中考数学第一轮要点复习课件：第7单元-三角形第25课时-尺规作图

第25课时

尺规作图第25课时尺规作图[小题热身]B[小题热身]BA．①②③

B．①②④C．①③④

D．②③④图25－1A．①②③ B．①②④图25－12．[2015·绍兴]如图25－2，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，

调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一

条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原

理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有 ∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是() A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

D图25－22．[2015·绍兴]如图25－2，小敏做了一个角平分仪AB 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE. 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝一、必知3 知识点1．尺规作图

尺规作图：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆

规来画图称为尺规作图．

五种基本作图：

(1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作一个角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过定点作已知直线的垂线．[考点管理]一、必知3 知识点[考点管理]2．利用尺规作三角形的类型

(1)已知三角形的三边，求作三角形； (2)已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； (3)已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； (4)已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； (5)已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．3．过点作圆

(1)过一个点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的垂直平分线上； (2)过不在同一直线上的三点可以作一个圆．2．利用尺规作三角形的类型二、必会2 方法1．尺规作图的关键

(1)先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； (2)读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．二、必会2 方法三、必明2 易错点1．尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆规，注意要求是没有刻度，不能用刻度尺去作线段或用量角器作直角．2．尺规作图的基本步骤包括：已知，求作，分析作法，证明，结论．步骤顺序不作要求，但作图时一定要保留作图痕迹，作图后不要忘记写结论.三、必明2 易错点类型之一利用尺规作线段的垂直平分线和角平分线 [2015·丽水]如图25－3，已知△ABC中，

∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且

到A，B两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作

法，保留作图痕迹)； (2)连结AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．图25－3类型之一利用尺规作线段的垂直平分线和角平分线图25－3

解：(1)点D的位置如答图所示(D为AB中

垂线与BC的交点)； (2)∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，

∴∠CAB＝53°.

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝37°.

∴∠CAD＝53°－37°＝16°. 【点悟】本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．例1答图 解：(1)点D的位置如答图所示(D为AB中例1答图1．[2014·白银]如图25－4，△ABC中，

∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，

交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕

迹，不要求写作法)； (2)连结BD，求证：BD平分∠CBA.图25－41．[2014·白银]如图25－4，△ABC中，图25－4 (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，从而得到BD平分∠CBA.

解：(1)如答图所示，DE就是要求作的

AB边上的中垂线； (2)证明：∵DE是AB边上的中垂线，

∠A＝30°，

∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，

∵∠C＝90°，

∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，

∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA.变式跟进1答图 (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A2．[2015·怀化]如图25－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.

(1)求作⊙O，使它过点A，B，C(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC的长．图25－52．[2015·怀化]如图25－5，在Rt△ABC中，∠AC

解：(1)如答图所示； (2)∵AC＝1，AB＝2，

∴∠B＝30°，∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，变式跟进2答图 解：(1)如答图所示；变式跟进2答图3．如图25－6，已知△ABC， (1)作∠BAC的角平分线交于BC于点D(要求尺规作图，不写作法)； (2)若AB＝AC＝5，BC＝6，求AD的长．图25－63．如图25－6，已知△ABC，图25－6

解：(1)如答图所示，AD即为所求； (2)∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，变式跟进3答图 解：(1)如答图所示，AD即为所求；变式跟进3答图类型之二利用尺规作三角形

已知：线段a，c，∠α.

求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，

∠ABC＝∠α. 【解析】先画出与α相等的角，再画出a，

c的长，连结AC，则△ABC即为所求作三

角形．

图25－7类型之二利用尺规作三角形图25－7

解：(1)如答图①，以α的顶点B′为圆心，任意长为半径画弧，交α的两边于点A′，C′；

(2)作射线BH，以B为圆心，以B′C′为半径画弧，交BH于点F，以F为圆心，C′A′长为半径画弧，两弧交于点E，连结BE；

(3)以B为圆心，a为半径画弧交射线BH于点C，以B为圆心，c为半径画弧交BE的延长线于点A，连结AC，则△ABC即为所求作三角形．例2答图 解：(1)如答图①，以α的顶点B′为圆心，任意长为半径画弧 [2015·青岛]用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图25－8，线段c，直线l及l外一点A.

求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.图25－8 [2015·青岛]用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图

解：Rt△ABC即为所求． 【点悟】利用尺规作图一般的作法是先将图形作出，再分析其特点；作直角、中点和角平分线等要保留作图痕迹．变式跟进答图 解：Rt△ABC即为所求．变式跟进答图类型之三尺规作图与几何证明的综合运用 [2015·梅州]如图25－9，已知 △ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两

弧相交于点D；

③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD. (1)求证：△ABC≌△ADC； (2)若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的长．图25－9类型之三尺规作图与几何证明的综合运用图25－9 【解析】

(1)利用SSS定理证得结论； (2)设BE＝x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA＝45°易得CE＝BE＝x，

解得x，得CE的长．

∴△ABC≌△ADC(SSS)； 【解析】(1)利用SSS定理证得结论； (2)设BE＝x，由题可知BD⊥AC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABE＝60°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠CBE＝45°，

∴BE＝EC＝x， (2)设BE＝x，由题可知BD⊥AC， [2015·苏州]如图25－10，在△ABC中，

AB＝AC，分别以B，C为圆心，BC长为

半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，

与AB，AC的延长线分别交于点E，F，

连结AD，BD，CD. (1)求证：AD平分∠BAC；图25－10 [2015·苏州]如图25－10，在△ABC中，图25－1

解：(1)证明：根据题意，得BD＝CD＝BC，

∴△ABD≌△ACD(SSS)．

∴∠BAD＝∠CAD，

即AD平分∠BAC；

(2)∵AB＝AC，

∠BAC＝50°，

∴∠ABC＝∠ACB＝65°，

∵BD＝CD＝BC， 解：(1)证明：根据题意，得BD＝CD＝BC，

∴△BDC为等边三角形，

∴∠DBC＝∠DCB＝60°，

∴∠DBE＝∠DCF＝55°，

∵BC＝6，

∴BD＝CD＝6， ∴△BDC为等边三角形，

尺规作图易漏解 (德州中考)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图25－11.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出作法) 尺规作图易漏解图25－11图25－11 【错解】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点． (1)作两条公路夹角的平分线OD； (2)作线段AB的垂直平分线FG；

则射线OD与直线FG的交点C1就是所求的位置． 【错因】忽略了作两条公路夹角的另一条平分线OE；则漏掉了射线OE与直线FG的交点C2. 【错解】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的

【正解】如答图所示，则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.易错警示答图 【正解】如答图所示，则射线OD，OE与直线FG的交点C1，第25课时

尺规作图第25课时尺规作图[小题热身]B[小题热身]BA．①②③

B．①②④C．①③④

D．②③④图25－1A．①②③ B．①②④图25－12．[2015·绍兴]如图25－2，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，

调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一

条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原

理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有 ∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是() A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

D图25－22．[2015·绍兴]如图25－2，小敏做了一个角平分仪AB 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE. 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝一、必知3 知识点1．尺规作图

尺规作图：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆

规来画图称为尺规作图．

五种基本作图：

(1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作一个角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过定点作已知直线的垂线．[考点管理]一、必知3 知识点[考点管理]2．利用尺规作三角形的类型

(1)已知三角形的三边，求作三角形； (2)已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； (3)已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； (4)已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； (5)已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．3．过点作圆

(1)过一个点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的垂直平分线上； (2)过不在同一直线上的三点可以作一个圆．2．利用尺规作三角形的类型二、必会2 方法1．尺规作图的关键

(1)先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； (2)读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．二、必会2 方法三、必明2 易错点1．尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆规，注意要求是没有刻度，不能用刻度尺去作线段或用量角器作直角．2．尺规作图的基本步骤包括：已知，求作，分析作法，证明，结论．步骤顺序不作要求，但作图时一定要保留作图痕迹，作图后不要忘记写结论.三、必明2 易错点类型之一利用尺规作线段的垂直平分线和角平分线 [2015·丽水]如图25－3，已知△ABC中，

∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且

到A，B两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作

法，保留作图痕迹)； (2)连结AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．图25－3类型之一利用尺规作线段的垂直平分线和角平分线图25－3

解：(1)点D的位置如答图所示(D为AB中

垂线与BC的交点)； (2)∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，

∴∠CAB＝53°.

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝37°.

∴∠CAD＝53°－37°＝16°. 【点悟】本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．例1答图 解：(1)点D的位置如答图所示(D为AB中例1答图1．[2014·白银]如图25－4，△ABC中，

∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，

交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕

迹，不要求写作法)； (2)连结BD，求证：BD平分∠CBA.图25－41．[2014·白银]如图25－4，△ABC中，图25－4 (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，从而得到BD平分∠CBA.

解：(1)如答图所示，DE就是要求作的

AB边上的中垂线； (2)证明：∵DE是AB边上的中垂线，

∠A＝30°，

∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，

∵∠C＝90°，

∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，

∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA.变式跟进1答图 (2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A2．[2015·怀化]如图25－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.

(1)求作⊙O，使它过点A，B，C(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC的长．图25－52．[2015·怀化]如图25－5，在Rt△ABC中，∠AC

解：(1)如答图所示； (2)∵AC＝1，AB＝2，

∴∠B＝30°，∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，变式跟进2答图 解：(1)如答图所示；变式跟进2答图3．如图25－6，已知△ABC， (1)作∠BAC的角平分线交于BC于点D(要求尺规作图，不写作法)； (2)若AB＝AC＝5，BC＝6，求AD的长．图25－63．如图25－6，已知△ABC，图25－6

解：(1)如答图所示，AD即为所求； (2)∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，变式跟进3答图 解：(1)如答图所示，AD即为所求；变式跟进3答图类型之二利用尺规作三角形

已知：线段a，c，∠α.

求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，

∠ABC＝∠α. 【解析】先画出与α相等的角，再画出a，

c的长，连结AC，则△ABC即为所求作三

角形．

图25－7类型之二利用尺规作三角形图25－7

解：(1)如答图①，以α的顶点B′为圆心，任意长为半径画弧，交α的两边于点A′，C′；

(2)作射线BH，以B为圆心，以B′C′为半径画弧，交BH于点F，以F为圆心，C′A′长为半径画弧，两弧交于点E，连结BE；

(3)以B为圆心，a为半径画弧交射线BH于点C，以B为圆心，c为半径画弧交BE的延长线于点A，连结AC，则△ABC即为所求作三角形．例2答图 解：(1)如答图①，以α的顶点B′为圆心，任意长为半径画弧 [2015·青岛]用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图25－8，线段c，直线l及l外一点A.

求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.图25－8 [2015·青岛]用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图

解：Rt△ABC即为所求． 【点悟】利用尺规作图一般的作法是先将图形作出，再分析其特点；作直角、中点和角平分线等要保留作图痕迹．变式跟进答图 解：Rt△ABC即为所求．变式跟进答图类型之三尺规作图与几何证明的综合运用 [2015·梅州]如图25－9，已知 △ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两

弧相交于点D；

③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD. (1)求证：△ABC≌△ADC； (2)若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的长．图25－9类型之三尺规作图与几何证明的综合运用图25－9 【解析】

(1)利用SSS定理证得结论； (2)设BE＝x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA＝45°易得CE＝BE＝x，

解得x，得CE的长．

∴△ABC≌△ADC(SSS)； 【解析】(1)利用SSS定理证得结论； (2)设BE＝x，由题可知BD⊥AC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABE＝60°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠CBE＝45°，

∴BE＝EC＝x， (2)设BE＝x，由题可知BD⊥AC，