概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件

2.5

随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布2.5随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型一、随机变量函数的定义定义

问题一、随机变量函数的定义定义问题2

Y的可能值为即0,

1,

4.解例二、离散型随机变量函数的分布Y的可能值为即0,1,4.3故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求4离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布5例

已知

X

的分布律为其中

p+q=1,0<p<1,求

Y=SinX

的分布律。解：例已知X的分布律为其中p+q=1,06Ypi-101Ypi-107

第一步

先求Y=2X+8的分布函数解例3三、连续型随机变量函数的分布解例第一步先求Y=2X+8的分布函数解例8第二步

由分布函数求概率密度.第二步由分布函数求概率密度.9解例再由分布函数求概率密度.解例再由分布函数求概率密度.10概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件11当Y=2X+3时,有当Y=2X+3时,有12概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件13证明X的概率密度为例证明X的概率密度为例14概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件15例例16例例17例例18例

？例？19例

已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)解：

Y=X2

不是单调函数，从分布出发：当y<0时，FY(y)=0当y>0时，例已知X~N(0,1),Y=X2,求20X~N(0,1)结论：若X~N(0,1),则Y=X2称Y服从参数为1的卡方分布X~N(0,1)结论：若X~N(0,1),21推广定理推广定理22例设随机变量为另一个随机变量证明:的分布函数,且严格单调递增,则随机变量的分布函数是例设随机变量为另一个随机变量证明:的分布函数,且严格单调递23概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件24习题1.一袋中装有5只球,编号为1，2，3，4，5从袋中同时取3只球,以X表示取出的3只球的最大号码，则随机变量X的分布律为______________.X345P习题1.一袋中装有5只球,编号为1，2，3，4，5从袋中X25习题2.设随机变量X的密度函数为则常数A____.分布函数F(x)____________.∴分布函数习题2.设随机变量X的密度函数为则常数A____.分布函26选(B)习题3.设随机变量X的密度函数为是X的分布函数，对任意实数a有

选(B)习题3.设随机变量X的密度函数为是X的分布函数，对任27习题4.下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是：都不是某个随机变量的分布函数应选(B)习题4.下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是：都不28而（B）F(x)为不减函数2.F(x)为右连续F(x)连续事实上而（B）F(x)为不减函数2.F(x)为右连续F(x)连续29习题5习题530习题6.有5位工人独立工作,每个工人一小时平均用电12分钟,且各人工作时用电与否相互独立,求：（1）在同一时刻有3位工人需要用电的概率;（2）在同一时刻最可能有几个工人需要用电;（3）如果仅供3人所需的电力,求超负荷的概率.解：X=“一小时用电人数”习题6.有5位工人独立工作,每个工人一小时平均用电解：X=“习题7.某无线电元件次品率为0.01,为了有95%的把握保证一盒元件中至少有100个正品,问每盒应装这种元件多少个？答：每盒装103个元件解：设每盒装100+n个

X表示次品的数量,则X～B（100+n，0.01）由于100+n很大,P=0.01很小,可用泊松分布近似P{X≤n}≥0.95查泊松分布累积概率表得：n=3习题7.某无线电元件次品率为0.01,为了有95%的把握保证32习题8.设X为连续型随机变量，其密度函数为（1）确定a（2）若是对X的三次观测值（理论上有看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正好有一次大于1.5的概率.解：（1）习题8.设X为连续型随机变量，其密度函数为（1）确定a解：（（2）若是对X的三次观测值（理论上有看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正好有一次大于1.5的概率.（2）若是对X的三次观测值34求（1）常数a;（2）X的分布函数F(x);（3）X的值落在内的概率.习题9.设随机变量X的密度函数为解:(1)（2）当x<0时

当x≥0时求（1）常数a;（2）X的分布函数F(x);（3）X的习题935习题10.设X在上服从均匀分布,令,求Y的密度函数。解：X的密度函数为（1）y≥4X2≥0必然事件（2）0<4-y<13<y<4时习题10.设X在上服从均匀分布,令两边对y求导（3）当y≤33<y<4时两边对y求导（3）当y≤33<y<4时1．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（）A．

B．C．

D．2.设，则事件与至少发生一个的概率为______.C0.21．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没383.10个朋友随机地并排坐在长桌的一边，则甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲左边的概率是______.

4.设A,B是两个概率不为零的不相容事件,下列结论肯定正确的是:3.10个朋友随机地并排坐在长桌的一边，则甲、乙两人坐在一39设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.01。（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假406.若P(A|B)>P(A|)，试证：P(B|A)>P(B|)。6.若P(A|B)>P(A|)，试证：P(B|A)>P(B|417.已知随机变量X~N（2，),P{X≤4}=0.84,则P{X≤0}=()

A.

0.16 B.

0.32

C.

0.68 D.0.848.设随机变量的概率密度函数为，又，则；

B.

；

C.

；

D.

A.

7.已知随机变量X~N（2，),P{X≤4}=0.84,则P42

设顾客在某银行的窗口等待的时间X(分钟)服从参数为指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求：(1)Y的分布律；(2)P{Y≥1}。设顾客在某银行的窗口等待的时间X(分钟)服从参数为指数分布432.5

随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布2.5随机变量函数及其分布一、随机变量函数的定义二、离散型一、随机变量函数的定义定义

问题一、随机变量函数的定义定义问题45

Y的可能值为即0,

1,

4.解例二、离散型随机变量函数的分布Y的可能值为即0,1,4.46故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.故Y的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求47离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布48例

已知

X

的分布律为其中

p+q=1,0<p<1,求

Y=SinX

的分布律。解：例已知X的分布律为其中p+q=1,049Ypi-101Ypi-1050

第一步

先求Y=2X+8的分布函数解例3三、连续型随机变量函数的分布解例第一步先求Y=2X+8的分布函数解例51第二步

由分布函数求概率密度.第二步由分布函数求概率密度.52解例再由分布函数求概率密度.解例再由分布函数求概率密度.53概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件54当Y=2X+3时,有当Y=2X+3时,有55概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件56证明X的概率密度为例证明X的概率密度为例57概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件58例例59例例60例例61例

？例？62例

已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)解：

Y=X2

不是单调函数，从分布出发：当y<0时，FY(y)=0当y>0时，例已知X~N(0,1),Y=X2,求63X~N(0,1)结论：若X~N(0,1),则Y=X2称Y服从参数为1的卡方分布X~N(0,1)结论：若X~N(0,1),64推广定理推广定理65例设随机变量为另一个随机变量证明:的分布函数,且严格单调递增,则随机变量的分布函数是例设随机变量为另一个随机变量证明:的分布函数,且严格单调递66概率论与数理统计35-随机变量函数的分布课件67习题1.一袋中装有5只球,编号为1，2，3，4，5从袋中同时取3只球,以X表示取出的3只球的最大号码，则随机变量X的分布律为______________.X345P习题1.一袋中装有5只球,编号为1，2，3，4，5从袋中X68习题2.设随机变量X的密度函数为则常数A____.分布函数F(x)____________.∴分布函数习题2.设随机变量X的密度函数为则常数A____.分布函69选(B)习题3.设随机变量X的密度函数为是X的分布函数，对任意实数a有

选(B)习题3.设随机变量X的密度函数为是X的分布函数，对任70习题4.下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是：都不是某个随机变量的分布函数应选(B)习题4.下述函数中,可以作为某个随机变量的分布函数的是：都不71而（B）F(x)为不减函数2.F(x)为右连续F(x)连续事实上而（B）F(x)为不减函数2.F(x)为右连续F(x)连续72习题5习题573习题6.有5位工人独立工作,每个工人一小时平均用电12分钟,且各人工作时用电与否相互独立,求：（1）在同一时刻有3位工人需要用电的概率;（2）在同一时刻最可能有几个工人需要用电;（3）如果仅供3人所需的电力,求超负荷的概率.解：X=“一小时用电人数”习题6.有5位工人独立工作,每个工人一小时平均用电解：X=“习题7.某无线电元件次品率为0.01,为了有95%的把握保证一盒元件中至少有100个正品,问每盒应装这种元件多少个？答：每盒装103个元件解：设每盒装100+n个

X表示次品的数量,则X～B（100+n，0.01）由于100+n很大,P=0.01很小,可用泊松分布近似P{X≤n}≥0.95查泊松分布累积概率表得：n=3习题7.某无线电元件次品率为0.01,为了有95%的把握保证75习题8.设X为连续型随机变量，其密度函数为（1）确定a（2）若是对X的三次观测值（理论上有看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正好有一次大于1.5的概率.解：（1）习题8.设X为连续型随机变量，其密度函数为（1）确定a解：（（2）若是对X的三次观测值（理论上有看成与X同分布的随机变量）.求这三次观测中正好有一次大于1.5的概率.（2）若是对X的三次观测值77求（1）常数a;（2）X的分布函数F(x);（3）X的值落在内的概率.习题9.设随机变量X的密度函数为解:(1)（2）当x<0时

当x≥0时求（1）常数a;（2）X的分布函数F(x);（3）X的习题978习题10.设X在上服从均匀分布,令,求Y的密度函数。解：X的密度函数为（1）y≥4X2≥0必然事件（2）0<4-y<13<y<4时习题10.设X在上服从均匀分布,令两边对y求导（3）当y≤33<y<4时两边对y求导（3）当y≤33<y<4时1．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（）A．

B．C．

D．2.设，则事件与至少发生一个的概率为______.C0.21．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没813.10个朋友随