中考数学培优专题课件：巧用相似三角形中的基本图形

中考数学培优专题课件巧用相似三角形中的基本图形中考数学培优专题课件相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形的特征,并把它们从复杂的图形中挖掘出来,或者通过添加辅助线,构造出相应的基本图形,问题的解决也就水到渠成.相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形的基本图形一平行型相似三角形【知识点睛】如图①～③所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上(或延长线上或反向延长线上)的点,且DE∥BC,则△ADE∽△ABC.基本图形一平行型相似三角形【培优训练】1.如图,已知DE是△ABC的中位线,则△ADE与△ABC的面积比为(

)A.1∶2

B.1∶4C.2∶1D.4∶1【培优训练】【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC,DE=BC,所以△ADE∽△ABC.根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方,得△ADE与△ABC的面积比为1∶4.【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC,D2.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是________mm.2.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120m【解析】如图所示.∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴设ED＝xmm，∴PN＝MN＝ED＝xmm，∴解得x＝48.所以这个正方形零件的边长是48mm.答案：48【解析】如图所示.∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥1.如图，AB∥CD，AD∥BC，AE交BC延长线于点E，交DC于点F，若BC∶CE＝3∶2，求CF∶FD.【解析】∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，1.如图，AB∥CD，AD∥BC，AE交BC延长线于2.如图，在△ABC中，D是AB的中点，F在BC的延长线上，连接DF交AC于E.求证：2.如图，在△ABC中，D是AB的中点，【证明】如图，过点C作CG∥AB交DF于点G，∴△FGC∽△FDB，∵D是AB的中点，∴BD＝AD，又∵CG∥AB，∴△EGC∽△EDA，【证明】如图，过点C作CG∥AB交DF于点G，【方法技巧】作平行线构造相似三角形,这是一个常用的技巧.通过添加平行线构造出平行线型相似三角形的基本图形,进而证明成比例线段或求线段比.【方法技巧】作平行线构造相似三角形,这是一个常用的技巧.通过基本图形二相交型相似三角形【知识点睛】如图①,∠AED=∠B,则△AED∽△ABC;如图②,∠ACD=∠B,则△ACD∽△ABC;如图③,∠A=∠D,则△AOB∽△DOC.基本图形二相交型相似三角形【培优训练】3.如图,点D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,则AC的长是

.【解析】在△ABC和△ACD中，因为∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACD.所以即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12.所以AC＝答案：【培优训练】1.如图,已知BD,CE是△ABC的高,求证:∠AED=∠ACB.【证明】∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴∠AED＝∠ACB.1.如图,已知BD,CE是△ABC的高,求证:∠AED=2.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动(有一点到达后即停止移动)，如果P，Q同时出发，经过几秒后△BPQ与△ABC相似？2.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，【解析】设经过t秒后△BPQ与△ABC相似.∵∠B为公共角，∴要使△BPQ与△ABC相似，只需或即解得t＝0.8或t＝2(均小于4).∴经过0.8s或2s后，△BPQ与△ABC相似.【解析】设经过t秒后△BPQ与△ABC相似.【方法技巧】解动点问题要抓住动点运动过程中的某一静止状态，此时两个三角形夹∠B的两边对应成比例，由此列出求时间t的比例式是解题的关键.【方法技巧】解动点问题要抓住动点运动过程中的某一静止状态，此基本图形三旋转型相似三角形【知识点睛】如图,∠B=∠D(或∠C=∠E),∠1=∠2,则△ABC∽△ADE.基本图形三旋转型相似三角形【培优训练】4.如图所示,∠DAB=∠CAE,请你再补充一个条件

,使得△ABC∽△ADE.【解析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案.答案：∠D＝∠B(答案不唯一)【培优训练】5.如图,△ABC和△DEF都是正三角形,点D,E分别在AB,BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形,并说明理由.5.如图,△ABC和△DEF都是正三角形,点D,E分别在AB【解析】△GAD或△ECH或△GFH.△GAD∽△DBE的理由:∵△ABC,△DEF是等边三角形,∴∠A=∠B=∠FDE=60°,∴∠BDE+∠GDA=120°.又∵∠BDE+∠DEB=120°,∴∠GDA=∠DEB,∴△GAD∽△DBE.【解析】△GAD或△ECH或△GFH.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.(1)BE·AD＝CD·AE成立吗？说明理由.(2)根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只需写出图中已有线段的一组比即可)？并说明你猜想的正确性.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC＝【解题指南】【解题指南】【解析】(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠EAC＝∠DAE＋∠EAC，即∠DAC＝∠BAE.∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴∴BE·AD＝CD·AE.【解析】(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠EAC＝∠中考数学培优专题课件：巧用相似三角形中的基本图形【方法技巧】由等积式BE·AD＝CD·AE得到比例式对于这个比例式，考虑比的前项BE,AE中B,E，A所构成的△ABE与比的后项CD,AD中C,D,A所构成的△ACD相似，这种寻找相似三角形的方法通常称为“三点定相似三角形法”.掌握这种思考问题的方法，解决有关比例线段或等积式问题十分有效.【方法技巧】由等积式BE·AD＝CD·AE得到比例式基本图形四垂直型相似三角形【知识点睛】如图①所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.如图②所示,BA⊥AD,ED⊥AD,BC⊥CE,则Rt△ABC∽Rt△DCE.基本图形四垂直型相似三角形【培优训练】6.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,在B时又测得该树的影长为8m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为

m.【培优训练】【解析】如图,在Rt△CDE中,EF⊥CD,则△CEF∽△EDF,∴EF2=CF·DF=2×8=16,∴EF=4m.答案:4【解析】如图,在Rt△CDE中,EF⊥CD,1.请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似(要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求写出画法，不要求说明理由).1.请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小【解析】根据直角三角形的性质及直角三角形相似的判定方法,可以得到如图所示的画法:【解析】根据直角三角形的性质及直角三角形相似的判定方法,可以【方法技巧】分割出相似的直角三角形,关键在于抓住直角相等和正确地分割直角,得到相似的直角三角形.【方法技巧】分割出相似的直角三角形,关键在于抓住直角相等和正2.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E,F,G分别从点A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E,点G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s.当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.若点F在边BC上移动,移动时间t为何值时,以点E,B,F为顶点的三角形与以F,C,G为顶点的三角形相似?2.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.【解析】当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2.在△EBF和△GCF中，∠B＝∠C＝90°.①又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG.②又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF.综上所述，当t＝

或t＝

时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似.【解析】当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2.中考数学培优专题课件巧用相似三角形中的基本图形中考数学培优专题课件相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形的特征,并把它们从复杂的图形中挖掘出来,或者通过添加辅助线,构造出相应的基本图形,问题的解决也就水到渠成.相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形的基本图形一平行型相似三角形【知识点睛】如图①～③所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上(或延长线上或反向延长线上)的点,且DE∥BC,则△ADE∽△ABC.基本图形一平行型相似三角形【培优训练】1.如图,已知DE是△ABC的中位线,则△ADE与△ABC的面积比为(

)A.1∶2

B.1∶4C.2∶1D.4∶1【培优训练】【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC,DE=BC,所以△ADE∽△ABC.根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方,得△ADE与△ABC的面积比为1∶4.【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC,D2.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是________mm.2.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120m【解析】如图所示.∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴设ED＝xmm，∴PN＝MN＝ED＝xmm，∴解得x＝48.所以这个正方形零件的边长是48mm.答案：48【解析】如图所示.∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥1.如图，AB∥CD，AD∥BC，AE交BC延长线于点E，交DC于点F，若BC∶CE＝3∶2，求CF∶FD.【解析】∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，1.如图，AB∥CD，AD∥BC，AE交BC延长线于2.如图，在△ABC中，D是AB的中点，F在BC的延长线上，连接DF交AC于E.求证：2.如图，在△ABC中，D是AB的中点，【证明】如图，过点C作CG∥AB交DF于点G，∴△FGC∽△FDB，∵D是AB的中点，∴BD＝AD，又∵CG∥AB，∴△EGC∽△EDA，【证明】如图，过点C作CG∥AB交DF于点G，【方法技巧】作平行线构造相似三角形,这是一个常用的技巧.通过添加平行线构造出平行线型相似三角形的基本图形,进而证明成比例线段或求线段比.【方法技巧】作平行线构造相似三角形,这是一个常用的技巧.通过基本图形二相交型相似三角形【知识点睛】如图①,∠AED=∠B,则△AED∽△ABC;如图②,∠ACD=∠B,则△ACD∽△ABC;如图③,∠A=∠D,则△AOB∽△DOC.基本图形二相交型相似三角形【培优训练】3.如图,点D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,则AC的长是

.【解析】在△ABC和△ACD中，因为∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACD.所以即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12.所以AC＝答案：【培优训练】1.如图,已知BD,CE是△ABC的高,求证:∠AED=∠ACB.【证明】∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴∠AED＝∠ACB.1.如图,已知BD,CE是△ABC的高,求证:∠AED=2.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动(有一点到达后即停止移动)，如果P，Q同时出发，经过几秒后△BPQ与△ABC相似？2.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，【解析】设经过t秒后△BPQ与△ABC相似.∵∠B为公共角，∴要使△BPQ与△ABC相似，只需或即解得t＝0.8或t＝2(均小于4).∴经过0.8s或2s后，△BPQ与△ABC相似.【解析】设经过t秒后△BPQ与△ABC相似.【方法技巧】解动点问题要抓住动点运动过程中的某一静止状态，此时两个三角形夹∠B的两边对应成比例，由此列出求时间t的比例式是解题的关键.【方法技巧】解动点问题要抓住动点运动过程中的某一静止状态，此基本图形三旋转型相似三角形【知识点睛】如图,∠B=∠D(或∠C=∠E),∠1=∠2,则△ABC∽△ADE.基本图形三旋转型相似三角形【培优训练】4.如图所示,∠DAB=∠CAE,请你再补充一个条件

,使得△ABC∽△ADE.【解析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案.答案：∠D＝∠B(答案不唯一)【培优训练】5.如图,△ABC和△DEF都是正三角形,点D,E分别在AB,BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形,并说明理由.5.如图,△ABC和△DEF都是正三角形,点D,E分别在AB【解析】△GAD或△ECH或△GFH.△GAD∽△DBE的理由:∵△ABC,△DEF是等边三角形,∴∠A=∠B=∠FDE=60°,∴∠BDE+∠GDA=120°.又∵∠BDE+∠DEB=120°,∴∠GDA=∠DEB,∴△GAD∽△DBE.【解析】△GAD或△ECH或△GFH.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.(1)BE·AD＝CD·AE成立吗？说明理由.(2)根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只需写出图中已有线段的一组比即可)？并说明你猜想的正确性.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC＝【解题指南】【解题指南】【解析】(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠EAC＝∠DAE＋∠EAC，即∠DAC＝∠BAE.∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴∴BE·AD＝CD·AE.【解析】(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠EAC＝∠中考数学培优专题课件：巧用相似三角形中的基本图形【方法技巧】由等积式BE·AD＝CD·AE得到比例式对于这个比例式，考虑比的前项BE,AE中B,E，A所构成的△ABE与比的后项CD,AD中C,D,A所构成的△ACD相似，这种寻找相似三角形的方法通常称为“三点定相似三角形法”.掌握这种思考问题的方法，解决有关比例线段或等积式问题十分有效.【方法技巧】由等积式BE·AD＝CD·AE得到比例式基本图形四垂直型相似三角形【知识点睛】如图①所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.如图②所示,BA⊥AD,ED⊥AD,BC⊥CE,则Rt△ABC∽Rt△DCE.基本图形四垂直型相似三角形【培优训练】6.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,在B时又测得该树的影长为8m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为

m.【培优训练】【解析】如图,在Rt△