初中数学-巧添辅助线-解证几何题

巧添辅助线解证几何题［引出问题］在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。［例题解析］一、倍角问题例1:如图1,在△ABC中，AB=AC,BDLAC于D。1,__求证：/DBCj/BAC.2分析：/DBC/BAC所在的两个三角形有公共角/C,可利用三角形内角和来沟通/DBC/BAC和/C的关系。证法一：・•・在△ABC中，AB=AC••/ABCWC=1(180-/BAC=90-1/BAC22BD±AC于D.BDC=90/DBC=90-/C=90-(90-1/BAC)=1/BAC22即/DBC=1/BAC2DBC=?/BAC中含有角?/A放在直角三角形中求分析二：/DBC/DBC=?/BAC中含有角?/A放在直角三角形中求解；也可以把/DBC沿BD翻折构造2/DBCt解。证法二：如图2,作A已BC于E,贝U/EAC叱C=90••AB=AC/EAG=1/BAC2••BDLAC于D••/DBC吆C=90••/EAC1DBC(同角的余角相等)1即/DBC，/BAC2证法三：如图3,在AD上取一点E,使DE=CD连接BEBD±AC•.BD是线段CE的垂直平分线.•.BC=BE.BEChC/EBC=2/DBC=180-2/C.AB=AC./ABC=ZC./BAC=180-2ZC••/EBC玄BAC/DBC=1/BAC2说明：例1也可以取BC中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。例2、如图4,在^ABC中，/A=2/B求证：bC=aC+ac?ab

分析：由BC2=AC2+AC?AB=AC（AC+AB,启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BGAGAC+AB.又由已知/A=2/B知,构建以AB为腰的等腰三角形。证明：延长CA到D,使AD=AB则/D=ZDBA••/BAC是△ABD的一个外角/BAC=ZDBA吆D=2/D••/BAC=2/ABC/D=ZABCAC・•.△AB8△BDC--BCBC2=AC?CDAD=ABBCCDBC2=AC中点问题(AC+AB=AC+AC?AB例3.已知：如图，△长线上取一点证：BD=CEABC中，AB=AC在AB上取一点D,在E,连接DE交BC于点F,AC・•.△AB8△BDC--BCBC2=AC?CDAD=ABBCCDBC2=AC中点问题(AC+AB=AC+AC?AB例3.已知：如图，△长线上取一点证：BD=CEABC中，AB=AC在AB上取一点D,在E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中AC的延点。求分析：由于BDCE的形成与DE两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知AB=AC联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新的图形关系一一构成等腰三角形，也就是相当于先把BD或CE移动一下位置，从而使问题得解。证明：证法一：过点D作DG/AC,交BC于点G（如上图）/DGB=ACB,/DGF=FCE•.AB=AC/B=ZDGB.F是DE的中点

在△DFG和^DEFC中,・.△DFG2EFC.B=/ACBBD=DGDF=EF.•.DG=CEBD=CE证法二：如图，在AC上取一点H,使CH=CE连接DH・•.F是DE的中点••.CF>AEDH的中位线DH//BC•••/ADHWB,/AHD=BCA•••AB=AC・./ADHWAHD/B=/BCAAD=AHAB-AD=AC-AHBD=HCBD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”AB延长线于点G仿照证法二求解。例4.如图，已知AB//CDAE平分/。也可以过E作EM//BC,交BAD且E是BC的中点求证：AD=AB+CD证法一：延长AE交DC延长线于FAC•••AB//CD.1•/BAE之F,/•••AB//CD.1•/BAE之F,/B=ZECFE是BC的中点BE=CE在AABE^ACEF^•.△ABE^ACEFAB=CF••AE平分/ABD・./BAE=ZDAE••/DAE玄FAD=DF••DF=DC+CFCF=ABAD=AB+DC证法二：取AD中点F,连接EF.「AB//CD,E是BC的中点EF是梯形ABCM中位线.EF//AB,EF=1(AB+CD2/BAE=ZAEF••AE平分/BAD・./BAE=ZFAE/AEF=ZFAEAF=EF••AF=DF1EF=AF=FD=AD2••1(AB+CD)=IaD22AD=AB+CD三.角平分线问题例5.如图（1）,OP是/MON勺平分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。如图（2）,在△ABC中，/ACB是直角，/B=60°,AD、CE分别是/BAC/BCA的平分线，ADCE相交于点F,请你判断并写出EF与FD之间的数量关系。如图（3）,在△ABC中，如果/AC环是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。分析:T斑型。这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定方法是dKjDef-fd/\\理应、如图（3）,DAC上截取AG=AE连FG(2%；答：理应、如图（3）,DAC上截取AG=AE连FG△AI<EF=GF,/EFA=/由/B=60(,1A0CE分别电/BACBCA的平分线可得/FAG匕FCA=60(3

/EFA=ZGFA=/DFC=60/GFC=60在ACEG^△CFD中..△CFeACFDFG=FD又因为EF=GFEF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。PD±AB于D,PE±ACTE,CM1AB于M,试探究线段PR解法二：（2）PD±AB于D,PE±ACTE,CM1AB于M,试探究线段PR理由：作FG±AB于G,FH，AC于H,FMLBC于M••/EADhDACFG=FH•/ACE4BCEFH=FG••/B=60°/DAC吆ACE=60•/EFD"FC=180-60°=120°在四边形BEFD中/BEF吆BDF=180••/BDF+7FDC=180「./FDC=/BEF在△EFG^ADFM中EF®△DFM.•.EF=DF四、线段的和差问题例6如图，在^ABC中，AB=AC点P是边BC上一点,PE、CM勺数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM上截取MQ=PD得口PQMDff证明CQ=PE答：PD+PE=CM证法一：在CM±截取MQ=PD连接PQ.••CMLAB于M,PDXABTD••/CMBWPDB=90CM/DP••・四边形PQM时平行四边形PQ/AB••/CQPhCMB=90/QPChB•••AB=AC/B=ZECP/QPChECP.PEIAC于E/PEC=90DNCM,在△PQC^△PEC中DNCM,・.△PQC^APECQC=PE•••MQ=PD.-.MQ+QC=PD+PEPD+PE=CM分析2:延长DF到N使DN=CMS接CN,得平行四边形再证明PN=PE证法2:延长DF到N,使DN=CM连接CN

同证法一得平行四边形DNCM及△PN登△PECPN=PEPD+PE=CM分析3:本题中含有AB=ACM三条垂线段PDDE、CM且q+q_q,所以可以用面积法求解。SpAB°_PAC_SLABC证法三：连接AP,PD±AB于D,PE±AC于E,CM±AB于M/PQCWPEC/QPChECPPC=PCSABPSACPSSABPSACPSABCAB•PD2-AC*PE1八AB*CM•••AB=AC且.PABS_PAC=SABC11_AB•PDAB,PEAB*CM22AAB:0PDPE=CM说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。五、垂线段问题例7在平行四边形ABC邛，P是对角线BD•••AB=AC且.PABS_PAC=SABC11_AB•PDAB,PEAB*CM22AAB:0PDPE=CM说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。五、垂线段问题例7在平行四边形ABC邛，P是对角线BD上一点，且PE_1ABpF_LBC垂足分别是曰F求证：ABPFBCPE分析：将比例式ABBCPEEBPF转化为等积式即^PAB与△PBC的面积相等，从而用面积法达到证明的目A。证明：连接AC与BD交于点O,连接PA、在平行四边形ABCD43,AO=COPC同理，SaOP二SAOBSCOPSAOPSBOCSPABS_PBCPE_AB,PF_BC,例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点。分析：这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题,出图形，再根据题意、结合图形写出已知、求证。需要根据CFT已知：△ABC中，AF、BQCE是其中线。

需要根据CFT求证：AF、BDCG相交于一点。分析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。证明：设BDCE相交于点G连接AG并延长交BC于点F.作BIVLAF于M,CNLAF于N-11〃则Ss=2ag・bm'S」agc=2AG必-AG*BMAG*CN22BM=CN在△BM林口△CNF中・.△BMF^ACNFBF=CF「.AF是BC边上的中线又「AF时BC边上的中线•.AF与AF重合即AF经过点D・•.AF、BDCE三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点o六、梯形问题例9.以线段a=16,b=13为梯形的两底，以c=10为一腰，则另一腰长d的取值范围是—分析：如图，梯形ABCD43,上底b=13,下底a=16,腰AD=c=10,过B作BE//AD,得到平行四边形ABEDTOC\o"1-5"\h\z从而得AD=BE=10,AB=DE=13AB所以EC=DC-DE=16-13=3.——-所以另一腰d的取值范围是//\10-3<d<10+3//\答案：7vdv13...例10.如图，已知梯形ABCD43,AB//DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形AbCd勺面积0-、分析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位及错，条件一时用不用。另外，求梯停面积只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。解：解法一：如图，过A作AF//BD,交CD延长线于FAAB//FC二四形ABDF是平行四形FD=AB,AF=BD=15FC=ABDC*I。tAE-FCAEF=AEC=90在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15解法二：如图，过B作BF±DC于F/BFC=90AE±DC于EF在直角三角形ABC中

F在直角三角形BDF中，BF=12,BD=15DF=VBD2-BF2=9ABDC=DFCE=916=25SB形ABCDSB形ABCD1-=：(ABDC)•AE1-2512=1502例11.如图，在梯形ABCD43,AD//BC,/B+/C=90°,M、N分别是ARBC的中点,试说明：1MN=-（BC-AD）例11.如图，在梯形ABCD43,AD//BC,/B+/C=90°,M、N分别是ARBC的中点,试说明：1MN=-（BC-AD）分析1:/B+/C=90°,考虑延长两腰，使它们相交于一点，构成直角三角形。解法1:延长BACD交于点G,连接GMGNB.A、G共线，GMN共线分析2:考虑MN分别为ADBC中点，可以过M分别作ARDC的平行线，梯形ABCg部构成直角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。解法2:作MEE/AB交BC于E,作MF//DC交BC于F•.AD//BC二.四边形ABEMDCFMfB是平行四边形.•.BE=AM,FC=DM・・./EMF=90,X/EN=FN［模式归纳］通过上面各例的分析、解证，发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通，解答过程简捷。但辅助线的添加灵活多变，好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线？怎么添辅助线？与已知条件的特征和所求问题的形成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。、倍角问题—、，、1研究/“=2/3或=1/”问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形：21/“与/3在两个三角形中，常作/a的平分线，得/1=，/a,然后证明/1=73；或把/3翻折,2得/2=2/3,然后证明/2=za（如图一）/a与/3在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）二中点问丹//i/已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线（1）/延长卜线至倍（或者倍长小线）如图一。若图形中没有明显的三夕心的中线［也可以构造中线/后,』倍长中线，如图二。:不位线，如境^e3rl构造J角三角”m壬所线，如甲四。a图一2图二图三图四三、角5问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种:

已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种:.以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。.由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。图一图二图三四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b,称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：.短延长：若AB=a,则延长AB到M,使BM=b然后证明AM=c.长截短：若AB=c,则在线段AB上截取AM=a，然后证明MB=b五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有：.同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；.同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。六、梯形问题梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此，可以通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：转化梯形问题►三角形或者平行四边形问题在转化、分割、拼接时常用的娜麻接平移一腰。即从梯形一,顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一）。研究有关腰的问题时常用平移一腰。过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二）。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三）。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内，使梯形的问题转化为三角形的问题。此三角形的面积等于梯形的面积。延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题（图四）；过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平