2016年衡阳八中初升高自主招生考试数学试卷及解析

2016年衡阳市八中初升高自主招生考试数学试卷及解析县（市）一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）县（市）.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7,则这四个实数的积是.若实数a满足43a(a2)a-a3.如图，三角形ABC的面积为2,E分别在边AB、AC上,ADABAEx,-ACy,且yx1，一，1,则三角形2BDE面积的最大值是4.右x的方程||x2|b|a有四个实数解，则化简＞回的结果是|ab||ab|a|b|J4y3zJ4y3zJ2y3x,贝U5.若非零的实数a,x,y,z满足等式Ja(3x2y)Ja(4y3z)22——y一的值是xyyzzx.如图，在直角三角形ABC中，AC4,BC3,D是斜边AB上一动点，DEBC,DFAC,垂足分别是E,F,当EF的长最小时，cosFED.多项式x6x4x31被x2x除的余式是bxc0;③.已和a,b,c是互不等的实数，三个方程①x2axb0;②bxc0;③x2cxa0中，①②有公共根p,②③有公共根q,③①有公共根r,则abc.我们有一个结论：对于任何一个正整数n,若n是偶数，将其减半；若n是奇数，将其乘以3加1,不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数n6,按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1（n是第1个数，1可多次出现），则n的所有可能值的个数是.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是23456•••357911…47101316…59131721…611162126…

二、解答题（本大题5小题，共70分）.（本题满分12分）已知点A（回）,B（声0）,函数ylx5的图象是直线l,点P（a,b）33在l上，满足APB是钝角，试求a的取值范围..（本题满分12分）已知关于x的函数ykx22（k1）xk3的图象与x轴有交点.（1）求k的取值范围；（2）若函数图象与x轴有两个不同的交点（x1,0）,（x2,0）,且kx122（k1）x2k34x1x2.试求k的值，并根据图象指出当kKx<k3时，函数的最大值和最小值.DB的延长线交过点A的.（本题满分12分）如图，点DDB的延长线交过点A的3^/5,DB切线于点E.若ABAC,AC//BD,3^/5,DBFC的长.14.（本题满分1614.（本题满分16分）如图，点C在以AB为直径的。O上，过点B、C作圆的切线交于点P,点Q是BC的中点，求证：ABAQACAP.15.（本题满分18分）编号为1,2,…,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25,乙手中卡片编号的平均数也增加0.25,求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7,则这四个实数的积是解：这四个实数的和为2457〜6,所以这四个数分别是62,634,65,67,即4,2,1,1,其积是-8.2.若实数a满足a3M2)2,则a1的值是解：去分母得a43.72a2a,移项得a2a3a22a40.设.a22a则方程变为t23t40,t（舍去）.2a一21得a2a1所以a3.如图,三角形ABC的面积为2,点D、1—2.aE分别在边AB、AC上,ADABAEx,-ACy，且y1，一，1,则三角形2BDE面积的最大值是解:BDSSABEAB(1x)SABE(1\AE己x)SABC

AC2(1x)y122(1x)(x)2x

2x12(x4)2・•・三角形BDE面积的最大值是984.若关于x的方程||x2|b|a有四个实数解,则化简|ab||ab||a|

a-b-的结果是|b|解：显然a>0.若a0,则方程可变为方程可化为a时,a时,a时,|x21b方程可化为|x2||x2|a0.从而—|xa.|x2|b,方程最多两解，不合题意，所以0.2a,|x2|2|ba,有两解，不合题意.0,有三解，不合题意.ba,|x21bab|ab||ab|ba方程有四解,|a|baba|b|ab符合题意aba

baa2.5.若非零的实数a,x,y,z满足等式Ja（3x2y）.a(4y3z),4y3zJ2y3x,则22——y一的值是xyyzzx解：若3x2y0,则qa(4y3z)J4^3z,于是4y3z0若4y3z0,则q'a(3x2y)J2y3x,于是3x2y0；2y3x0/曰4y3z0ZB工若3x2y0且4y3z得a0;由得a0,若3x2y0且4y3za(3x2y)>0a(4y3z)>0盾.故3x2y0且4y3z0.于是6x4y3z,可令x2t,y3t,z4t,所以2222xy4t9t1Z-2._22-21.xyyzzx6t12t8t2.如图，在直角三角形ABC中，AC4,BC3,D是斜边AB上一动点，DEBC,DFAC,垂足分别是E,F,当EF的长最小时，cosFED解：连结CD,则CDEF,所以EF的长最小时即为CD的长最小，此时CDAB,于是FEDFCDB,所以BC3cosFEDcosB——一.AB5.多项式x6x4x31被x2x除的余式是解：x6x4x31x4(x1)(x1)x(x1)(x1)x1,所以余式是x+1..已和a,b,c是互不等的实数，三个方程①x2axb0;②x2bxc0;③2xcxa0中，①②有公共根

p,②③有公共根q,③①有公共根解：由p2ap.-2b0,pbpc0得，(ab)pbc0,，p同理qpqracbab-c，ccra1.又p,q,r互不相等，如p代入①②③有ba1,cq,则p,q①③的公共根，于是pqr,从而pb1,ac1,三式相加得03,矛盾.由上述结论可知，①的两根为p,r;②的两根为p,q;③的两根为q,r.由根与系数关系，有apr,b

222pq,crq,故abcpqr1..我们有一个结论：对于任何一个正整数n,若n是偶数，将其减半；若n是奇数，将其乘以3加1,不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数n6,按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1（n是第1个数，1可多次出现），则n的所有可能值的个数是解：反推

，n的所有可能值的个数是6..如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是23456…357911…47101316…59131721…611162126…解：观察知，表中第m行第n列的数是mn1.由mn12014得mn201331161,m是2013的正约数，所以（m,n）有8对，从而2014在表中出现的次数是8.二、解答题（本大题5小题，共70分）TOC\o"1-5"\h\z.（本题满分12分）已知点A（褥,0）,B（75,0）,函数ylx5的图象是直线l,点P（a,b）33在l上，满足APB是钝角，试求a的取值范围.设点C(x0,y°),则解：以AB为直径作圆，交l于点C,D,则点设点C(x0,y°),则15小y0X0二(1)22~22~X0V05(2)把(1)代入(2),整理得，2xx20,x2,x1,8分•••C(2,1),D(1,2).故a的取值范围是2a1.12分12.（本题满分12分）已知关于x的函数ykx22（k1）xk3的图象与x轴有交点.（1）求k的取值范围；（2）若函数图象与x轴有两个不同的交点（Xi,0）,（X2,0）,且kx；2（k1）x2k34*忆.试求k的值，并根据图象指出当kKx<k3时，函数的最大值和最小值.TOC\o"1-5"\h\z解：（1）当k0时，函数为y2x3,图象与x轴有交点2分当k0时，图象与x轴有交点的条件是4(k1)24k(k3)>0解得k<1.分⑵Xix22(k1),X1X2⑵Xix22(k1),X1X22.k由kx；2(k1)Xik30得，kx2k32(k1)x1，

_2…kxi2(k1)x2k34x1X2可化为2(k1)(x1x2)4x1x22(k1)-2(k1)k解得，k1或k2.10分但k1时，函数图象与x轴仅有一个交点，舍去21233k2时，函数为y2x22x12（x-）2—,回图可知当1<x<1时，最大值为—，21233k2时，函数为y2x22x12（x-）2—,回图可知当1<x<1时，最大值为—，222最小值为3.12分13.（本题满分12分）如图，点D是三角形ABC外接圆上一点,DB的延长线交过点A的切线于点E.若ABAC,AC//BD,AE3不，DB4,求FC的长.解：AE是圆的切线，，AE2EBED.设EBx,则x(x4)45,解得x5.3分•,AE是圆的切线，，EABACB..ABAC,ACBABC,•••EABABC,AE//BC,5分又BD//AC,，四边形AEBC是平行四边形，7分BCAE3..5,ACBE5.又由AC//BD得，变型，即3J5FC4解得FC典.12分FCACFC5314.（本题满分16分）如图，点C在以AB为直径的。O上，过点B、C作圆的切线交于点P,点Q是BC的中点，求证：ABAQACAP.证明：连接OP,则点Q在OP上.2分OBPB,OPBC,PB2PQPO.4分设PA交OO于M,则PB2PMPA.6分•••PQPOPMPA,•••POMsPAQ,OMAQOPAPOBAQ一OPAP10分•••BOPBAC,•••RtOBPsRtACB,OBACOPABAQACAPAB12分TOC\o"1-5"\h\z•••ABAQACAP16分15.(本题满分18分)编号为1,2,…,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25,乙手中卡片编号的平均数也增加0.25,求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.解：123…25325.2分设乙原来手中有卡片x张，平均数为y,则原来甲手中有25x张卡片，平均数为325xy.4分xy15—xy15———y0.25由题意得，x1310xy325xy24x25x(1)6分0.25(2)591由(1)得，y——x(3)8分44由(2)得，(310xy)(25x)(325xy)(24x)1(25x)(24x),4c-ccc-2cccccc21，