《高等数学(上册)》课件-第三章

高等数学第三章导数的应用高等数学第三章导数的应用1高等数学第三章导数的应用010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘高等数学第三章导数的应用010203中值定理与洛必达法那么函2高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图3高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘一、罗尔〔Rolle〕中值定理定理1〔罗尔中值定理〕如果函数f=(x)满足以下条件：〔1〕在闭区间[a,b]上连续；〔2〕在开区间(a,b)内可导；〔3〕在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值4高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图5高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘二、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理及其推论定理2〔拉格朗日中值定理〕如果函数f=(x)满足以下条件：〔1〕在闭区间[a,b]上连续；〔2〕在开区间(a,b)内可导；那么，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得1．拉格朗日〔Lagrange〕中值定理高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值6高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图7高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f’(x)≡0，那么在(a,b)内f(x)=C〔C为常数〕．2．两个推论推论2如果对(a,b)内的任意x，均有f’(x)=g’(x)，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)=g(x)+C〔C为常数〕．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值8高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图9高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例1函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点ξ，使又因为f’(x)=－2x，由－2ξ=－1

，得高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值10高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图11高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘三、洛必达法那么定理3〔洛必达法那么〕设函数f(x)与g(x)在x0的近旁〔点x0可除外〕有定义，假设〔1〕；〔2〕f(x)与g(x)都可导〔点x0可除外〕，且g’(x)≠0；〔3〕〔A为有限数，也可为+∞或－∞〕，那么这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛必达法那么．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值12高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图13高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例2

求．解此题属于“〞型未定式，符合洛必达法那么求极限的条件，故高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值14高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图15高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例3

求．解此题属于“

”型未定式，符合洛必达法则求极限的条件，故高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值16高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图17高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例4

求．解此题属于“

”型未定式，符合洛必达法则，故高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值18高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图19高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例5

求．解显然，本题若直接利用洛必达法则，在对分母求导时比较麻烦，这时如果做适当的变化，那么运算就方便得多，其运算如下：高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值20高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图21高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例6

求．解此题属于“

”型未定式，应用洛必达法则有高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值22高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图23高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例7

求．解此题属于“

”型未定式，应用洛必达法则有高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值24高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图25高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例8求〔n为正整数，λ＞0〕．解连续使用洛必达法则n次，得高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值26高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图27高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例9

求．解这是“

”型未定式，可通过“通分”将其化为“

”型未定式．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值28高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图29高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例10

求．解此未定式为“

”型，因为当x→0+时，上式右端是“

”型未定式，应用洛必达法则，得高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值30高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图31高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘在使用洛必达法则时，应注意如下几点：高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值32高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图33高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例11证明存在，但不能用洛必达法那么求解．解

因为

，所以，该极限存在．

又因为

不存在，所以，该极限不能用洛必达法则求出．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值34高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图35高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘一、函数的单调性定理1设函数f=(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么有〔1〕如果在(a,b)内f’(x)＞0，那么函数f(x)在[a,b]上单调增加；〔2〕如果在(a,b)内f’(x)＜0，那么函数f(x)在[a,b]上单调减少．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值36高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图37高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘确定函数的单调性的一般步骤：〔1〕确定函数f(x)的定义域；〔2〕求出使函数f’(x)=0和f’(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成假设干个子区间；〔3〕确定f’(x)在各个子区间的符号，从而确定f(x)的单调区间．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值38高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图39高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例1求函数y=x2的单调区间．解因为y=x2，所以y’=2x

，令y’=0，得x=0．用x=0将y=x2的定义区间(－∞，+∞)分成两个小区间(－∞，0)和(0，+∞)．由于x∈(－∞，0)时，

y’＜0；

x∈(0，+∞)时，

y’＞0．又因为函数y=x2在区间(－∞，0]和[0，+∞)上都连续，因此，其单调减区间为(－∞，0]，单调增区间为[0，+∞)．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值40高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图41高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例2讨论函数的单调性．解因为

，所以

．令

，得驻点

．驻点将f(x)的定义区间

分成3个小区间

，且f(x)在

上均连续．

在各个区间的符号如表3-1所示．x(－∞,0)(0,2)(2,

+∞)f’(x)－＋－f(x)单减↘单增↗单减↘表3-1因此，由定理1知，函数f(x)在区间(－∞,0]与[2,

+∞)上单调减少，在区间[0,2]上单调增加．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值42高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图43高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例3证明当x＞0时，ex＞x．证令

，则f(x)在

上连续；又因为所以，当

时，有

，即f(x)在

上单调增加．因此，当

时，有

，即当时，

，

．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值44高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图45高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘二、函数的极值定义1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，假设对此邻域内任一点x(x≠x0)，均有f(x)＜f(x0)，那么称f(x0)是函数f(x)的一个极大值．同样，假设对此邻域内任一点x(x≠x0)，均有f(x)＞f(x0)，那么称f(x0)是函数f(x)的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点x0称为极值点．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值46高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图47高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘定理2〔极值存在的必要条件〕设f(x)在点x0处具有导数，并且在点x0处取得极值，那么f’(x0)=0．定理3〔极值存在的第一充分条件〕设f(x)在点x0处连续，且在点x0的近旁可导．当x由小到大经过点x0时，〔1〕如果f’(x)由正变负，那么点x0是极大值点；〔2〕如果f’(x)由负变正，那么点x0是极小值点；〔3〕如果f’(x)不变号，那么点x0不是极值点．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值48高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图49高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘求函数极值的一般步骤如下：〔1〕确定函数f(x)的定义域；〔2〕求出f(x)的全部驻点及尖点；〔3〕考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；〔4〕求出极值点处的函数值，得到极值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值50高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图51高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘定理4〔极值存在的第二充分条件〕设f(x)在点x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0．〔1〕如果f’’(x0)＜0，那么f(x)在点x0处取得极大值；〔2〕如果f’’(x0)＞0，那么f(x)在点x0处取得极小值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值52高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图53高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例5求函数

的极值．解法1的定义域为

，且令

，得驻点．驻点将定义域分成3个区间，一阶导数的符号讨论如表3-3所示．表3-3x(－∞，1)1(1，3)3(3，+∞)y’+0－0+y↗极大值f(1)=4↘极小值f(3)=0↗由定理3可知，f(1)=4为函数f(x)的极大值，f(3)=0为f(x)的极小值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值54高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图55高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘解法2的定义域为

，且令

，得驻点

．又因为

，所以，

为

的极大值；

，故

为

的极小值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值56高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图57高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例6求函数

的极值．解的定义域为

，且

在

上连续，其导数为当

时，

不存在，所以

为

的可能极值点．在

内，

；在

内，

．由定理3可知，

在

处取得极大值

．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值58高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图59高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘三、函数的最值例7求函数

在区间

上的最大值和最小值．解因为函数

在区间

上连续，所以在该区间上一定存在最大值和最小值．该函数的导数为

．令

，得驻点

，

．于是比较各值，可得函数

的最大值为

，最小值为．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值60高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图61高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例8有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x．如图3-7所示为水槽的横截面，问x取何值时水槽的流量最大？解设两边各折起

x，则横截面积为图3-7这样，问题归结为：当x为何值时，S(x)取最大值．因

，故令S(x)=0，得S(x)的唯一驻点

．又因为铁皮两边折得过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在最大值，且S(x)的最大值在

处取得，即当

时，水槽的流量最大．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值62高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图63高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例9铁路线上AD的距离为100km，工厂C距A为20km，AC垂直于AD，如图3-8所示．今要在AD线上选定一点B向工厂修筑一条公路，铁路与公路每公里的货运费之比为3∶5，问B选在何处时，才能使从D到C的运费最少？解设

，则

，

．由于铁路与公路每公里的货运费之比为3∶5，因此，不妨设铁路上每公里运费为3k，公路上每公里运费为5k，并设从D点到C点需要的总运费为y，则图3-8高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值64高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图65高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘对上式，x过大或过小，总运费y均会变大，因此会有一个合适的x使总运费y达到最小值．y的导数为令y’=0，得x=15为函数y在其定义域内的唯一驻点，故知y在x=15处取得最小值，即B点选在距A点15km处时，运费最少．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值66高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图67高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘一、曲线的凹向及其判别法定义1设y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线，如果曲线段总是位于切线的上方，那么称该曲线段在(a,b)内是向上凹的〔简称上凹，也称凹的〕；如果曲线段总是位于切线的下方，那么称该曲线段在(a,b)内是向下凹的〔简称下凹，也称凸的〕．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值68高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图69高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘定理1设函数y=f(x)在开区间(a,b)内具有二阶导数．〔1〕假设在(a,b)内f’’(x)＞0，那么曲线y=f(x)在(a,b)内是向上凹的．〔2〕假设在(a,b)内f’’(x)＜0，那么曲线y=f(x)在(a,b)内是向下凹的．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值70高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图71高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例1

判定曲线

的凹向．解函数

的定义域为

，其导数为当

时，

，故曲线

在

内是向下凹的．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值72高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图73高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘二、拐点及其求法定义2假设连续曲线y=f(x)上的点P是曲线向上凹与向下凹的分界点，那么称点P是曲线y=f(x)的拐点．拐点的求法如下：设y=f(x)在(a,b)内连续；〔1〕先求出f’’(x)，找出在(a,b)内使f’’(x)=0和f’’(x)不存在的点；〔2〕用上述各点将(a,b)分成假设干小区间，在每个小区间上考察f’’(x)的符号；〔3〕假设f’’(x)在某点xi两侧异号，那么(xi,f(xi))是曲线y=f(x)的拐点．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值74高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图75高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例2求曲线

的凹向及拐点，并画其图像．解的定义域为，且．令y’’=0，得x=0．

x=0将

分成两个小区间：

和

．当

时，

y’’＜0，曲线y=x3下凹；当

时，

y’’＞0，曲线y=x3上凹．所以，点〔0,0〕为曲线y=x3的拐点，其图像如图3-10所示．图3-10高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值76高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图77高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘三、曲线的渐近线定义3假设曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于0，那么称直线L为曲线C的渐近线，如图3-12所示．图3-12高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值78高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图79高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘1．斜渐近线定理2假设f(x)满足：〔1〕； 〔2〕，那么曲线y=f(x)有斜渐近线y=kx+b．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值80高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图81高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例3求曲线

的斜渐近线．解根据定理2有因此，曲线的斜渐近线方程为

．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值82高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图83高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘2．垂直渐近线定义4假设〔有时仅当或〕时，有，那么称直线〔C为常数〕为曲线的垂直渐近线，也称铅直渐近线．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值84高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图85高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘3．水平渐近线定义5假设时，〔C为常数〕，那么称为曲线的水平渐近线．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值86高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图87高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘四、函数作图的一般步骤描绘函数图像的一般步骤如下：〔1〕确定函数的定义域及值域；〔2〕考察函数的周期性与奇偶性；〔3〕确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点；〔4〕考察函数曲线的渐近线；〔5〕考察函数曲线与坐标轴的交点及一些特殊点；〔6〕根据以上几方面的讨论画出函数的图像．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值88高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图89高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例4描绘函数

的图像．解（1）所给函数的定义域为

．（2）

，

．（3）令

，得驻点

．令

，得拐点．（4）用以上3点将定义域分成4个子区间，如表3-4所示．（5）显然，曲线无垂直渐近线和水平渐近线．（6）综合以上讨论结果，作出函数

的图像，如图3-15所示．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值90高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图91高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘x(－∞,－1)－1（－1,0）0（0,1）1（1，+∞）y’+0－－－0+y’’－－－0+++y极大值点（－1，3）

拐点

（0,1）极小值点

（1，－1）表3-4图3-15高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值92高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图93高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例5描绘函数

的图像．解（1）所给函数的定义域为

．（2）

．令

，得驻点

．

．令

，得拐点

．用点－3,3,6把定义区间分为4个子区间，即

（3）函数导数符号的分析如表3-5所示．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值94高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图95高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘（4）由于

，所以该函数有一条水平渐近线y=1和一条垂直渐近线x=－3．（5）计算出x=3

，x=6处的函数值为从而得到图形上的两个点

，再补充若干个点：（6）利用上面的结果，作出函数的图形，如图3-16所示．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值96高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图97高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘x(－∞,－3)（－3,3）3（3,6）6（6，+∞）f’(x)－+0－－－f’’(x)－－－－0+f(x)极大值f(3)=4拐点

表3-5图3-16高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值98高等数学谢谢THANKYOU高等数学谢谢THANKYOU99高等数学高等数学100高等数学第三章导数的应用高等数学第三章导数的应用101高等数学第三章导数的应用010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘高等数学第三章导数的应用010203中值定理与洛必达法那么函102高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图103高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘一、罗尔〔Rolle〕中值定理定理1〔罗尔中值定理〕如果函数f=(x)满足以下条件：〔1〕在闭区间[a,b]上连续；〔2〕在开区间(a,b)内可导；〔3〕在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值104高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图105高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘二、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理及其推论定理2〔拉格朗日中值定理〕如果函数f=(x)满足以下条件：〔1〕在闭区间[a,b]上连续；〔2〕在开区间(a,b)内可导；那么，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得1．拉格朗日〔Lagrange〕中值定理高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值106高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图107高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f’(x)≡0，那么在(a,b)内f(x)=C〔C为常数〕．2．两个推论推论2如果对(a,b)内的任意x，均有f’(x)=g’(x)，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)=g(x)+C〔C为常数〕．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值108高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图109高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例1函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点ξ，使又因为f’(x)=－2x，由－2ξ=－1

，得高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值110高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图111高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘三、洛必达法那么定理3〔洛必达法那么〕设函数f(x)与g(x)在x0的近旁〔点x0可除外〕有定义，假设〔1〕；〔2〕f(x)与g(x)都可导〔点x0可除外〕，且g’(x)≠0；〔3〕〔A为有限数，也可为+∞或－∞〕，那么这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛必达法那么．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值112高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图113高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例2

求．解此题属于“〞型未定式，符合洛必达法那么求极限的条件，故高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值114高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图115高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例3

求．解此题属于“

”型未定式，符合洛必达法则求极限的条件，故高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值116高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图117高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例4

求．解此题属于“

”型未定式，符合洛必达法则，故高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值118高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图119高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例5

求．解显然，本题若直接利用洛必达法则，在对分母求导时比较麻烦，这时如果做适当的变化，那么运算就方便得多，其运算如下：高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值120高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图121高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例6

求．解此题属于“

”型未定式，应用洛必达法则有高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值122高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图123高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例7

求．解此题属于“

”型未定式，应用洛必达法则有高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值124高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图125高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例8求〔n为正整数，λ＞0〕．解连续使用洛必达法则n次，得高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值126高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图127高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例9

求．解这是“

”型未定式，可通过“通分”将其化为“

”型未定式．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值128高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图129高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例10

求．解此未定式为“

”型，因为当x→0+时，上式右端是“

”型未定式，应用洛必达法则，得高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值130高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图131高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘在使用洛必达法则时，应注意如下几点：高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值132高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图133高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例11证明存在，但不能用洛必达法那么求解．解

因为

，所以，该极限存在．

又因为

不存在，所以，该极限不能用洛必达法则求出．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值134高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图135高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘一、函数的单调性定理1设函数f=(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么有〔1〕如果在(a,b)内f’(x)＞0，那么函数f(x)在[a,b]上单调增加；〔2〕如果在(a,b)内f’(x)＜0，那么函数f(x)在[a,b]上单调减少．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值136高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图137高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘确定函数的单调性的一般步骤：〔1〕确定函数f(x)的定义域；〔2〕求出使函数f’(x)=0和f’(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成假设干个子区间；〔3〕确定f’(x)在各个子区间的符号，从而确定f(x)的单调区间．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值138高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图139高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例1求函数y=x2的单调区间．解因为y=x2，所以y’=2x

，令y’=0，得x=0．用x=0将y=x2的定义区间(－∞，+∞)分成两个小区间(－∞，0)和(0，+∞)．由于x∈(－∞，0)时，

y’＜0；

x∈(0，+∞)时，

y’＞0．又因为函数y=x2在区间(－∞，0]和[0，+∞)上都连续，因此，其单调减区间为(－∞，0]，单调增区间为[0，+∞)．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值140高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图141高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例2讨论函数的单调性．解因为

，所以

．令

，得驻点

．驻点将f(x)的定义区间

分成3个小区间

，且f(x)在

上均连续．

在各个区间的符号如表3-1所示．x(－∞,0)(0,2)(2,

+∞)f’(x)－＋－f(x)单减↘单增↗单减↘表3-1因此，由定理1知，函数f(x)在区间(－∞,0]与[2,

+∞)上单调减少，在区间[0,2]上单调增加．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值142高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图143高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例3证明当x＞0时，ex＞x．证令

，则f(x)在

上连续；又因为所以，当

时，有

，即f(x)在

上单调增加．因此，当

时，有

，即当时，

，

．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值144高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图145高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘二、函数的极值定义1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，假设对此邻域内任一点x(x≠x0)，均有f(x)＜f(x0)，那么称f(x0)是函数f(x)的一个极大值．同样，假设对此邻域内任一点x(x≠x0)，均有f(x)＞f(x0)，那么称f(x0)是函数f(x)的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点x0称为极值点．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值146高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图147高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘定理2〔极值存在的必要条件〕设f(x)在点x0处具有导数，并且在点x0处取得极值，那么f’(x0)=0．定理3〔极值存在的第一充分条件〕设f(x)在点x0处连续，且在点x0的近旁可导．当x由小到大经过点x0时，〔1〕如果f’(x)由正变负，那么点x0是极大值点；〔2〕如果f’(x)由负变正，那么点x0是极小值点；〔3〕如果f’(x)不变号，那么点x0不是极值点．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值148高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图149高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘求函数极值的一般步骤如下：〔1〕确定函数f(x)的定义域；〔2〕求出f(x)的全部驻点及尖点；〔3〕考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；〔4〕求出极值点处的函数值，得到极值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值150高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图151高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘定理4〔极值存在的第二充分条件〕设f(x)在点x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0．〔1〕如果f’’(x0)＜0，那么f(x)在点x0处取得极大值；〔2〕如果f’’(x0)＞0，那么f(x)在点x0处取得极小值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值152高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图153高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例5求函数

的极值．解法1的定义域为

，且令

，得驻点．驻点将定义域分成3个区间，一阶导数的符号讨论如表3-3所示．表3-3x(－∞，1)1(1，3)3(3，+∞)y’+0－0+y↗极大值f(1)=4↘极小值f(3)=0↗由定理3可知，f(1)=4为函数f(x)的极大值，f(3)=0为f(x)的极小值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值154高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图155高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘解法2的定义域为

，且令

，得驻点

．又因为

，所以，

为

的极大值；

，故

为

的极小值．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值156高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图157高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例6求函数

的极值．解的定义域为

，且

在

上连续，其导数为当

时，

不存在，所以

为

的可能极值点．在

内，

；在

内，

．由定理3可知，

在

处取得极大值

．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值158高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图159高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘三、函数的最值例7求函数

在区间

上的最大值和最小值．解因为函数

在区间

上连续，所以在该区间上一定存在最大值和最小值．该函数的导数为

．令

，得驻点

，

．于是比较各值，可得函数

的最大值为

，最小值为．高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值160高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘010203高等数学中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图161高等数学010203中值定理与洛必达法那么函数的单调性、极值与最值函数图形的描绘例8有一块宽为2a的