的一个程序:一垂,二射，三证•即几何模型第一,找平面（基准面）及平面垂线第二，找射影线，这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直.注：定理中四条线均针对同一平面而言2•应用定理关键是找"基准面"这个参照系用向量证明三垂线定理已知：PO,PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a,且b垂直0A,求证：b垂直PA证明：因为PO垂直a,所以PO垂直b,又因为OA垂直b向量PA=（向量PO+向量OA）所以向量PA乘以b=（向量P0+向量0A）乘以b=（向量PO乘以b）力口（向量OA乘以b）=0,所以PA垂直bo2）已知：PO,PA分别是平面a的垂线，斜线，0A是PA在a内的射影，b属于a,且b垂直PA，求证：b垂直0A证明：因为P0垂直a,所以P0垂直b,又因为PA垂直b，向量0A=（向量PA-向量P0）所以向量0A乘以b==（向量PA-向量P0）乘以b=（向量PA乘以b）减（向量P0乘以b）=0,所以0A垂直bo2.已知三个平面0AB,0BC,0AC相交于一点0,角A0B=角B0C=角C0A=60度，求交线0A于平面0BC所成的角。向量0A=（向量0B+向量AB）,0是内心，又因为AB=BC=CA,所以0A于平面0BC所成的角是30度。3二面角定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角。两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。大小范围OWeWn相交时0<e<n，共面时e=n或0求法有六种：定义法垂面法3•射影定理三垂线定理向量法转化法二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。由公式S射影=S斜面cose，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得也可以用解析几何的办法，把两平面的 法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1・n2=|n1||n2|cosa,e=a为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角9=n-a二面角的通常求法：由定义作出二面角的平面角；作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角;利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角；空间坐标求二面角的大小。三垂线法其中，(1)、(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。(3)中利用三垂线定理求二面角，如图，前提条件是平面a与平面B的交线为I。直线AB垂直于平面B于B点，交a于A点，步骤是：第一步，过B作BP垂直于I与P。第二步，连接AP。则ZAPB为二面角A-I-B的平面角。第三步，求出ZAPB的大小，即为二面角A-I-B的大小。如果是利用三垂线逆定理，前提条件相同，步骤是：第一步，过A作AP垂直于I与P。第二步，连接BP。则ZAPB为二面角A-I-B的平面角。第三步，求出ZAPB的大小，即为二面角A-I-B的大小。基本步骤作出二面角的平面角：A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；B：利用面的垂线(三垂线定理或其逆定理)作平面角;C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；立体几何图形矢量图D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。证明该角为平面角；归纳到三角形求角。另外，也可以利用空间向量求出。相关关系二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。4空间向量向量描述点的位置向量：选一点作为基点，空间中任意一点可用向量0P表示。平面的法向量：如果a所在的直线垂直于平面B,那么a是B的法向量。位置关系设直线m、n的方向向量为a、b,平面e、f的法向量为c、d,那么位置关系可列表:平行垂直直线-直线m〃n->a=kbm丄n->ab=O直线-平面m〃e->ac=Om丄e->a=kc平面-平面e//f->c=kde丄f->cd=O空间的角直线所成的角：设直线m、n的方向向量为a、b,m,n所成的角为a。cosa=cosva,b>=a*b/|a||b|直线和平面所成的角：设直线m的方向向量为a,平面e的法向量为c。

设b为m和e所成的角，则b=n/2土va,c>。sinb=|cosva,c>|=|a*c|/|a||c|设二面角e-eQf-f为a,那么a=n-<c,d>=n-|c*d|/|c||d|当双法向量的朝向不一致时，平面e、f的法向量为c、d设二面角e-enf-f为a,那么a=vc,d>=|c*d|/|c||d|距离求解异面直线的距离：11、12为异面直线，11,12公垂直线的方向向量为n,C、D为11、12上任意一点，11到12的距离为|AB|=|CD*n|/|n|点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，0是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cosvPA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；点到直线的距离：Awl,0是P点在I上的射影，PA和I所成的角为b,s为I的方向向量。易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sinvPA,s>|=|(PAF2|sF2|-|PA*sF2)A1/2/|s|5线面方程定义平面：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。直线：同时属于两个平面的点的轨迹。或：在平面里，到两个点距离相等的点。方程平面：根据定义，设动点为M(x,y，z),两点分别为(a,b，c)和(d,e，f)贝J[(x-a)A2+(y-b)A2+(z-c)A2]A1/2=[(x-d)A2+(y-e)A2+(z-f)A2]A1/2xA2-2ax+yA2-2by+zA2-2cz+(aA2+bA2+cA2)=xA2-2dx+yA2-2ey+zA2-2fz+(dA2+eA2+fA2)(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(aA2-dA2+bA2-eA2+cA2-fA2)=0形式为ax+by+cz+d=0直线：根据定义，可列方程组：ax+by+cz+d=0ex+fy+gz+h=0得其形式是:x=jz+ky=lz+m线面求法三点式则三点同时满足axO+byO+czO+d=Oax1+by1+cz1+d=0ax2+by2+cz2+d=0可得出a-b-c-d的关系，再把d取特殊值，解方程。点线式可在线上找两个点，转化成三点式。双线式(不异面)可在两个线上共找三个点，转化成三点式。得：ax+by+cz+d=0线斜式斜率：该平面和xOy平面的二面角的正切。求法：设该平面为ax+by+cz+d=0,xOy是z=0即k=c/(aA2+bA2+cA2)且它通过y=kx+b,z=lz+a根据判定，可得a-b-c-d的关系。再把d赋特殊值。两点式用待定系数法求出k,l,m,n的关系，再取特殊值。向量求法直线：截取直线I上两点A(l,n,0)和B(k+l,m+n,1)方向向量为：AB=(k,m,1)平面：取平面内三点：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c)AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c)设向量n：(x,y,c)为平面的法向量，贝92y-2b=0x+y-(a+b)=0->y=bx=a则n=(a,b,c)为平面的一个法向量。直线平面的关系直线和直线：设设直线方程为X=k1z+I1,y=m1z+n1和X=k2z+I2,y=m2z+n2相交：两条直线所组成的方程组有实数解平行：k1/k2=m1/m2且11/12工n1/n2异面：不相交也不平行垂直：k1k2+m1m2=-1直线和平面设直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+f=O,p=k+I+e,q=a+b+f属于：p=O,q=O平行：p=O,qMO相交：pMO垂直：k/c=b/d=e平面和平面设平面方程为ax+by+cz+d=O和ex+fy+gz+h=O,p=a/e,q=b/f,r=c/g,s=d/h相交:不平行平行：p=q=rMs垂直：ae+bf+cg=O基本信息出版社:浙江大学；第1版（2007年4月1日）丛书名：高中数学竞赛专题讲座平装：258页开本：0开ISBN:730805233