《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2

点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1.1平面2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1.1平预习导学预习导学●课标展示1．知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面．2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2●温故知新旧知再现1．在初中几何中学习的线可以看作是______运动形成的轨迹．2．在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线．点点3．在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种．4．几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的．画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细．基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质．大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2新知导学1．平面延展平行四边形2虚线新知导学延展平行四边形2虚线记法(1)用一个__________α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α(2)用两个大写的__________(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面________等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形____)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD希腊字母英文字母BCD顶点记法(1)用一个__________α，β，γ等来表示，如上[归纳总结]

习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修22．点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂α2．点、线、面的位置关系的表示A∈ll⊄αl∩m＝Al∩α＝Aα∩β＝ll⊄α[名师点拨]

从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修23．公理1两点l⊂α3．公理1两点l⊂α[名师点拨]

公理1的内容反映了直线与平面的位置关系．“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修24．公理2不在不共线4．公理2不在不共线[名师点拨]

(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．[名师点拨](1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”5．公理3公共点直线P∈l5．公理3公共点直线P∈l[名师点拨]公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2●自我检测1．下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4[答案]

A●自我检测[解析]

序号正误理由(1)×因为平面是无限延展的，故(1)错(2)×平面是无厚度的，故(2)错(3)×平面是无限延展的，不可度量，故(3)错(4)√平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确[解析]序号正误理由(1)×因为平面是无限延展的，故(1)2．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填写：(1)A∈α，B________α，E________α，C________α，D________α.(2)α∩β＝________.2．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β(3)A∈β，B________β，C________β，D________β，E________β，F________β.(4)AB________α，AB________β，CD________α，CD________β，BF________α，BF________β.[答案]

(1)∈∈∉∉(2)AB

(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修23．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(

)A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉α D．Q∈α[答案]

D[解析]

∵Q∈m，m⊂α，∴Q∈α.∵P∉m，∴有可能P∈α，也可能有P∉α.《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修24．三点可确定平面的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．1或无数个[答案]

D[解析]

当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修25．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(

)A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点[答案]

D《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2互动课堂互动课堂

关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题

●典例探究

关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题●[解析]

(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图1.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图2.[解析](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，

规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．

规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为________．(2)根据右图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可(3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B∉MN，C∈β，C∉MN.[答案]

(1)M∈a，a⊂α，M∈α(2)∈∉⊄AC(3)如图所示(3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个公理的理解三个公理的理解[解析]

(1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面．(2)正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2，有唯一一个平面．(3)不正确．三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图1(1)、(2)所示．前者，由公理2得知，可以确定1个或3个平面；后者，由公理2及公理1知，能确定唯一一个平面．[解析](1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如(4)不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不一定在同一平面内．(4)不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此

规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．

规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必若空间中有四个点，则由“这四个点中有三点在同一直线上”能否得到“这四个点在同一平面上”？反之，能否由“这四个点在同一平面上”得到“这四点中有三点在同一直线上”？若不能，试举出反例．若空间中有四个点，则由“这四个点中有三点在同一直线上”能否得[解析]

由“这四个点中有三点在同一直线上”能得到“这四个点在同一平面E”，因为“四个点中有三点在同一直线上”相当于已知一条直线和直线外一点，由公理2的推论1知，有且只有一个平面经过这四点，故“这四个点在同一平面上”．由“这四个点在同一平面上“不能得到“这四个点中有三点在同一直线上”，如平行四边形的四个顶点在同一平面上，但这四个顶点中没有三点在同一直线上．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2[分析]

点线共面问题

[分析]点线共面问题[解析]

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2

规律总结：

1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．

规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．[解析]

根据公理2的推论3，两平行直线可确定一平面，而一条直线和两条平行直线都相交，这两交点在这两平行直线上，根据公理1知过这两交点的直线也在这个平面内，所以这三条直线共面．求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．点共线与线共点的问题点共线与线共点的问题[分析]由题目可获取以下主要信息：①三线AB、AC、BC在平面α外；②三线均与面α相交．解答本题可先证明P、Q、R三点在面ABC内，又在面α内，再利用公理3从而证得三点共线．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2[证明]

方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2

规律总结：证明点线共面的常用方法：(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合．

规律总结：证明点线共面的常用方法：三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．[分析]

证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上．三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩[证明]

∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2[错解]

因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面．[错因分析]

忽略了四个点在同一个平面上的可能．[错解]因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四[思路分析]

空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面．[正解]

一个或者是四个．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]

因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．[错因分析]

错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线．已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D[正解]

(1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．(2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．[正解](1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面

规律总结：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题．对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件．

规律总结：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定随堂测评随堂测评1．下列命题中正确命题的个数是(

)①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]

B[解析]

①④正确，故选B.1．下列命题中正确命题的个数是()2．如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(

)A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ[答案]

A[解析]

MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.2．如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()3．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(

)A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α[答案]

B《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修24．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)：(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；(2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；(3)∵A∉α，a⊂α，∴A∉a；(4)∵A∈a，a⊄α，∴A∉α.其中命题和叙述方法都正确的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．3[答案]

B4．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β[解析]

(3)正确．(1)错，其中的AB∈α应为AB⊂α.(2)错，其中α，β应该交于一条过A点的直线．(4)错，因为点A可能是直线a与平面α的交点．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修26．看图填空：6．看图填空：(1)AC∩BD＝________.(2)平面AB1∩平面A1C1＝________.(3)平面A1C1CA∩平面AC＝________.(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________.(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C＝________.(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.[答案]

(1)O

(2)A1B1

(3)AC

(4)OO1

(5)B1(6)B1(1)AC∩BD＝________.点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1.1平面2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1.1平预习导学预习导学●课标展示1．知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面．2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2●温故知新旧知再现1．在初中几何中学习的线可以看作是______运动形成的轨迹．2．在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线．点点3．在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种．4．几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的．画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细．基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质．大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2新知导学1．平面延展平行四边形2虚线新知导学延展平行四边形2虚线记法(1)用一个__________α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α(2)用两个大写的__________(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面________等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形____)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD希腊字母英文字母BCD顶点记法(1)用一个__________α，β，γ等来表示，如上[归纳总结]

习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修22．点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂α2．点、线、面的位置关系的表示A∈ll⊄αl∩m＝Al∩α＝Aα∩β＝ll⊄α[名师点拨]

从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修23．公理1两点l⊂α3．公理1两点l⊂α[名师点拨]

公理1的内容反映了直线与平面的位置关系．“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修24．公理2不在不共线4．公理2不在不共线[名师点拨]

(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．[名师点拨](1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”5．公理3公共点直线P∈l5．公理3公共点直线P∈l[名师点拨]公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2●自我检测1．下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4[答案]

A●自我检测[解析]

序号正误理由(1)×因为平面是无限延展的，故(1)错(2)×平面是无厚度的，故(2)错(3)×平面是无限延展的，不可度量，故(3)错(4)√平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确[解析]序号正误理由(1)×因为平面是无限延展的，故(1)2．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填写：(1)A∈α，B________α，E________α，C________α，D________α.(2)α∩β＝________.2．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β(3)A∈β，B________β，C________β，D________β，E________β，F________β.(4)AB________α，AB________β，CD________α，CD________β，BF________α，BF________β.[答案]

(1)∈∈∉∉(2)AB

(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修23．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(

)A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉α D．Q∈α[答案]

D[解析]

∵Q∈m，m⊂α，∴Q∈α.∵P∉m，∴有可能P∈α，也可能有P∉α.《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修24．三点可确定平面的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．1或无数个[答案]

D[解析]

当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修25．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(

)A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点[答案]

D《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2互动课堂互动课堂

关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题

●典例探究

关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题●[解析]

(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图1.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图2.[解析](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，

规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．

规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为________．(2)根据右图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可(3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B∉MN，C∈β，C∉MN.[答案]

(1)M∈a，a⊂α，M∈α(2)∈∉⊄AC(3)如图所示(3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个公理的理解三个公理的理解[解析]

(1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面．(2)正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2，有唯一一个平面．(3)不正确．三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图1(1)、(2)所示．前者，由公理2得知，可以确定1个或3个平面；后者，由公理2及公理1知，能确定唯一一个平面．[解析](1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如(4)不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不一定在同一平面内．(4)不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此

规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．

规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必若空间中有四个点，则由“这四个点中有三点在同一直线上”能否得到“这四个点在同一平面上”？反之，能否由“这四个点在同一平面上”得到“这四点中有三点在同一直线上”？若不能，试举出反例．若空间中有四个点，则由“这四个点中有三点在同一直线上”能否得[解析]

由“这四个点中有三点在同一直线上”能得到“这四个点在同一平面E”，因为“四个点中有三点在同一直线上”相当于已知一条直线和直线外一点，由公理2的推论1知，有且只有一个平面经过这四点，故“这四个点在同一平面上”．由“这四个点在同一平面上“不能得到“这四个点中有三点在同一直线上”，如平行四边形的四个顶点在同一平面上，但这四个顶点中没有三点在同一直线上．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2[分析]

点线共面问题

[分析]点线共面问题[解析]

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2

规律总结：

1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．

规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．[解析]

根据公理2的推论3，两平行直线可确定一平面，而一条直线和两条平行直线都相交，这两交点在这两平行直线上，根据公理1知过这两交点的直线也在这个平面内，所以这三条直线共面．求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．点共线与线共点的问题点共线与线共点的问题[分析]由题目可获取以下主要信息：①三线AB、AC、BC在平面α外；②三线均与面α相交．解答本题可先证明P、Q、R三点在面ABC内，又在面α内，再利用公理3从而证得三点共线．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2[证明]

方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2

规律总结：证明点线共面的常用方法：(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合．

规律总结：证明点线共面的常用方法：三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．[分析]

证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上．三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩[证明]

∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2[错解]

因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面．[错因分析]

忽略了四个点在同一个平面上的可能．[错解]因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四[思路分析]

空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面．[正解]

一个或者是四个．《211平面》课件1-优质公开课-人教A版必修2已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]

因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点