三角函数在电工学中的应用

2.6三角函数在电工学中的应用旧课复习：正弦定理、余弦定理：abc.sinAsinBsinca2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC.新课引入：1.分析正弦交流电流的变化规律举例我们知道，正弦交流电的电流强度i随时间t变化的规律为Imsin（to）.其中Im-—电流强度的最大值，称为幅值（或峰值）;称为角频率（或圆频率）,它表示电流变化的快慢淇单位是“弧度/秒”；0——称为初相位（或初位相或初相）;t0称为t时亥IJ的相位（或位相）,它是发电机转子的绕组面在t时刻所在位置与定子磁场方向所成的角（图2-12）.这里,i关于t是

正弦型函数，因此我们可以利用正弦型函数的图象强度i随时间t变化在一个周期里的图象，其中横坐标表示t.根据图2-13,回答下列问题：(1)ii与i2的幅值各为多少？ii与i2的周期相等吗？是多少？ii与i2哪个先达到最大值？解：(1)从图2-13中可以看出,ii的幅值为30A,i2的幅值为20A.(2)图2-13中，横轴代表t,从图中看出,t每增加(减少),i1与i2函数值都不变.因此i1与i2的周期相同，都等于二.（3）从图2-13中看出，当t—时，ii达到最大值；当6，一一，一一，，一，一，一t二时，i2达到最大值.因此ii先达到最大值.从图2-13中还可以看出，ii的初相位是一，i2的初相位是3.6根据上述分析，可以写出ii与i2的解析表达式如下：30sint3,20sint一6，（可以确定的值，这里从略）正弦交流电完成一次周期性变化所需的时间称为周期（单位：秒，记作S）,用T表示，根据正弦型函数的周期2性,T—:单位时间内交流电完成周期性变化的次数称f1为频率（单位:赫兹，记作Hz）,用f表7K.显然f丁，从而2f.两个同频率的交流电的相位角或初相位角之差，称为相位差.以上电流ii与i2是两个同频正弦电流，它们的相位差是我们称ii比i2的相位超前一,或者说i2比ii的相位滞后一.如上212所说，ii比i2先达到最大值.例2已知正弦交流电流i(安)与时间t(秒)的函数关系为i30sin100t-(t0).试指出它的角频率、频率、周期、幅值及初相位各是多少？设t0秒、t0.0025秒时电流的瞬时值分别为i。、ii,试比较i0与ii哪个较大？试画出它在一个周期内的简图，弁指出电流在这个周期内的变化情况.解：(i)角频率I00(rad/s),频率f丁*50(Hz),22I-周期T-0.02(s),幅值Im30(A),初相位0(rad).4(2)当t0时，i15V2(“-”号表示流向)，所以i°I5&(安);当10.0025时，i0,所以ii0(安).因此，i°比ii大.100t一二X4023T2X一t=10040.00250.00750.01250.01750.0225i30sin（100t一）40300300描点画图(图2-14)|i(安培)从图2-14看出，在前半个周期内，当时间从0,0025秒连续变化到0.0075秒时，电流从0安逐渐增大到幅值30安;当时间从0,0075秒连续变化到0.0125秒时,电流从30安逐渐减小到幅值0安.在后半个周期内，电流的变化规律与前半个周期内的情形相似，但流向相反.例3图2-15是一个正弦交流电流的图象，根据图象求出它的周期、频率、幅值和初相位，弁写出电流i关于时间t的函数关系式.解：根据图象可知，电流的周期T0.250.050.2(s).〜一，一一11所以频率f',5(Hz).T0.2角频率2f10(rad/s)由图又知，幅值Im10(A),起点坐标为(-0.05,0),由正弦型函数起点坐标的求法，有图2-15于是,于是,初相。-(rad)—0.0510因此，该正弦交流电的函数关系式为i10sin(10t-).正弦交流电的电压v随时间t变化的规律为vVmsin(t其中Vm是电压的最大值，称为幅值(或峰值),同样，称为角频率(或圆频率)，0称为初相位(或初相)，t0称为t时刻的相位.21、.类似地，正弦电压的周期T一（单位:s）,频率f〒（单位:Hz）,2f（单位:rad/s）在电工学中,正弦交流电的电流和电压都简称为正弦量.显然，正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定.课堂练习：习题2.6的1、2、3题（请学生回答）2,求两个同频率的正弦交流电合成举例在电工学里，对交流电路的分析过程中，经常遇到对同频率的正弦量求和的运算，称之为同频率正弦量的合成.例如：设有两个同频率的正弦电流（单位:A）IimSin（t1）,12mSin（t2）,把它们合成，即iiii2Iimsin（t1）12msin（t2）i又称为电流i1与i2的总电流.例4求两个同频率的正弦电流i1M3sin100t—与3i2sin100t一相加的总电流.6

解：设ii与i2的合成电流为i,则TOC\o"1-5"\h\ziiii23sin100t—sin100t—36\3sin100tcos—cos100tsin—sin100tcos—cos100tsin-3366,3cos—cos—sin100t

,3cos—cos—sin100t

36,3sin—sin—cos100t363sin100t2cos100t.73一7sin100t2.73一7sin100t2cos100t-7sin(100t0),2其中0a「ctanj3.因此合成电流i也是正弦电流，且与卜i2同频率.由上可见，用和角的正弦公式能求出两个同频率的正弦量的合成结果，但计算非常繁琐.下面将给出一种较简单的解法.根据2.3节讨论的结果可知，正弦量除了用正弦型函数或正弦波形表示之外，还可以用旋转向量来表示.画旋转向量来表示正弦量，是繁琐的.在电工学中，通常只用初始位置(t0)的向量来表示一个正弦量，它的长度等于正弦量的幅值,它与横轴正方向间的夹角等于正弦量的初相位.但是我们应该具有这样的概念：这个向量是以正弦量的角频率作逆时针方向旋转的，它在纵轴上的投影（纵坐标）表示正弦量的瞬时值.TOC\o"1-5"\h\z在实际问题中我们所涉及的往往是正弦量的有效值.因此为了方便起见，常使向量的长度等于正弦量的有效值.显然，这时它在纵轴上的投影就不能代表正弦量的瞬时值了.由电工学可知，正弦电流和电压的有效值与幅值的换算关系为：I」m_VVm-刀2，V.2.为了与物理向量（例如电场力、电场强度等）区别，表示随时间而变化的正弦量的向量我们称为相量，弁在所注文字上方打一"•.例如电流和电压的幅值相量分别记作Im和Vm,它们的有效值相量分别记作I和V.由于正弦量由幅值、角频率和初相位唯一确定，因此对应正弦电流iImsinto<►相量Im（或I）.对应正弦电压vVmsint0►相量Vm（或V）.按照各个同频率的正弦量的幅值（或有效值）和初相位画出若干个相量的图形称为相量图.由2.3节讨论亦可知，两个同频率的正弦量相加（相同物理量相加），其结果是一个同频率的正弦量，它们的相量之和，就是它们的和的相量.因止匕,我们可以利用两个同频率的正弦量（相同物理量）的相量图,采用平行四边形法则求它们的和相量,再通过解三角形便可求得这两个同频率的正弦量之和的幅值和初相位，从而得出两个同频率的正弦量的合成结果.例5已知两同频率的正弦电流ii8sin（t60）安和i26sin（t30）安，求iiii2.解：先作ii和i2的幅值相量Ilm和I2m,以该两相量为邻边作一平行四边形,平行四边形的对角线即为两正弦电流之和i的幅值相量Im30°12m（图2-16）.因为ii和i2的相位差恰为90，所以i的幅值6而i的初相位60arctan-6037,8所以i10sin(t23)安.例6在图2-17的电路中，设iiIimSin(t1)=100sin(t45)安,i212msin(t2)=60sin(t30)安，试求总电流i.解：根据表示正弦量的几种方法对本题分别进行计算如下：(1)用三角函数式求解ii1i211msin(t1)+I2msin(t2)i1m(sintcos1costsin1)+12m(sintcos2costsin2)=(11mcos112mcos2)sint+(11msin112msin2)cost设iImsin(t)=ImcossintImsincostImcos11mcos1I2mcos2

ImsinLmSin112msin因此总电流i的幅值为TOC\o"1-5"\h\z2■■2ImI1mCOs1JCOs2\$□1I2msin2,电流i的初相位为I1msin112msin2arctan.11mcos112mcos2将本题中的I1m100安、12m60安、145、230代入，则得Im770.752270.7302J122.7240.72129安,arctan7^70.7arctan7^70.752故得,40.7arctan1820.122.7129sin(t1820)安.(2)用正弦波形求解先作出表示电流i1和i2的正弦波形，而后将两波形的纵坐标相加，即得总电流i的正弦波形，从此波形上便可量出i的幅值和初相位(图2-18).(3)用相量图求解令、丁先作出表示电流ii和i2的幅值相量1、、/「和I2m,而后以Ilm和12m为邻边作一平行四边形,其对角线即为总电流i的幅值相量Im,它的长度即为幅值，它与横轴正的夹角即为初相位(图2-19或图2-18缩小版).从向量图上可以量出i的幅值和初相.4用相量图通过解三角形求解先作出表示电流ii和i2的幅值相量Ilm和I2m，而后以Ilm和I2m为邻边作一平行四边形，其对角线即为总电流i的幅值相量Im,它的长度即为幅值，它与横轴正方

(-30)=(-30)=75所以，由因为i1与i2的相位差1245余弦定理得im12.2Iim12.2I1mI2m2I1m12mcos(18075)1002602210060cos10516706,因此，i的幅值ImJ16706129安;又根据正弦定理，有sin(30)=sin(30)=IimSin105Im100sin1050.7488,129,所以i的初相位arcsin0.7488301829.于是129sin(t1829)安.于是最后指出，如果用相量表示正弦交流电，则正弦交流电路中的希尔荷夫定律具有相量形式.本堂课作业：习题2.6的4、5题本堂课归纳小结：正弦交流电的电流强度i及电压v对时间t的函数关系分别为：iImsin(t0)(Im0,0);0)(V0,0),0)(V0,0),它们都是正弦型函数.掌握了正弦型函数图象和性质，也就掌握了正弦交流电随时间变化的在电工学中,正弦交流电的电流和电压都简称为正