泛函分析概念总结

泛函分析课程论文泛函分析课程的知识体系总结各个知识点之间的区别和联系(一)、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：XXX-R,使得vx,y,zGX,下列距离公理成立：非负性：d(x,y)30,d(x,y)=0=x=y;对称性：d(x,y)=d(y,x);三角不等式：d(x,y)Wd(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作(X,d)几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5C[a,b]空间即连续函数空间例612第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间开球定义设(X,d)为度量空间，d是距离，定义U(x0,£)={xexId(x,x0)<£}为x0的以£为半径的开球，亦称为x0的£一领域.极限定义若{xn}uX,3xGX,s.t.limd(x,x)=0则称x是点列{xn}的极限.nT8有界集定义若d(A)=supd(x,y)<8，则称A有界Vx,yeA稠密集定义设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令M表示M的闭包，如果EuM,那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。可分空间定义如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。第三节连续映射~1.定义设X=(X,d),Y=(Yd)是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0eX，如果对于任意给定的正数£，存在正数5>°，使对X中一切满足d(X,X0)<5的x，有d(Tx,Tx)<£则称T在*o连续.定理1设T是度量空间(X,d)至1」度量空间1Y，dJ中的映射，那么T在*oGX连续的充要条件为当*T*0(nT3)时，必有T*tT*(nT3)定理2度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像t-1M是X中的开集.第四节柯西(cauchy)点列和完备度量空间定义设X=(X,d)是度量空间，｛*｝是X中点列，如果对任意给定的正数8>0,存在正整数N=N(8)，使当n,m>N时，必有d(*,*)<£，则称｛*｝是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间(X,d)中每个柯西点列都在n(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间.【注意】(1)Q不是完备集Rn完备cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy歹U.C[a,b]完备定理完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间.第五节度量空间的完备化定义设(X,d),(X,d)是两个度量空间，如果存在X到X上的保距映射T，即d(t*,Ty)=d(*,y)，则称(X,d)和(X,d)等距同构，此时T称为X到X上等距同构映射。定理1(度量空间的完备化定理)设X=(X,d)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=(X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一完备度量空间，且X与X的某个稠密子空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。定理1’设X=(X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=(X,d)，使X为X的稠密子空间。第六节压缩映射原理及其应用1.定义设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a，0va<1，使得对所有的X,yeX,d(TX,Ty)<ad(x,y),则称T是压缩映射。定理1(压缩映射定理)(即Barnach不动点定理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点(就是说，方程Tx=x，有且只有一个解).补充定义：若Tx=x,则称x是T的不动点。x是T的不动点ox是方程Tx=x的解。定理2设函数f(x,y)在带状域a<X<b一3<y<3中处处连续，且处处有关于y的偏导数f'(x,y).如果还存在常数m和M满足0<m<f(x,y<mm<My则方程f(x,y)=0在区间［a,b］上必有唯一的连续函数y*(x)作为解：f(X,中())三0,&[a,]b第七节线性空间1.定义1设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数(或复数)与X中元素的乘法运算，满足下列条件：关于加法成为交换群，即对任意x,yeX，存在ueX与之相对应，记为u=x+y,称为x和y的和，满足X+y=y+X；(x+y)+z=x+(y+z)(任何x,y,zeX)；在X中存在唯一元素0，使对任何xeX，成立x+9=x，称0为X中零元素；对X中每个元素x，存在唯一元素xxeX，使x+x，=0，称x'为X的负元素，记为-X；对于X中每个元素xeX，及任意实数(或复数)a，存在元素ueX与之对应，记为u=ax，称为a与x的数积，满足1X=X；a(bx)=(ab)X对任意实数(或复数)a和b成立；3)(a+b)x=ax+bx,a(X+y)=ax+by则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数(复数)有意义，则称X是实(复)线性空间。3)例1Rn,对Rn中任意两点x=(&1,&2,••侦n),y=(n1,q2,…,n⑴和任何实(复)数a,定义x+y=(&+%&+%,・・底+%),ax=(ag,ag2,...,a6n).容易验证Rn按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.定义2设x1,x2,…,xn是线性空间X中的向量，如果存在n个不全为零的数a1,a2,・・・,an,使a1X1+a2X2+…+anXn=0,(1)则称x1,x2，…,xn线性相关,否则称为线性无关.不难看出,x],x2,…,xn线性无关的充要条件为，若羌ax=0，i=1必有。1=a2=~=an=°.定义3设M是线性空间X的一个子集，如果M中任意有限个向量都线性无关，则称M是X中线性无关子集.设M和L为X中两个子集，若M中任何向量与L中任何向量都线性无关，则称M和L线性无关.定义4设X是线性空间,M是X中线性无关子集，如果・spanM=X,则称M的基数为X的维数，记为dimX,M称为X的一组基.如果M的基数为有限数，则称X是有限维线性空间,否则称X是无限维线性空间.如果X只含零元素，称X为零维线性空间.第八节赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间定义1设X是实(或复)的线性空间，如果对每个向量xeX,有一个确定的实数,记为IIx||与之对应，并且满足：1°l|x||N0,且IIx||=0等价于x=0;2°||axjlalllxll其中a为任意实(复)数；3°l|x+ylWIIxII+IIy||,x,yeX,则称IxI为向量x的范数，称X按范数IxI成为赋范线性空间.引理1(Hlder不等式)设p>1,1+fe申b],gefb]那么f(t)g(t)在[a,b]上L可积，并且ib\fG)g(t)\dfdlfIIl|g||3引理2(Minkowski不等式)设p31,f,geLp[a,b]，那么f+geLp[a,b]，并且成立不等式IIf+gIIp^IfIp+IgIp定理1当p>1时,Lp[a,b]按(6)中范数IfIp成为赋范线性空间.定理2Lp[a,b](p>1)是Banach空间.定理3设X是n维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}是X的一组基，则存在常数M和M'，使得对一切x="kkk=1成立mII』JfkI2'<叫IXkIk=1J推论1设在有限维线性空间上定义了两个范数IxI和IxI],那么必存在常数M和Mz,使得MlIxllWllxll1WM'llxll.8.定义2设(R1』x||1)和(R2,11x1、)是两个赋范线性空间.如果存在从R1到R2上的线性映射◎和正数c1,c2,使得对一切x£R1，成立C1印XI、5x1]&2印xl、则称(R1,IxII1)和(R2,IIxII2)这两个赋范空间是拓扑同构的.推论2任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.(二侑界线性算子和连续线性泛函第一节有界线性算子和连续线性泛函定义1设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射，如果对任何x,yED,及数a，有T(x+y)=Tx+Ty,(1)T(ax)=aTx,(2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T),TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实(或复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函.定义2设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y中的线性算子，如果存在常数c,使对所有xED(T)，有IITxIWcIIxI,⑶则称T是D(T)到Y中的有界线性算子，当D(T)=X时，称T为X到Y中的有界线性算子，简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子，称为无界算子.本书主要讨论有界算子.定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.定理2设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是X中的闭子空间定义3T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称凤=sup如号。xxeD(T)为算子T在D(T)上的范数.引理1设T是D(T)上有界线性算子，那么(6)IHI=sup||Tx||=sup||Tx||fJDi(r)Xx*)m.有界线性算子和连续线性泛函的例子例6赋范线性空间X上的相似算子Tx=ax是有界线性算子，且ITII=laI,特别IIIXII=1,IO(6)第二节有界线性算子空间和共轭空间I.有界线性算子全体所成空