新人教版八年级上册数学课件(第11章-三角形)

11.1与三角形有关的线段第1课时三角形的边第十一章三角形11.1与三角形有关的线段第1课时三角形的边第十1课堂讲解三角形及其有关概念三角形的分类三角形的三边关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解三角形及其有关概念2课时流程逐点课堂小结作业提升下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.新人教版八年级上册数学课件(第11章--三角形)你能画出一个三角形吗？你能画出一个三角形吗？知1－导1知识点三角形及有关概念下面哪个是三角形？什么是三角形？结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.知1－导1知识点三角形及有关概念下面哪个是三角形？什么是三角ABC由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.注意：1.不在同一条直线上.2.三条线段.3.首尾顺次相接.1.三角形的定义：知1－讲ABC由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组注意：1.注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作△ABC，也可记作△ACB.2.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，如下图的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.知1－讲ABC注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.2.三角形的表示：三如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C.3.三角形的顶点如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是：A，B，C.ABC4.三角形的边、内角知1－讲如图，△ABC的三个顶点分别3.三角形的顶点如图，△ABC的注意：1.三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制.2.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.

如：△ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC也可表示为b，顶点C所对的边AB也可表示为c.3.一般情况下，我们把边BC叫做A的对边，AC，AB叫A的邻边；边AC叫B的对边，AB，BC叫B的邻边；你能说出C的对边及邻边吗？abcABC对边是AB，邻边是BC，AC.知1－讲注意：abcABC对边是AB，邻边是BC，AC.知1－讲一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是(

)知1－练

1D一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是(如图：(1)△ADC的三个顶点分别是_________，三个内角分别是___________________________．(2)在△ABC中，∠C的对边是________；在△AEC

中，∠C的对边是________．

2知1－练A、D、C∠C∠DAC∠ADCABAE如图：2知1－练A、D、C∠C∠DAC∠ADCAB知1－练

图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.3解：图中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△CDE.知1－练图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.3解：图中知2－导2知识点三角形的分类我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流.知2－导2知识点三角形的分类我们知道，按照三我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形(图(1));有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图(2)).图(3)中的三角形是三边都不相等的三角形.知2－讲我们知道：图(3)中的三角形是三边都不相等的三角形.知2－我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.知2－讲ABC顶角底角底角腰腰底边我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都知等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.知2－讲以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰知2三角形按角分锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分三边都不相等的三角形三角形的分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形知2－讲三角形按锐角三角形直角三角形钝角三角形按三边都不相等的三角形知2－练下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个

1C知2－练下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可知2－练已知一个三角形是等腰三角形，则这个三角形(

)A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形

2D知2－练已知一个三角形是等腰三角形，则这个三角形()2知3－导3知识点三角形的三边关系任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？知3－导3知识点三角形的三边关系任意画一个如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？ABC知3－导如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得

AB+AC>BC. ①同理有

AC+BC>AB, ②AB+BC>AC. ③一般地，我们有三角形两边的和大于第三边.由不等式②③移项可得BC>AB－AC，BC>AC－AB.这就是说，三角形两边的差小于第三边.

知3－讲对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm.x+2x+2x=18.

解得x=3.6.

所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.

例1(1)(2)解：知3－导用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.例1(1)(如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则4+2x=18.解得x=7.如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，则2×4+x=18.解得x=10.因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.

知3－导如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则4+2x注意：1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边.2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边.知3－导注意：知3－导(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.

1知3－练(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？1知3(1)不能组成三角形．因为3＋4<8，不满足三角形的三边关系．(2)不能组成三角形．因为5＋6＝11，不满足三角形的三边关系．(3)能组成三角形．因为5＋6＞10，满足三角形的三边关系．

知3－练解：(1)不能组成三角形．知3－练解：(青海)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(

)A．5

B．6

C．12

D．16(南通)下列长度的三条线段能组成三角形的是(

)A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a(a＞0)

23知3－练CA(青海)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的11.1与三角形有关的线段第2课时三角形的高、中线与角平分线第十一章三角形11.1与三角形有关的线段第2课时三角形的高、中第1课堂讲解三角形的高三角形的中线三角形的角平分线2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解三角形的高2课时流程逐点课堂小结作业提升回顾旧知垂线的定义：线段中点的定义：当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.把一条线段分成两条相等的线段的点.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.回顾旧知垂线的定义：线段中点的定义：当两条直线相交所知1－导1知识点三角形的高你能过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?BAC你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?知1－导1知识点三角形的高你能过三角形的一个顶从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.如图所示.ABCD知1－导从三角形的一个顶点向它ABCD知1－导如图,线段AD是BC边上的高.ABC注意：标明垂直的记号和垂足的字母.D知1－讲如图,线段AD是BC边上的高.ABC注意：标明垂直的记号和锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.O锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.知1－讲锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形.(2)这三条高之间知1－讲直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形.将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;AB直角边AB边上的高是______;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.知1－讲直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形.将你的结ABCDEF钝角三角形的三条高(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.O钝角三角形的三条高不相交于一点.钝角三角形的三条高所在直线交于一点.知1－讲ABCDEF钝角三角形的三条高(1)钝角三角形的三条高交于叫做三角形这边上的高.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段知1－讲叫做三角形这边上三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部知1－讲三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在如图，(1)(2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？知1－练

1如图，(1)(2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△(1)中的∠B是锐角，高AD在△ABC内部．(2)中的∠B是直角，高AD与边AB重合．(3)中的∠B是钝角，高AD的垂足在CB的延长线上，即高AD在△ABC的外部．当∠C是锐角时，如果∠B是锐角，高AD在△ABC

的内部；如果∠B是直角，高AD与边AB重合；如果∠B是钝角，高AD的垂足在CB的延长线上，即高AD在△ABC的外部．解：知1－练规律：(1)中的∠B是锐角，高AD在△ABC内部．解：知1－练规律知1－练

在直角三角形中，有两条高是它的________，另一条高在这个三角形的________．锐角三角形的三条高的交点在______________，直角三角形的三条高的交点在_______________________，钝角三角形的三条高所在直线的交点在_________________．2直角边内部三角形的内部三角形的外部两直角边的交点处知1－练在直角三角形中，有两条高是它的________，2知2－导2知识点三角形的中线如图(1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.用同样方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？知2－导2知识点三角形的中线如图(1)，连接△ABC的顶点知2－导在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线.知2－导在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，如图(2),三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.知2－讲如图(2),三角形的三条中线相交于一点.三角形三取一块质地在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求△ABC的各边长．

知2－讲例1因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：(BC＋CD)和(AD＋AB)，无法确定谁为12cm，谁为15cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解．导引：在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长设AB＝xcm，则AD＝CD＝xcm.(1)如图①，若AB＋AD＝12cm，则x＋x＝12.解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，则CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此时AB＋AC＞BC，三角形存在，所以三边长分别为8cm，8cm，11cm.(2)如图②，若AB＋AD＝15cm，则x＋x＝15.解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，则CD＝5cm.故BC＝12－5＝7(cm)．显然此时三角形存在，所以三边长分别为10cm，10cm，7cm.综上所述，△ABC的三边长分别为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.解：知2－讲设AB＝xcm，则AD＝CD＝xcm.解：知2知2－练填空：如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2__________,BD=_______,AE=________.

1AD或BFCDAC知2－练填空：如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条知2－练

三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(

)A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形2B知2－练三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()2知2－练如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是(

)A．2

B．3

C．6

D．不能确定3

A知2－练如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，知3－导3知识点三角形的角平分线如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？知3－导3知识点三角形的角平分线如果现在你叫做三角形的角平分线.ABCD因为AD是△ABC的角平分线，任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,︶︶12三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.所以∠BAD=∠CAD=∠BAC.知3－讲叫做三角形的角平分线.ABCD因为AD是△ABC的角平分线，知3－讲ACBFEDO因为BE是△ABC的角平分线，所以______=________=_______.所以∠ACB=2_______=2__________.∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF因为CF是△ABC的角平分线，∠BCF知3－讲ACBFEDO因为BE是△ABC的角平分线，所以__知3－讲1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角。2.三角形的角平分线判别的“两种方法”

(1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.(2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶点，另一个端点要落在对边上.知3－讲1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：2.三角形如下页图（2)，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=______,∠3=_______,∠ACB=2_______.

1知3－练∠2∠ABC∠4如下页图（2)，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分今天我们学了什么呢？1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法.2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应用.今天我们学了什么呢？11.1与三角形有关的线段第3课时三角形的稳定性第十一章三角形11.1与三角形有关的线段第3课时三角形的稳定性1课堂讲解三角形的稳定性三角形稳定性的实际应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解三角形的稳定性2课时流程逐点课堂小结作业提升工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(图(1))，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(图(2)).为什么要这样做呢？工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架知1－讲1知识点三角形的稳定性问题盖房子时,在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？我们来探究下面的问题.(1)如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？知1－讲1知识点三角形的稳定性问题盖房子时,在窗框安装知1－讲(2)如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？知1－讲(2)如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，知1－讲(3)如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？知1－讲(3)如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的知1－导可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变.

这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.知1－导可以发现，三角形木架的形状不会改变，知1－讲〈探究题〉要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架呢？六边形呢？n边形呢？若要多边形稳定，需将它变换成若干个三角形．先画出图形，结合图形分割三角形得出：四边形：1根，五边形：2根，六边形：3根，由类比推理可知，n边形：(n－3)根，如图所示．四边形木架至少要再钉上1根，五边形木架：2根，六边形木架：3根，n边形木架：(n－3)根．例1导引：解：知1－讲〈探究题〉要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，多边形增强稳定性的方法画辅助线法：将多边形通过添加辅助线划分为若干个三角形.多边形增强稳定性的方法下列图形中哪些具有稳定性？知1－练

1解：图形(1)(4)(6)具有稳定性．下列图形中哪些具有稳定性？知1－练1解：图形(1)(4)(知1－练

下列图形中具有稳定性的是(

)

A．①②③④B．①③C．②④D．①②③2B知1－练下列图形中具有稳定性的是()2B知2－导2知识点三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性有广泛的应用，如图表示其中一些例子.你能再举一些例子吗？知2－导2知识点三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性有广泛的除了教材中给的例子，我们再来看几个应用三角形稳定性的例子.

知2－导除了教材中给的例子，我们再来看几个应用三知2－导知2－导四边形的不稳定性也有广泛的应用，如图表示其中一些例子.知2－讲四边形的不稳定性也有广泛的应用，如图表知2－讲人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了_________________．知2－讲例2两腿分开站立，再伸出一只手抓住栏杆，这时，两脚以及抓住栏杆的手可看作三个点，这三个点的连线恰好组成一个三角形，而三角形具有稳定性，这样人就能站稳了.导引：三角形的稳定性人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，还需伸出一只手抓住知2－练如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：____________．(填“稳定性”或“不稳定性”)

1稳定性知2－练如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(

)A．两点之间，线段最短B．长方形的对称性C．长方形的四个角都是直角D．三角形的稳定性知2－练

2D如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使知2－练下列设备,没有利用三角形的稳定性的是()A.活动的四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.索道支架3A知2－练下列设备,没有利用三角形的稳定性的是()1.通过对本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？3.钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性.

你还能举出一些例子吗？1.通过对本节课的学习，你有什么收获？还有什么11.2与三角形有关的角第1课时三角形的内角——三角形的内角和第十一章三角形11.2与三角形有关的角第1课时三角形的内角——1课堂讲解三角形内角和定理三角形内角和的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解三角形内角和定理2课时流程逐点课堂小结作业提新人教版八年级上册数学课件(第11章--三角形)知1－导1知识点三角形内角和定理问题1在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．知1－导1知识点三角形内角和定理问题1在小学我们已经知道任方法：度量、剪拼图、折叠BBCCAAABBC方法：度量、剪拼图、折叠BBCCAAABBCAABBCABBCCAABBCABBCCABCABC在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？知1－导◎探究在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在追问1在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？直线l与边BC平行．知1－讲BBCCAl追问1在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，知1－追问2在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论．BBCCAl追问2在操作过程中,我们发现了与边BC平行的BB追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.知1－讲ABC24153

l追问3结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC如图,过点A作直线l,使l//BC.∵l//BC,∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等).

同理∠3=∠5.∵∠1,∠4,∠5组成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.证明：知1－讲如图,过点A作直线l,使l//BC.∵l在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.知1－讲在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的知1－练

1如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2－(40°＋40°＋150°)＝130°.知1－练1如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°

2知1－练D在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的2知1－知1－练

在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(

)A．40°B．60°C．80°D．90°3A知1－练在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A3A三角形内角和定理的“三个应用”1.已知两个角的度数求第三个角的度数.2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.知2－讲2知识点三角形内角和的应用三角形内角和定理的“三个应用”知2－讲2知识点三角形内角和的如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°.例1解：知2－讲CBDA如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=三角形的三内角和是180º，所以三内角可能出现的情况：一个钝角两个锐角钝角三角形锐角三角形一个直角两个锐角直角三角形三个都为锐角钝角三角形直角三角形锐角三角形知2－讲三角形的三内角和是180º，所以三内角可能出现的情况：一个知2－讲图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？例2北北CABDE知2－讲图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50知2－讲A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.分析：解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°.由AD//BE，得∠BAD－∠ABE=180°.方法一：知2－讲A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB分析所以∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°,∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠CAB=180°－60°－30°=90°.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是

60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.答：知2－讲你还能想到其他解法吗？所以答：知2－讲你还能想到其他解法吗？BDCE北A你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°过点C画CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,F∵CF∥AD,又AD∥BE，∴CF∥BE，∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1＋∠2＝50°＋40°＝90°知2－讲解：北方法二：BDCE北A你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度知2－练如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度？

1知2－练如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°,从B知2－练在△ACD中，因为∠CAD＝30°，∠D＝90°，所以∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.在△BCD中，因为∠CBD＝45°，∠D＝90°，所以∠BCD＝180°－90°－45°＝45°.所以∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°.解：答：从C处观测A，B两处的视角∠ACB是15°.知2－练在△ACD中，因为∠CAD＝30°，∠D＝90°，所(中考·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(

)A．45°B．54°C．40°D．50°知2－练

2C(中考·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°知2－练

(中考·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．3

40°知2－练

(中考·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角知2－练4如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？

知2－练4如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向知2－练因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，所以∠ABD＝60°.又因为∠DBE＝90°，所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，所以∠ACE＝90°－40°＝50°.所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.解：知2－练因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，解：通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度证法应用转化为一个平角或同旁内角互补辅助线三角形的内角和等于180°作平行线转化思想通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度证法应用转化为一个平角11.2与三角形有关的角第2课时三角形的内角——直角三角形两锐角互余第十一章三角形11.2与三角形有关的角第2课时三角形的内角——1课堂讲解直角三角形两锐角的关系直角三角形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解直角三角形两锐角的关系2课时流程逐点课堂在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠C等于多少度？你用了什么知识解决的？回顾旧知ABC在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠知1－导1知识点直角三角形两锐角的关系观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？知1－导1知识点直角三角形两锐角的关系观察这两个直角三角形，如图,在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B+90°=180°,所以∠A+∠B=90°知1－讲如图,在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三也就是说，直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.知1－讲也就是说，直角三角形的两个锐角互余.知1－讲如图,∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？在Rt△ACE中，∠CAE=90°－∠AEC,在Rt△BDE中，∠DBE=90°－∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.例1解：知1－讲CDEAB如图,∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E知1－讲直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角．知1－讲直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的知1－练

1如图，∠ACB=90°,CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？解：∠ACD＝∠B.理由如下：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＋∠BCD＝90°.因为CD⊥AB，所以∠BCD＋∠B＝90°.所以∠ACD＝∠B.知1－练1如图，∠ACB=90°,CD丄AB，垂足为D.(中考·海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(

)A．120°

B．90°

C．60°

D．30°

2知1－练D(中考·海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等2知1－练知1－练

(中考·鄂州)如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(

)度．A．70B．65C．60D．553A知1－练(中考·鄂州)如图，AB∥CD，EF与AB，CD分知1－练

如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．4知1－练如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是4知1－练

解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.知1－练解：∵CD是AB上的高，知2－导2知识点直角三角形的判定我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？知2－导2知识点直角三角形的判定我们知道，知2－讲假设在△ABC中，∠A＋∠B=90°，由三角形内角和定理，我们可以得到∠C=180°－（∠A＋∠B）=90°，即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形.知2－讲假设在△ABC中，∠A＋∠B=90知2－讲由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形.知2－讲由三角形内角和定理可得：判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．知2－讲例2导引：判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是如图，AB∥CD∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)

＝×180°＝90°.∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.∴△EFP为直角三角形．解：知2－讲∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.解：知2－讲知2－讲“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．知2－讲“有一个角是直角的三角形是直角三角形知2－练

1如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：△ADE是直角三角形．理由如下：因为∠C＝90°，所以∠A＋∠2＝90°.

因为∠1＝∠2，所以∠A＋∠1＝90°.

所以∠ADE＝180°－(∠A＋∠1)＝90°.

所以△ADE是直角三角形。知2－练1如图，∠C=90°，∠1=∠2，△A已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(

)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能知2－练

2C已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为()知2－练知2－练3

具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD知2－练3具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的D知2－练4如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．

知2－练4如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C

＝180°－80°－70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．解：知2－练在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C解：知2根据三角形内角和定理，我们可以得到：直角三角形的两个锐角互余直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形的性质：根据三角形内角和定理，我们可以得到：直角三角形的两个锐角互余11.2与三角形有关的角第3课时三角形的外角第十一章三角形11.2与三角形有关的角第3课时三角形的外角第十1课堂讲解三角形外角的定义三角形内外角的关系三角形的外角和2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解三角形外角的定义2课时流程逐点课堂小结作业提在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯知1－讲1知识点三角形外角的定义DBAC1234外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.知1－讲1知识点三角形外角的定义DBAC1234外角三角形的知1－讲DBAC不相邻内角1234想一想：外角与相邻内角有什么特殊关系？外角∠4+∠3=180°外角与相邻内角的大小不能确定发现：1、每一个三角形都有６个外角．3、每个外角与相应的内角是邻补角．2、每一个顶点相对应的外角都有２个．相邻内角知1－讲DBAC不相邻内角1234想一想：外角与相邻内角有什图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE的延长线EB，延长线FA与边CF构成的角为∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF是△CEF的外角．如图，△CEF的外角为________________．知1－讲∠AFC，∠BEF例1导引：图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，如图，△CE如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(

)A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角知1－练

1D如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是()知1－练一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最多有几个直角？最多有几个锐角？

2知1－练解：一个三角形的三个外角中，最少有两个钝角，最多有一个直角，最多有一个锐角．一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最2知1－练解：知2－导2知识点三角形内外角的关系在一张白纸上画出如图所示的图形，然后把∠１、∠２剪下拼在一起，放到∠４上，看看会出现什么结果？做一做猜测：∠１＋∠２＝∠４知2－导2知识点三角形内外角的关系在一张白纸上画出如图所示知2－导根据图形计算∠ACD的大小,通过计算,你发现了什么规律？BCAD350700BACD80040075°105°∠ACD=∠A+∠B60°120°∠ACD=∠A+∠B知2－导根据图形计算∠ACD的大小,通过计算,你发现知2－导归纳

推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.根据这个推论，我们还可以得到：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.知2－导归纳推论是由定理直接推出的结论.和定理知2－讲因为∠ACD+∠ACB=180°又因为∠A+∠B+∠ACB=180°所以∠A+∠B=∠ACD解：DABC所以∠ACD=180°－∠ACB所以∠A+∠B=180°－∠ACB（邻补角的定义）(等量代换)如何说明∠ACD=∠B+∠A知2－讲因为∠ACD+∠ACB=180°又因为∠A+∠B根据平行线的性质求出∠C，再根据三角形外角性质即可求出∠3.∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.又∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.〈浙江温州〉如图，直线AB，CD被BC

所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝________度．知2－讲例2导引：80根据平行线的性质求出∠C，〈浙江温州〉如图，直线AB，CD被三角形外角的性质可以表示为角的和也可以表示为角的差.如图，∠1为△ABC的外角，则其表现形式有以下三种：∠1=∠A+∠C.∠A=∠1－∠C.∠C=∠1－∠A.知2－讲三角形外角的性质可以表示为角的和也可以表示知2知2－练

1说出下列图形中∠1和∠2的度数:(1)∠1＝40°，∠2＝140°；(2)∠1＝110°，∠2＝70°；(3)∠1＝50°，∠2＝140°；解：知2－练1说出下列图形中∠1和∠2的度数:(1)∠1＝(中考·柳州)图中∠1的大小等于(

)A．40°B．50°C．60°D．70°知2－练

2D(中考·柳州)图中∠1的大小等于()知2－练2D知2－练3

若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(

)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．钝角三角形或锐角三角形C知2－练3若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这C知2－练4如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1

B知2－练4如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是()B知3－导3知识点三角形的外角和现在回到我们最初提出的问题.在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？通过我们这节课学习的三角形外角的定义以及性质，我们现在来解决这个问题，首先，我们将实际问题转化成数学问题.知3－导3知识点三角形的外角和现在回到我们最初提出的问题.通如图,∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).说出下列图形中∠1和∠2的度数:由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.知3－讲例3解：你还有其他解法吗？如图,∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和是指三角形的每个顶点处各取一个外角的和.知3－讲三角形的外角和等于360°.知3－讲如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是(

)A．∠2＝∠4＋∠7

B．∠3＝∠1＋∠7C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°

1知3－练B如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个通过本课时的学习，需要我们掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；2.三角形的外角和是360°.1.三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.通过本课时的学习，需要我们掌握：三角形的外角等于与它不相邻的11.3多边形及其内角和第1课时多边形第十一章三角形11.3多边形及其内角和第1课时多边形第十一章1课堂讲解多边形多边形的对角线正多边形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解多边形2课时流程逐点课堂小结作业提升知1－导1知识点多边形观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？知1－导1知识点多边形观察图中的图片，其中知1－讲多边形定义平面内，不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接，所得到的封闭图形叫多边形。多边形以边数命名：五边形ABCDE或五边形EDCBAABCDEABCDEF知1－讲多边形定义平面内，不在同一条直线上的几条线段首尾顺次多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.如图,螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形.知1－讲多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四知顶点内角边可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAEABCDE外角：多边形相邻两边组成的角内角的邻补角知1－讲组成多边形的各条线段相邻两条边的公共端点顶点内角边可表示为：ABCDE外角：多边形相邻两边组成的角内下列说法中，正确的有(

)(1)三角形是边数最少的多边形；(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次连接”；(3)n边形有n个内角和2n个外角，即外角的个数是内角个数的2倍．(1)(4)说法正确．例1导引：B知1－讲下列说法中，正确的有()(2)的说法不严密，应点明三点：理解多边形的定义需注意：(1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条；(2)必须是“平面图形”；(3)首尾顺次相接．知1－讲理解多边形的定义需注意：知1－讲对于多边形的外角，最准确的表述是(

)A．内角的邻角B．与内角有公共顶点的角C．内角的邻补角D．内角的对顶角

1知1－练C对于多边形的外角，最准确的表述是()1知1－练C图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形．

2知1－练解：图①②④是多边形，图③不是多边形．其中图①是四边形，图②是五边形，图④是五边形．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形．2知12知识点多边形的对角线知2－讲连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线ACBDE三角形有几条对角线？2知识点多边形的对角线知2－讲连接多边形不相邻的两个顶点的线画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数.01235从n边形的一个顶点出发能画出多少条对角线？知2－讲画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数.01235你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能，请画出所有对角线.0259太难画了！知2－讲你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能，请画0259太你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五十边形呢？一百边形呢？n边形呢？知2－讲你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五十知边数34567…n从一个顶点出发的对角线的条数…总的对角线条数…上述对角线分成的三角形个数…0001222533944145n－3n－2知2－讲n(n－3)2边数34567…n从一个顶点出发…总的对角线条数…上述对角线画出下列多边形的全部对角线：

1知2－练2四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？解：两个三角形；两条对角线；将五边形分成三个三角形．画出下列多边形的全部对角线：1知2－练2四边形的一条对角线

3在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观察探索凸十边形的对角线有(

)A．29条B．32条C．35条D．38条知2－练C3在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观知3－导3知识点正多边形正五边形正六边形正八边形各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形.等边三角形（正三角形）正方形（正四边形）知3－导3知识点正多边形正五边形正六边形正八边形各边相等，各紧扣正多边形的概念识别：(1)等腰三角形的底边与腰不一定相等，所以不一定是正多边形；(2)等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形；(3)长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形．(4)正方形的四条边相等，四个角相等，是正多边形．下列说法：(1)等腰三角形是正多边形；(2)等边三角形是正多边形；(3)长方形是正多边形；(4)正方形是正多边形．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3