人教B版高中数学选修4-5创新设计练习12基本不等式(二)(含答案详析)

1.2基本不等式(二)基础达标14xx41．已知x>0，从不等式x＋x≥2，x＋x2＝2＋2＋x2≥3，启示我们实行为x＋xn≥n＋1，则括号中应填写的是()．A．nnB．n2C．2nD．22(n－1)答案A．设，，∈，＋∞)且＋＋＝，令＝1－1·1－11－1，则x的2abc(0abc1xabc取值范围为()．11A.0，8B.8，1C．[1,8)D．[8，＋∞)111剖析∵x＝a－1b－1c－11－a1－b1－ca·b·cb＋cc＋aa＋b≥2bc·2ca·2ab＝8，abcabc当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.答案D3．已知x，y都为正数，且1＋4＝1，则xy有()．xyA．最小值16B．最大值16C．最小值1D．最大值116164剖析∵x，y∈(0，＋∞)且x＋y＝1，14≥24＝4，∴≥，∴≥，∴1＝x＋yxyxyxy4xy164x＝y，14x＝2，当且仅当即时取等号，x＋y＝1，y＝8，x，y∈0，＋∞，此时(xy)min＝16.答案A1114．a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最小值为________．剖析111a＋b＋c＋a＋b＋c＋a＋b＋c由题知a＋b＋c＝1，则＋＋＝abc＝3＋abcbacacba＋b＋a＋c＋b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．答案915．在区间2，2

2＋x＋1上，函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与g(x)＝xx在同一点1取相同的最小值，那么f(x)在区间2，2上的最大值是________．1剖析g(x)＝x＋x＋1在x＝1时，取最小值3.b2－2＝1,1＋b＋c＝3，∴b＝－2，c＝4.∴f(x)＝x－2x＋4，x＝2时，f(x)max＝4.答案422236．在△ABC中，若是三内角满足：sinA＋sinB＝5sinC，求证：sinC≤5.证明在△ABC中，由正弦定理，得a＝b＝c＝2R.sinAsinBsinC又∵sin2＋2＝2，∴a2＋b2＝5c2AsinB5sinC.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c24c24c22＝4c242ab＝2ab≥25c2＝.a＋b5由0<C<π且cosC≥π4，得0<C<，523∴sinC≤5.综合提高7．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则以下关系式总成立的是()．A．V≥πB．V≤π11C．V≥8πD．V≤8π剖析设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，2r＋r＋h333于是有V＝πrh≤π·3＝π3＝π，当且仅当r＝h时取等号．答案B8．若是圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()．l3l3A.6πB.3πl31l3C.4πD.44π剖析l＝4r＋2h，即2r＋h＝l，22r＋＋h3π＝l3π.V＝πrh≤r63答案Ax29．函数y＝x4＋9(x≠0)有最大值______，此时x＝______.剖析∵x≠0，∴x2>0.∴y＝4x2＝19≤19＝1，x＋9226x＋222xx2942当且仅当x＝x2，即x＝9，x＝3，x＝±3时取等号，1即当x＝±3时，ymax＝6.答案1±36π3210．制造容积为m的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为30元/m，做侧面的金属板价格为20元/m2，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径r＝________，高h＝________.剖析π1∵πr2＝，∴＝h2rh2r.设用料成本为S，则20πS＝30πr2＋40πrh＝30πr2＋r＝210π10π3元，30π＋＋≥30π3()rrr10π39329当30πr＝r，即r＝3时，等号成立，此时h＝2.339答案3m2m11．某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入花销；若延期则每延期一天将被罚款5千元．追加投入的花销按以下关系计算：6x＋x784＋3－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获取最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加花销)．解设该城建公司获取的附加效益为y千元，则由题意，得y＝－6x＋784－118＝118－4x＋7842xx＋3x＋3784118－4x＋3＋x＋3－12784130－4x＋3＋x＋3784≤130－24x＋3·x＋3130－112＝18，784当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．∴提前11天完工，公司可获取最大附加效益．12．甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得高出ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比率常数为b，固定部分为a元．(1)把全程运输成本y元表示为速度v(km/h)的函数，并指出函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？解(1)由于汽车每小时的运输成本为bv2＋a(元)，ss2＋a)，全程时间为v(小时)，故y＝v(bva即y＝sv＋bv，v∈(0，c]．a＋bv≥2ab，当且仅当v＝a(2)由于vb时取等号，故①若a≤c，则当v＝a时，y取最小值．bbaa②若b>c，则先证y＝sv＋bv，v∈(0，c]为单调减函数，事实上，当v1、v2∈(0，c]，且v1<v2，则1－2＝a＋bv1a＋bv2yysv1－v2＝sa－a＋bv1－bv2＝s(v1－v2)b－av1v2v1v2av1v2－bsb(v1－v2)·v1v2，∵v1、v2∈(0，c]，v1<v2，∴v1－v2，12，1<a，v2a