数集和确界原理

§2数集和确界原理教学目的与要求：使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理。教学重点，难点：集合有界，有上下确界的定义，确界原理的证明及应用。教学内容：本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R中的两类重要数集一区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。一区间与邻域1、区间的定义设a、beR且aVb.开区间(a,b)、闭区间［a,b］、半开半闭区间1^,b)和(a,b］、有限区间的定义。几何意义。区间a,+8)、。8,a］、(a,+8)、。8,a)、(一8,+8)=R、无限区间的定义。有限区间和无限区间统称为区间。满足绝对值不等式k-。|<8的全体实数x的集合称为2、邻域的定义设aeR,8>0。点a的5邻域U(a;6)或U(a)的定义点a的空心5邻域U。(a;5)或U。(a)的定义U。(a;5)与。(a;5)的差别点a的5右邻域U+(a;5)或U+(a)点a的5左邻域U(a;5)或U(a)点a的空心5左、右邻域U。一(a)、U。一(a)等的定义邻域U(邻域U(8)、+8邻域U(+8)、-8邻域U(-8)。二有界集•确界原理1、有阶集的定义定义1设S为R中的一个数集。若存在数M(L)，使得对一切keS,都有k<MG>L)则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。例1证明数集七=例1证明数集N='n为正整数例1证明数集七=分析证例任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集。2、数集的上确界和下确界的精确定义描述性定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2设S是R中的一个数集。若数门满足：（i）对一切xeS,有x<n,即门是S的上界；（ii）对任何。<门,存在X。eS,使得x°>a,即不又是S的最小上界，则称数门为数集S的上确界，记作门=supS.定义3设S是R中的一个数集。若数&满足：（i）对一切xeS,有x岌,即&是5的下界；（ii）对任何8>&,存在x。eS,使得x。<p,即&又是S的最大下界，则称数&为数集S的下确界，记作E=infS.上确界与下确界统称为确界。注：以上确界为例，下确界类似定义设S是R中的一个数集。若数门满足：（i）对一切xeS,有x<n,即门是S的上界;（ii）对任何£>0,存在x。eS,使得x。>门-£,即不又是S的最小上界,则称数门也为数集S的上确界。设S=设S={x为区间（。,1中的有理数}试按上、下界的定义验证：supS=1,inf例闭区间［0，1］的上、下确界分别为1和0对于数集E=\（1）\n=1,2,|的上、下确界分别为supE=!,infE=一1InI2正整数集N+有下确界infN+=L而没有上确界。

注1由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的。又若数集S存在上、下确界，则有infSWsupS.注2从上面一些例子可见，数集S的确界可能属于S,也可能不属于S。例3设数集S有上确界。证明门=supSgS。门二maxS分析证3、确界原理及其应用定理1.1（确界原理）设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。分析证采用构造性证明方法证明关于上确界的结论注：在本书中确界原理是极限理论的基础。例4设A、B为非空数集，满足：对一切尤gA和ygB有x<y.证明：数集^有上确界，数集B有下确，且supA<infB.（2）分析证例5设A、B为非空有界数集，S=AUB0证明:(i)supS=max《upA,supB>(ii)inf(ii)infS=min{nfA,infb}分析证确界原理的扩充若把+8和-3补充到实数集中，并规定一实数a与+8、-3的大小关系为：aV+8,a>-3，-3v+8，则确界概念可扩充为：若S无上界，则定义+8为S的非正常上确界，记作supS=+8；若要无下界，则定义-3为S的非正常下确界，记作infS=-3，相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界。推广的确界原理任一非空