血液流量问题

论文题目：血液流量问题姓名1：李俊峰学号：2008062073专业：信息与计算科学姓名2：任忠学号：2008062076专业：信息与计算科学姓名3：孙孝雄学号：2008062060专业：信息与计算科学2010年6月4日摘要我们利用已有的一些动物的数据分别建立他们基础血液流量与体重和脉搏与体重的多项式或幂函数拟合函数，从而研究这个问题。在“问题一”中我们分别做出了部分哺乳动物和人类的基础血液流量与体重的模拟函数以及图形，首先用MATLAB工具对建立的模拟函数进行残差、置信区间的分析，然后用MATLAB建立程序得出相应的数据通过数理统计的知识，对建立的回归模型进行回归系数及置信区间、显著性进行分析（相关系数、F值、F值对应的概率），最后通过这两次检验得出模拟函数符合原始数据。同样在“问题二”中我们分别做出了人类、小鸟类、大鸟类和哺乳类动物的脉搏与体重的模拟函数以及图形，首先用MATLAB工具对建立的模拟函数进行残差、置信区间的分析，然后用MATLAB建立程序得出相应的数据通过数理统计的知识，对建立的回归模型进行回归系数及置信区间、显著性进行分析（相关系数、F值、F值对应的概率），最后通过这两次检验得出模拟函数符合原始数据。在“问题三”中我们首先对一二问中建立的模拟函数进行复合，发现数据与原始数据不符合，然后得出在考虑体重与基础血液流量的关系时还应该考虑年龄的想法，再模拟出人类的基础血液流量关于体重、年龄的二元函数，最后通过残差平方和、残差的检验，验证出模型适合原始数据。关键词：模拟函数；残差分析；模型检验；回归模型；置信区间；二元复合函数。一．问题的提出小哺乳动物与小鸟的心跳速度比大哺乳动物与大鸟的快。如果动物的进化为每种动物确定了最佳心跳速度，为什么各种动物的最佳心跳速度不一样呢？由于热血动物的热量通过身体表面散失，所以它们要用大量的能量维持体温，而冷血动物在休息时只需要极少的能量，所以正在休息的热血动物似乎在维持体温。可以认为，热血动物可用的能量与通过肺部的血液流量成正比。（1）试建立一个模型，将体重与通过心脏的基础（即休息时的）血液流量联系起来，用下面的数据检验你的模型。（2）有许多可得到脉搏数据但没有血液流量数据的动物，建立一个模型将体重与基础脉搏联系起来，用下面的数据检验你的模型。（3）在检验你在（1）和（2）中的模型时会出现不一致，试进行分析。（表一及表二、三、四、五见附录）二．问题分析 由题目叙述及表一表二可以知道在一定的体重范围内人类和在忽略哺乳动物不同物种间的差异时易知随着体重的增加基础血液流量也增加，但对人本身的数据比较全面可以把人类作为一个独立参考对象，故我们分析问题的时候将人类和其它哺乳动物分开考虑。易知人随着年龄的增加人的体重也相应的增加，但是到达一定年龄段后体重基本趋于稳定，随着体重的增加基础血液流量及脉搏次数都有相应的变化；同样由题目叙述及表二、三、四、五我们可以得出以下的简单结论：（1）对于人类随着体重及年龄的增加脉搏逐渐减小，当年龄到达一定的范围后体重及脉搏均趋于平衡，但随着年龄的继续增长脉搏次数又会增加最后趋于一平衡值，此时体重不会再增加；（2）对于小鸟类动物在一定的体重范围内随着体重的增加脉搏次数逐渐减小；（3）对于大鸟类动物在一定的体重范围内随着体重的增加脉搏次数逐渐减小，但同小鸟类相比明显低；（4）对于哺乳类动物在一定的体重范围内随着体重的增加脉搏次数逐渐减小，且小哺乳类动物脉搏次数明显高。根据以上分析，我们可以通过表一及表二利用Matlab分别拟合出哺乳动物、人类的体重与基础血液流量的函数关系；根据表二及表三、四、五同样可以利用Matlab分别拟合出人、小鸟类、大鸟类、哺乳类动物的体重与脉搏的函数关系。通过以上模拟出的函数关系，我们可以通过对模拟函数的分析检验模型是否符合题所给出的数据，从而判断模型的适用度；最后参考人类的数据分析体重、脉搏与基础血液流量函数的关系，得出不一致的情况，进行分析。三．基本假设（1）由问题分析及题目所给出的数据假设本题所建立的模型只考虑热血动物；（2）由问题所给出休息时热血动物似乎在维持体温，由于建立的体重与基础血液流量间的关系函数，所以本题不考虑热量散失。四．符号约定表示人类的体重，单位：千克表示小鸟类动物的体重，单位：千克表示大鸟类动物的体重，单位：千克表示哺乳类动物的体重，单位：千克表示人类的基础血液流量，单位：分升/分表示哺乳类动物的基础血液流量，单位：分升/分表示动物的年龄，单位：岁表示人类的脉搏，单位：次/分表示小鸟类动物的脉搏，单位：次/分表示大鸟类动物的脉搏，单位：次/分表示哺乳动物的脉搏，单位：次/分表示一个多项式函数的自变量前面的系数，对应于自变量的i次幂，。表示负幂项函数的自变量前面的系数，对应于自变量的下角标，。五．型建立及求解（一）、问题一1.拟合函数的基本规则：a.拟合函数能较好的反映出该数据的变化规律，不会出现较多的数据不符合该拟合函数。b.拟合的函数且应计算方便。c.如若遇到不能用一个拟合函数拟合该数据时的情况，可以考虑用分段函数进行拟合。d.通过比较多项式拟合一般为较好的的拟合函数，在拟合一组数据时应当首先考虑用多项式进行拟合，如果拟合效果不佳，则考虑用分段函数或观察三点图的大致走向判断用什么函数进行拟合。e.拟合函数应使得最小，是已知点的纵坐标，是拟合函数所得的估计值。2.建立模型：建立模拟函数模型，由以上分析可知在本问题中会建立两个模拟函数。通过观察该数据的散点图，可以做出不同的尝试拟合该数据，为了较好的拟合该数据和计算方便，采用多项式进行拟合为最佳。首先由表一建立哺乳动物的体重与基础血液流量的函数关系：。再建立人类的体重与基础血液流量的函数关系：。注：上面的两个多项式表达式中的不一定就相等，只是一个代号而已，下面一样就不多做注解。3.模型求解：运用数学工具Matlab软件，可以拟合该数据，通过多次试验最终我们将该数据用分段函数来拟合，且得到的结果如下：①哺乳动物的体重与基础血液流量的函数关系：模拟函数图形是(程序见附件cx1_1)②人类的体重与基础血液流量的函数关系：模拟函数图形是(程序见附件cx1_2)1)残差分析：①在问题一的哺乳动物的体重与基础血液流量的函数关系中，通过Mtalab的figure窗口中点击tools在其子菜单中点击BasicFitting选择我们拟合的多项式次数就可以做出该问题的残差图（如下图所示），从残差图上可以看出，这些数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据。该拟合函数的残差平方和为：当时，残差平方和为：2.3114e－013当时，残差平方和为：6.9033e－014 哺乳动物的体重与基础血液流量的函数的残差图②在问题一的人类的体重与基础血液流量的函数关系中，如上残差分析所示，同样可以做出该问题的残差图与残差及置信区间图（如下图所示），从残差图与残差及置信区间图可以看出，这些数据的的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据。人类的体重与基础血液流量的函数残差图人类的体重与基础血液流量的函数残差及置信区间图(程序见附件cx1_3)2）基本检验：由数理统计学可以知道，检验回归模型统计量有三个数值可以反映出拟合良好程度：1、相关系数越接近1，说明回归方程越显著；2、F值，F越大，说明回归方程越显著；3、与F对应的概率p，时（缺省为0.05），回归模型成立。问题一中哺乳动物的体重与基础血液流量的函数拟合得出下列数据：当时，(程序见附件cx1_1)回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b00无b1无b2无b3无b4无

当时，(程序见附件cx1_1)回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b00无b10无b2无b3无

对于这个分段函数的拟合，由于该拟合函数基本通过了每个数据点，故他们的回归系数的置信区间都没有。1、我们可以知道相关系数，则说明回归方程越显著；2、2、，回归方程越显著。问题一的人类的体重与基础血液流量的函数拟合得出下列数据：（程序见附件cx1_3）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b0(-1381,1347)b1(-154.8,163.4)b2(-6.361,6.016)b30.003506(-0.09219,0.09921)b4(-0.000536,0.0004862)

1、相关系数，则说明回归方程越显著；2、，回归方程越显著；3、通过程序我们可以知道： 则回归方程越显著。由以上推断论断知，该拟合函数还是比较符合数据点。（二）、问题二1.拟合函数的基本规则：a.拟合函数能较好的反映出该数据的变化规律，不会出现较多的数据不符合该拟合函数。b.拟合的函数且应计算方便。c.如若遇到不能用一个拟合函数拟合该数据时的情况，可以考虑用分段函数进行拟合。d.通过比较多项式拟合一般为较好的的拟合函数，在拟合一组数据时应当首先考虑用多项式进行拟合，如果拟合效果不佳，则考虑用分段函数或观察三点图的大致走向判断用什么函数进行拟合。最小，是已知点的纵坐标，是拟合函数所得的估计值。2.建立模型：本问题建立模拟函数模型，由以上分析可知在本问题中会建立拟合四个模拟函数。通过观察该数据的散点图，可以做出不同的尝试拟合该数据，为了较好的拟合该数据和计算方便，采用多项式进行拟合为最佳。首先由表二建立人类的体重与脉搏的函数关系：。然后由表三表四分别建立小鸟、大鸟体重与脉搏的函数关系：，。因为在65—312之间的体重值变化比较剧烈，多项式不能较好的拟合该数据，故采用负幂项进行拟合。再由表五建立哺乳动物的体重与脉搏的关系函数:。在100—588之间该散点图的数据用多项式拟合较好，故采用多项式进行拟合。—100之间的体重值变化比较剧烈，多项式不能较好的拟合该数据，故采用负幂项进行拟合。3.模型求解：运用数学工具Matlab软件，可以拟合该数据，通过多次试验最得到的结果如下：①人类的体重与脉搏的函数关系：模拟函数图形是:(程序见附件cx2_1)②小鸟、大鸟体重与脉搏的函数关系：;;模拟的函数图形分别是：(程序见附件cx2_2cx2_3)③哺乳动物的体重与脉搏的函数关系：模拟的图形是：(程序见附件cx2_4)1)残差分析：①在问题二的人类的体重与脉搏的函数关系中，通过Mtalab我们可以做出该问题的残差图（如下图所示），从残差图与残差及置信区间图上可以看出，除了第五、六个数据外，那些数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据。人类的体重与脉搏的函数残差图人类的体重与脉搏的残差及置信区间函数关系（程序见附件cx2_5）②在问题二的小鸟体重与脉搏的函数关系中，如上残差分析所示，也可以做出该问题的残差图与残差及置信区间图（如下图所示），从残差图与残差及置信区间图中可以看出，除了第二、三个数据外，这些数据的的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能大致的符合原始数据。小鸟体重与脉搏的函数残差图小鸟体重与脉搏的函数残差及置信区间图（程序见附件cx2_6）在问题二的大鸟体重与脉搏的函数关系中，将所求出的模型函数两边同时取对数，那么他们就是一个一元一次线性回归，然后画出其残差及置信区间图（如下图所示），从残差及置信区间图中可以看出，除了第二个数据外，这些数据的的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据。大鸟体重与脉搏的函数关系的残差及置信区间图（程序见附件cx2_7）③在问题二的哺乳动物的体重与脉搏的函数关系中，通过Mtalab我们可以做出该问题的残差图（如下图所示），从残差图上可以看出，这些数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据。当时，残差平方和为：1．08e－011哺乳动物的体重与脉搏的函数残差图（程序见附件cx2_81）当时：哺乳动物的体重与脉搏的函数残差及置信区间图（程序见附件cx2_82）2）基本检验由数理统计学可以知道，检验回归模型统计量有三个数值可以反映：1、相关系数越接近1，说明回归方程越显著；2、2、F值，F越大，说明回归方程越显著；3、3、与F对应的概率p，时（缺省为0.05），回归模型成立。问题二中人类的体重与脉搏的函数拟合得出下列数据：（程序见附件cx2_9）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b0（-3306.931，2406.4988）b1（-96.8349，129.3248）b2（-1.61817,1.33148）b3(-0.006078,0.006591)

通过上表可以知道，1、相关系数，则说明回归方程越显著；2、，回归方程越显著；3、通过程序我们可以知道： 则回归方程越显著。由以上推断论断知，该拟合函数还是比较符合数据点。问题二的小鸟的体重与脉搏的函数拟合得出下列数据：（程序见附件cx2_10）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b0（-1329.2174，2634.2322）b1（-329.3777，300.6927）b2（-11.2944,11.6016）b3(-0.0712,0.0701)

通过上表可以知道：1、我们可以知道相关系数，则说明回归方程越显著；2、但是；3、通过运行程序我们还可以知道： 所以回归方程不能精确表示。我们再用2次和4次多项式分别拟合该数据得到以下图形，通过观察可以发现其拟合函数不能真正反映出该数据的变化规律。综上所述该3次多项式拟合函数是符合数据点。问题二中大鸟的体重与脉搏的函数拟合得出下列数据：（程序见附件cx2_7）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b0（11.4559，29.9250）b1（-4.1289，-0.5732）

通过上表可以知道：1、相关系数，则说明回归方程越显著；2、，回归方程越显著；3、通过程序我们可以知道： 则回归方程越显著。由以上推断论断知，该拟合函数还是比较符合数据点。问题二的哺乳动物的体重与脉搏的函数拟合得出下列数据：当时：（程序见附件cx2_82）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b0（19.6404，29.2097）b1（-5.8561，3.5446）

通过上表可以知道：1、相关系数，则说明回归方程越显著；2、，回归方程越显著；3、通过程序我们可以知道： 则回归方程越显著。由以上推断论断知，该拟合函数还是比较符合数据点。当时：（程序见附件cx2_81）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间b0（0.5314，29.0356）b1（-0.0734，0.0043）

通过上表可以知道：1、相关系数不接近于1，则说明回归方程不精确；2、，回归方程亦不精确；3、通过程序我们可以知道： 回归方程同样也不精确。由以上推断论断知，该拟合函数不符合数据点。但是我们用2次和3次多项式分别拟合该数据得到以下图形，通过观察可以发现其拟合函数不能真正反映出该数据整体的变化规律。综上所述该1次多项式拟合函数是符合数据点。（三）、问题三1.建立模型：过观察该数据的散点图，可以做出不同的尝试拟合该数据，为了较好的拟合该数据和计算方便，采用多项式进行拟合为最佳。①为了分析问题首先建立以下函数，人类的基础血液流量与脉搏直接由数据得出的关系函数：。②由问题一、二我们分别得到了人类的基础血液流量与体重的函数关系和人类体重与脉搏的函数关系，他们是：和所以得出以下复合函数，即人类的基础血液流量与脉搏的函数关系：2.模型求解：运用数学工具Matlab软件，可以拟合该数据，通过多次试验最终我们将该数据用分段函数来拟合，且得到的结果如下：人类的基础血液流量与脉搏直接由数据得出的关系函数：模拟图形是：(程序见附件cx3_1)人类的基础血液流量与脉搏的函数关系：模拟图形为：(程序见附件cx3_2)3.模型分析：由上图可以看出，两者有较大的差异。我们猜想是在拟合脉搏与体重的函数关系和基础血液流量与体重的函数关系时没有考虑到年龄的结果。所以下面我们就假设人类的的基础血液流量是体重和年龄的二元函数，用表二中的数据来拟合该函数。用二元二次多项式来拟合。结果是：拟合图形如下：（程序见附录cx3_3）在x1处输入的值，在x2处输入的值 用鼠标移动交互式画面中的十字线，或在图下方的窗口内输入，可改变x1和x2的数值，图中当x1=28,x2=56.4286时，左边窗口显示，预测区间为。这些结果与相差不大。在图中左下角‘FullQuadratic’的选项中，选择‘interactions’、‘PureQuadratic’、‘Lrinear’选项所得到的残差平方和rmse=3.1372、rmse1=4.3671、rmse2=3.3521、rmse3=4.8659。所以得到最小rmse所对应的‘FullQuadratic'为最佳拟合函数。其中残差向量为[在本模型中，利用多项式和负幂项函数对给出的数据进行了拟合，得到体重与基础血流量的关系和体重与基础脉搏的关系，较好的反映出数据的变化规律，能根据体重估计出心脏的基础血流量，根据脉搏估计出体重，基本吻合实际情况。在根据体重估计人的脉搏时，因为年龄的不同，原一次函数不能反映实际情况，故我们用进行拟合。用多项式进行拟合的方法能根据有限的数据来得到其他点的大概情况和进行预测七．模型改进在个别区间内多项式函数不能反映其具体的变化规律，应进行改进，用指数函数、幂函数或者更加复杂的函数进行拟合，得到比较精确的拟合函数。再画出散点图后应根据规律多进行分段拟合，这样在某一区间得到的值更加精确。在处理问题3时，将和进行复合与进行对比，和中都含有异常的点没有进行剔除，在复合后将使得不一致性变大，可将异常点剔除后再进行一致性比较。八．参考文献[1]滕素珍、冯敬海，数理统计学，大连：大连理工大学出版社：172—255，2005。[2]章栋恩、马玉兰、徐美萍、李双，MTALAB高等数学试验，北京：电子工业出版社189—207，2008。[3]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社：294—302，2003。[4]赵静、但琦，数学建模与数学试验，北京：高等教育出版社、施普林格出版社:214—222，2001。[5]李海涛，邓樱，MTALAB程序设计教程，北京：高等教育出版社：159-160，2004。附录表一关于某些哺乳动物的数据哺乳动物名称兔山羊狗狗狗体重（千克）241612基础血液流量（分升/分）31221211表二关于人类的数据年龄5101625334760体重（千克）18316668707270基础血液流量（分升/分）23335251434046脉搏（次/分）96906065687280表三关于小鸟类的数据表四关于大鸟类的数据鸟类体重（克）脉搏（次/分）鸟类体重（克）脉搏（次/分）蜂鸟4615海鸥388401鹪鹩11450鸡1980312金丝雀16514秃鹰8310199麻雀28350火鸡875093鸽子130135驼鸟8000065表五关于哺乳动物的数据哺乳动物名称体重（千克）脉搏（次/分）哺乳动物名称体重（千克）脉搏（次/分）小蝙蝠588海豹20~25100小家鼠500山羊3381仓鼠347绵羊5070~80小猫300猪10060~80大家鼠352马380~45034~55天竺鼠269牛50046~53兔251象2000~300025~50cx1_1哺乳动物的体重与基础血液流量的函数关系：w=[4.16.41216];j=[5.3111222];A=polyfit(w,j,4)z=polyval(A,w);w1=4.1:0.01:16;j1=0.005279*w1.^4-0.158493*w1.^3+1.405861*w1.^2-2.170972*w1;plot(w,j,'*',w1,j1,'r-')holdonw=[1624];j=[2231];A=polyfit(w,j,3)z=polyval(A,w);w2=16:0.01:24;j2=-0.004014*w2.^3+0.150173*w2.^2;plot(w,j,'*',w2,j2,'b-')holdoffxlabel('w')ylabel('j')title('哺乳动物的体重与基础血液流量的函数关系')cx1_2人类的体重与基础血液流量的函数关系:w=[18316668707270];j=[23335251434046];A=polyfit(w,j,4)z=polyval(A,w);W=18:0.01:72;J=-0.000025*W.^4+0.003506*W.^3-0.172754*W.^2+4.339807*W-16.977573;plot(w,j,'*')holdonplot(W,J,'r-')xlabel('w')ylabel('j')title('人类的体重与基础血液流量的函数关系')cx1_3x=[18316668707270];y=[23335251434046];x1=x;x2=x.^2;x3=x.^3;x4=x.^4;n=length(y);X=[ones(n,1),x1',x2',x3',x4'];[bbintrrints]=regress(y',X);b,bint,srcoplot(r,rint);cx2_1人类的体重与脉搏的函数关系:w=[18316668707072];m=[96906065688072];w1=[18:0.01:72];m1=0.001520*w1.^3-0.181301*w1.^2+5.605265*w1+45.040432;A=polyfit(w,m,3)z=polyval(A,w);plot(w,m,'*',w1,m1,'r-')xlabel('w')ylabel('m')title('人类的体重与脉搏的函数关系')cx2_2小鸟体重与脉搏的函数关系:w=[4111628130];m=[615450514350135];A=polyfit(w,m,3)z=polyval(A,m);w1=4:0.01:130;m1=-0.0005685*w1.^3+0.1536156*w1.^2-14.3424906*w1+652.507388;plot(w,m,'*',w1,m1,'r-')xlabel('w')ylabel('m')title('小鸟体重与脉搏的函数关系')cx2_3大鸟体重与脉搏的函数关系：functiong3=curvefun(x,mdata)g3=(1e+009).*x(1)./(mdata).^3ndata=[6593199312401];wdata=[80000875083101980388];x0=[20];x=lsqcurvefit('curvefun',x0,ndata,wdata);f=curvefun(x,ndata)x;n=65:0.01:401;f=(1e+009).*20.4630735./n.^3;plot(n,f,'r-',ndata,wdata,'*')xlabel('m')ylabel('f')title('大鸟体重与脉搏的函数关系')cx2_4哺乳动物的体重与脉搏的关系函数：functionf=curvefun2(x,mdata)f=(1e+012).*x(1)./(mdata).^6mdata=[37.544.549.5707581100];wdata=[2500415500100503322.5];x0=[7];x=lsqcurvefit('curvefun2',x0,mdata,wdata);f=curvefun2(x,mdata)xm4=37.5:0.01:100;g4=(1e+012).*6.55704./m4.^6;m=[100251269300347352500588];w=[22.51.340.4370.1170.1030.2520.0170.006];A=polyfit(m,w,1)z=polyval(A,m);m1=[100:0.01:588];w1=-0.034538*m1+14.783495;plot(m4,g4,'r-',mdata,wdata,'*',m1,w1,'g-',m,z,'*')xlabel('m')ylabel('f')title('哺乳动物的体重与脉搏的关系函数')cx2_5人类的体重与脉搏的残差及置信区间函数关系x=[60656872809096];y=[66687072703118];x1=x;x2=x.^2;x3=x.^3;n=length(y);X=[ones(n,1),x1',x2',x3'];[bbintrrints]=regress(y',X);b,bint,s,rcoplot(r,rint)cx2_6小鸟体重与脉搏的函数残差及置信区间图w=[4111628130];m=[615450514350135];x1=x;x2=x.^2;x3=x.^3;n=length(y);X=[ones(n,1),x1',x2',x3'];[bbintrrints]=regress(y',X);b,bint,s,rcoplot(r,rint)cx2_7大鸟体重与脉搏的函数残差及置信区间图X=[6593199312401];Y=[80000875083101980388];x=log(X);y=log(Y);x2=[ones(5,1),x'];[bbintrrints]=regress(y',x2);b,bint,srcoplot(r,rint)finv(0.95,1,3)cx2_81‘哺乳动物的体重与脉搏的函数残差及置信区间图’[100,588]X=[37.544.549.5707581100];Y=[2500415500100503322.5];x=log(X);y=log(Y);x2=[ones(7,1),x'];[bbintrrints]=regress(y',x2);b,bint,srcoplot(r,rint)finv(0.95,1,5)cx2_82‘哺乳动物的体重与脉搏的函数残差及置信区间图’[37.5,100]x=[100251269300347352500588];y=[22.51.340.4370.1170.1030.2520.0170.006];X=[ones(8,1),x'];[bbintrrints]=regress(y',X);b,bint,srcoplot(r,rint)finv(0.95,1,6)cx2_9x=[60656872809096];y=[66687072703118];x1=x;x2=x.^