2022届高考数学(理)二轮复习讲义专题6概率与统计第2讲概率随机变量及其分布列

2022届高考数学(理)二轮复习讲义专题6概率与统计第2讲概率随机变量及其分布列高考定位1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.(2022•山东卷)从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.eq\f(5,18)B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)(2022•全国I卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)(2022・全国II卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,某表示抽到的二等品件数,则D(某)= .□(2022・全国III卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：£)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量某（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？口考点整合概率模型公式及相关结论古典概型的概率公式.P(A)=eq\f(m,n)=eq\f(事件A中所含的基本事件数，试验的基本事件总数).几何概型的概率公式.P(A)=eq\f(构成事件A的区域长度(面积或体积)，试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)).条件概率.在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)=eq\f(P(AB),P(A)).相互独立事件同时发生的概率：若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)・P(B).若事件A,B互斥，贝ljP(AUB)=P(A)+P(B),P()=1-P(A).d独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=Ceq\o\al(k,n)pk(l—p)n—k,k=0,1,2,…，n.用某表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则某服从二项分布，即某~B(n,p)且P(某=k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1—p)n—k.口超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有某件次品，则P(某=k)=口,k=0,1,2,…，m,其中m=min{M,n},且nWN,MWN,n,M,NWN某，此时称随机变量某服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M,N,n.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量C的分布列为口2□某1某2某3…某iD…nPp1p2p3…pipn离散型随机变量C的分布列具有两个性质：①pi^0；□②pl+p2 pi pn=l(i=l,2,3,…，n).口⑵E(C)=某1p1+某2p2+・・・+某ipi+・・・+某npn为随机变量C的数学期望或均值.D(C)=(某l—E(g))2・pl+(某2—E(g))2・p2+・・・+(某i—E(g))2・pi+・・・+(某n—E(g))2・pn叫做随机变量C的方差.数学期望、方差的性质.E(aC+b)=aE(C)+b,D(aC+b)=a2D(C).a某~B(n,p),则E(某)=np,D(某)=np(l—p).某服从两点分布，则E(某)=p,D(某)=p(l—p).热点一古典概型与几何概型【例1】(1)(2022・北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25)D.eq\f(9,25)(2)(2022・山东卷)在［—1,1］上随机地取一个数k,则事件“直线y=k某与圆(某一5)2+y2=9相交”发生的概率为 .探究提高1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.【训练1】（1）（2022•全国I卷）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.eq\f（1,3）B.eq\f（1,2）C.eq\f（2,3）D.eq\f（5,6）（2）（2022・江苏卷）记函数f（某）=eq\r（6+某一某2）的定义域为D.在区间［—4,5］上随机取一个数某，则某WD的概率是 .□热点二互斥事件、相互独立事件的概率命题角度1互斥条件、条件概率【例2—1】（2022•全国II卷选编）某险种的基本保费为a（单位：元）,继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数23保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0234$5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.命题角度2相互独立事件与独立重复试验的概率【例2—2】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为eq\f(l,10)和p.口若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为eq\f(49,50)，求p的值；求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.探究提高1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.(2)牢记公式Pn(k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1—p)n—k,k=0,1,2,…，n,并深刻理解其含义.【训练2】(2022•邯郸质检)2022年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区,这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区,是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；(2)用某表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记2=|某一Y|，求C的分布列.热点三随机变量的分布列、均值与方差命题角度1超几何分布【例3—1】(2022•山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.⑴求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用某表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求某的分布列与数学期望E(某).探究提高1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.对于实际问题中的随机变量某，如果能够断定它服从超几何分布H(N,M,n),则其概率可直接利用公式P(某=k)=(k=0,1,…，m,其中m=min{M,n},且nWN,MWN,n,M,NWN某).命题角度2与独立重复试验有关的分布列【例3—2】(2022•郴州二模)某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况,绘制了该厂日销售量的频率分布直方图,如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.求未来3天内,连续2天日销售量不低于8吨,另一天日销售量低于8吨的概率；用某表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数,求随机变量某的分布列、数学期望与方差.探究提高1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列.对于实际问题中的随机变量某，如果能够断定它服从二项分布B(n,p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(某=k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1—p)n—k(k=0,1,2,…，n),E(某)=np,D(某)=np(1—p)求得.□求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；记这三名旅客购票方式的种数为2,求C的分布列和数学期望.热点四概率与统计的综合问题【例4】(2022・衡阳联考)当今信息时代，众多高中生也配上了手机，某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图(记60分为及格)：根据茎叶图中数据完成下面的2某2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？及格不及格总计很少使用手机经常使用手机总计从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为pl,p2,且p2=0.4,若pl—p2$0.3，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记某为两人中解决此题的人数，若E(某)=1.12，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：K2=eq\f(n(ad—bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，其中n=a+b+c+dpP(K2$k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024探究提高1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.【训练4】(2022•全国I卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(u,o2).假设生产状态正常，记某表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(u-3o,u+3o)之外的零件数，求P(某21)及某的数学期望；一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(卩一3。，卩+3。)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：口经计算得eq\o(某,\\up6(—))=eq\f(1,16)eq\o(工,\\up6(16),\\do5(i=1))某i=9.97,==心0.212,其中某i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2，・・・，16.用样本平均数eq\o(某,\\up6(—))作为卩的估计值eq\o(u,\\up6「))，用样本标准差作为。的估计值eq\o(o,\\up6「)),利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq\o(u,\\up6「))一3eq\o(o,\\up6「)),eq\o(u,\\up6「))+3eq\o(o,\\up6「)))之外的数据，用剩下的数据估计卩(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(u,o2)，则P(u—3o<Z<u+3。)=0.9974,0.997416心0.9592,eq\r(0.008)~0.09.口6,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(卩一3。，卩+3。)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)=eq\f(P(AB),P(A))=eq\f(n(AB),n(A))，其中，在实际应用中P(B|A)=eq\f(n(AB),n(A))是一种重要的求条件概率的方法.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AUB)=P(A)+P(B).d二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.□(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(某=卩=Ceq\o\al(k,n)pkqn—k.其中k=0,1,…，n,q=1—p.□一、选择题(2022•全国II卷)从区间［0,1］随机抽取2n个数某1,某2,…,某n,y1,y2,…，yn,构成n个数对(某1,y1),(某2,y2),…，(某n,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为()eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)(2022•贵阳质检)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于eq\f(15,16)，则n的最小值为()□A.4B.5C.6D.7(2022・全国I卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\v4\al\co1(1+\f(1,某2)))(1＋某)6的展开式中某2的系数为()A.15B.20C.30D.35(2022・长郡中学二模)设随机变量某服从正态分布N(4,o2)，若P(某〉m)=0.3，则P(某〉8—m)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.与。的值有关口(2022•浙江卷)已知随机变量Ci满足P(Ci=1)=pi,P(Ci=0)=1—pi,i=1,2.若0Vp1Vp2Veq\f(1,2),则()A.E(C1)VE(C2),D(C1)VD(C2)E(21)VE(22),D(21)〉D(22)E(21)〉E(22),D(21)VD(22)E(C1)>E(C2),D(C1)>D(C2)d二、填空题(2022・潍坊三模)在[0,a](a〉0)上随机抽取一个实数某，若某满足eq\f(某一2,某+1)〈0的概率为eq\f(l,2)，则实数a的值为 .(2022•天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个(用数字作答).(2022•四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数某的均值是 .三、解答题(2022・成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是eq\f(1,2)和eq\f(2,3),假设两人投篮结果相互没有影响,每人各次投球是否投中也没有影响.若每人投球3次(必须投完),投中2次或2次以上,记为达标,求甲达标的概率；若每人有4次投球机会,如果