北航CFD讲义第19课

第五讲高分辨率格式初步目的为什么那么重视高分辨率格式？是为了提高捕获激波和间断面的质量对于光滑流动，无论是中心差分格式，还是矢通量分裂格式，其结果都是令人满意的，彼此之间无优劣之分。对于含激波这样强间断的流动，格式的优劣就显现出来了。中心差分是频散格式，求解过程中，激波前后会产生强烈的数值振荡。加入人工粘性，能够抑制数值振荡但是过大的耗散使激波变得很宽（5个网格点左右），从而降低了激波的分辩率。矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的数值振荡，但由于精度较低（一阶）、耗散较大使得激波的梯度被抹平，激波宽度仍然较大（3个网格点左右）。与中心差分格式不同，矢通量分裂格式属于迎风格式，与后面要讲的高分辩率格式属同类，它为什么分辩率不高呢？解释如下：迁移方程ututaux0令(11-1)(11-2)式中,-aa0,a2-a|a|02-aa0,a2-a|a|02(11-3)结合式(11-2),(11-3),式(11-1)成为:迎风格式n1Uiut1

u迎风格式n1Uiut1

ux—ax2ux0

x(11-4)（与矢通量格式相当）为nnuiui11oax2nnui1uix(11-5)经过整理，可将迎风格式写成如下形式,n1nuiuitnnn1nuiuitnnui1ui1an

ui12uinuin12

x(11-6)从上式可见，当a0时，二阶耗散消失了，这时差分格式会得到非物理解。实际上a0的点在实际流动中就是音速点。一维Euler方程扰动传播速度为ua和ua（这里a表示音速）而音速点恰恰是激波区不可避免的！

（一）激波管（黎曼问题）初始条件为：膈膜左侧：uuL,ppL,L，当xx0,t0膈膜右侧：uuR,ppR,R,当xx0,t0假定：plpr,lr，而uluR0膈膜破裂之后，t0,将会发生什么？膈膜的初始位置膨胀波接触间断激波流动状态（t0）接触间断：p3p2,u3u2,G.OQ7.5O10,B9G.GO245G5.00x(m)7.50LS.QCO-Ofl。•加2.5054。x(m)lOOxLO2O.0Q2,505.勃7.5910,OQ1czb-o-9GD**12101.30M数赫马o,ocx(m)0<002,505.007.5010.00x(m)x(m)x(m)激波管内流场情况（膈膜破裂之后6.1msec）初始条件为：Pl105N/m2,

L1.0Kg/m3,uL0m/sPR104N/m2,R0.125Kg/m3,uR0m/s.②区：设p/P,1,根据Rankine-Hugoniot条件（简称PR1R-H条件）有:u2P1u2P111P工12aRP2PPRfP.③区根据间断面的定义，可得P3P2PPRfPu3u2fpPR;而p满足下列关系式:2P11、.2P11、.ip2包1aR1民丁pWPR可用牛顿迭代法从上式中求出P,于是②区和③区的气流状态完全确定

设膈膜位置为.膨胀波扫过的区域⑤设膈膜位置为x0,膈膜破裂时间点为t0。则根据Riemann不变量的规律。沿特征线Cdt

dx1、力),有沿特征线Cdt

dx1、力),有ua沿特征线Cdtdx1、力),有ua沿特征线C0dt

dx可得:U5常数3可得:U5常数3l1一Ul2P5PP5PluaLP5Pl可见，当膈膜破裂之后，激波管内气流参数完全由膈膜两侧的状态参数所决定，当然考察的位置x和时间t也是决定因素。（二）Riemann问题的理论分析1.对于一维问题，非线性守恒方程系统：ptFx0FFU（11-7a）Ux,0U0（x）x（11-7b）古典解：如果方程（11-7a）的解U连续且U的一阶偏导数分段连续，则称U为古典解。弱解：对于方程（11-7a）,如果它的解U为间断的不连续函数，则称其为弱解（也可称为广义解）。弱解满足下列条件：1）解U在所有连续点满足初始条件（11-7b）;2）在解U的光滑处，方程（11-7a）局部成立；3）在解U的间断处满足Rankine-Hugoniot条件F（Ur）FUlC（UrUl）（11-8）式中，C为间断面的移动速度；下标“R”表示间断面右侧变量，“L”表水左侧变量。也可写成：FUCU式中，f表示函数f在间断左右的跳跃。

2.Riemann(黎曼)问题:对于Euler方程：(11-9)UFx0(11-9)式中uUuFu2p

eepu如果初始条件为:Ux,0UUx,0ULx0URx0当t0之后，由初始间断的左右状态确定波态、波的强度和波之间的流动特性的问题称为Riemann问题。3.间断面的分类：1）弱间断：参数连续，而参数的导数不连续，例如膨胀波（稀疏波）；2）强间断：参数不连续（产生间断），例如激波和接触间断。激波：满足R-H条件的间断；接触间断：流体不穿过波面，即满足：p0,u0即，间断前后压力和速度不变，只有密度发生跳跃0可以证明，Riemann问题的解是由一个向左移动的波，一个处于中间的接触间断和一个向右移动的波构成，向左向右移动的波或为

激波、或为膨胀波（稀疏波）。三个波之间的参数呈定常状态。显然，t0之后，Riemann问题的解只由初始间断的左右状态UR、UL所确定，所以Riemann解可写成：RXUx,tU-,Ul,Ur

t上标R表示Riemann解。Godunov格式Godunov格式的基本原理：在离散点的界面上求解Riemann问题。右图表示以单元1i—,i—为单位TOC\o"1-5"\h\z2分片平均的几何意义。由图可见，单元1,,一i-,i—的平均2值就是Ui。Godunov认为从n1t的未知解时间层tnt的已知解Un1t的未知解时间层tnt的已知解U：求得下一时间层t11...一一第1步：将已知解U：在单兀i—,i-内进行平均i22并得到相邻单元的平均值,Uin1解:L\ndxuinxr并得到相邻单元的平均值,Uin1解:L\ndxuinxrUnnni1，Ui1Ui1，第2步：根据激波管原理,在相邻单元界面上，求得(11-10)RiemannURUR0,Uin1,UinuRuR00nlUn(11-11)i弓界面步：下一时间层n1t的未知解由Riemann解(11-11),、，1在单兀i一,i2内积分获得:_1步：下一时间层n1t的未知解由Riemann解(11-11),、，1在单兀i一,i2内积分获得:_1TUin1—URxTx-，Ul,Urdx(11-12)由于界面iRiemann解是不同的，需要分段积分，于是（11-12)式可写为Uin1x-Ux0R-,Uin1,Uin0UR__x2t,Uin,Uin1d(11-13)在以上三步中,第在以上三步中,第1和第3步均为在单元内的积分，与方程的物理本质无关，而第2步则利用了激波管的物理特性，Godunov求解控制方程的独特之处就是这第2步：将离散的数值求解化为求