传输原理-第十二章-对流换热的基本方程和分析解课件

第十二章对流换热的基本方程和分析解第十二章12.1对流换热概述12.2对流换热微分方程组12.3对流换热边界层微分方程组12.4对流换热边界层微分方程组的分析解12.5对流换热边界层积分方程近似解12.6小结第12章对流换热的基本方程和分析解12.1对流换热概述第12章对流换热的基本方程和分析解流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运动而发生的热量传递过程称为对流换热。对流换热与热对流的区别：①热对流是传热的三种基本方式之一，但对流换热不是；②对流换热是导热和对流这两种基本传热方式的综合；③对流换热必然涉及流体与不同温度的固体壁面(或液面)之间的相对运动。12.1对流换热概述流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运动而发生的热量传递综合以上分析，可将对流换热系数α与各影响因素写成如下函数关系：式中，Ψ为壁面的几何因素。12.1对流换热概述对流换热是流体的导热和对流共同作用的结果，其影响因素主要有：①流体流动的起因②流体有无相变③流体的流动状态④流体的物理性质⑤换热表面(指固体)的几何因素综合以上分析，可将对流换热系数α与各影响因素写成如下函数关(1)换热微分方程由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层，与牛顿冷却公式联系，得换热微分方程：式中,为贴壁处流体的法向温度变化率，℃/m；λ为流体的导热系数，W/(m·℃)；△T为传热面上的平均温度差，℃，α为对流换热系数，W/(m2·℃)。12.2对流换热微分方程(1)换热微分方程式中,(2)热量传输微分方程推导依据是能量守恒定律，采用微元体分析法，假定流体不可压缩，微元体只有内能发生变化，忽略位能、动能的变化。12.2对流换热微分方程对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。微元体获得的热能有：一是通过微元体界面从外界以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热源产生。(2)热量传输微分方程12.2对流换热微分方程对于对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。

微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热源产生。微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：

12.2对流换热微分方程Q1为单位时间内通过对流传入微元体净热量；Q2为单位时间内通过导热传入微元体的净热量；Q3为单位时间内微元体内热源生成的热量；Q4为单位时间里外界对微元体作黏性功产生的摩擦热；Q5为单位时里内微元体内能的增加量。单位都是J/s。对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。在x方向，由于流体流动，单位时间内从EFGH面对流传入和从ABCD面对流传出的热量分别为（U为每千克流体的内能）：12.2对流换热微分方程在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为

在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为：同理，可写出y和z方向在单位时间内对流传入微元体的净热量。因此，单位时间内对流净传入微元体的总热量为：在x方向，由于流体流动，单位时间内从EFGH面对流传入和从由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程为12.2对流换热微分方程在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为导热传入微元体的热量可按傅里叶定律计算，在λ不为常数的情况下，单位时间内通过导热传入微元体的净热量为：

由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程为12.2为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单位体积所生成的热量为内热源强度，用qv

表示。于是单位时间内微元体内热源生成的热量为：

12.2对流换热微分方程外界流体对微元体所做黏性功的推导比较复杂，令单位体积流体由于黏性力作用产生的摩擦热速率为Φ，称为耗散热。则为单位时间内黏性功产生的热能量为：

单位时间内，微元体内能的增加量为：

为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单位体积所生成的代入原式，消去dxdydz，整理后可得：

12.2对流换热微分方程对于不可压缩流体(或固体)，可认为dU=cVdT，并且cV≈cP，于是：

代入原式，消去dxdydz，整理后可得：12.2方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函数，对一般工程问题可忽略不计。于是可变为：

如果流体的导热系数λ为常数，且流体无内热源，即qv=0，则可进一步简化为：此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内热源不可压缩流体的对流换热分析。称为导温系数，单位是m2/s。12.2对流换热微分方程方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函数，对一般工程

(3)连续性方程根据动量传输理论，不可压缩流体(ρ为常数)的连续性方程为：

(4)运动(动量传输)方程不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程为：

12.2对流换热微分方程

换热方程式、热量传输方程式、连续性方程式和运动(动量传输)方程式。(3)连续性方程(4)运动(动量传输)方程12这四个方程总称为对流换热微分方程组，是求解对流换热系数的基本方程。如果将物性(ρ、λ、μ、ν)视为常数，求解对流换热系数的基本途径是：①

由连续性方程和动量传输方程，结合定解条件，求出速度场；②由热量传输方程，结合定解条件，求出温度场；③由换热微分方程求出局部对流换热系数。对流换热微分方程组描述了对流换热过程所具有的共性，是对流换热过程的一般描述。

12.2对流换热微分方程这四个方程总称为对流换热微分方程组，是求解对流换热系数的基单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，必须给出具体问题的特定条件才能得到特定的解，描述对流换热的具体条件称为定解条件。用分析法求解对流换热问题是非常困难的，直到普朗特提出了边界层理论，并用数量级分析方法对微分方程组进行了简化，其数学分析解才真正得到。只有在几何形状和边界条件均简单的层流稳态流动条件下，对流换热问题才可以得到精确的解。12.2对流换热微分方程单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，必须给出具体问题的特(1)温度(热)边界层固体表面附近流体温度发生剧烈变化的薄层称为温度边界层(热边界层)，其厚度记为δT。对于对流换热，类似于速度边界层的定义，在热量传输中通常将T＝Tw＋0.99(T∞－Tw)定义为δT的外边界。12.3对流换热边界层微分方程组(1)温度(热)边界层12.3对流换热边界层微分方程

层流时，流体分层流动，相邻层间无流体的宏观运动，因而在壁面法线方向上热量的传递只能依靠流体内部的导热。湍流时，流动边界层可分为层流底层、缓冲层和湍流核心层。热边界层和流动边界层既有联系又有区别。一般说，流动边界层总是从入口处(x=0)开始发展，而热边界层则不一定，它仅存在于壁面与流体间有温差的地方。此外热边界厚度与流动边界层厚度也不一定相等，它们之间的关系主要决定于流体的状态。12.3对流换热边界层微分方程组层流时，流体分层流动，相邻层间无流体的宏观运动，因而在壁面

(2)边界层对流换热微分方程组

二维对流换热问题可采用数量级分析方法，将方程式中数量级较小的项舍去，实现方程的合理简化,

通过比较各项的大小(普朗特的方法)由于dP/dx=0，可以得到边界层对流换热的微分方程组：四个方程包括四个未知数：υx、υy、T、a，加上定解条件可以求解。12.3对流换热边界层微分方程组(2)边界层对流换热微分方程组四个方程包括四个未知数：12.4.1平板层流换热的分析解需要满足的条件：①方程式中二阶微分项的系数必须相等，这就需要ν=a或Pr=1。②温度边界条件必须与速度边界条件相适应。为此，只需将独立变量T换成(T-Tw)/(T∞-Tw)。

替换

中的

12.4对流换热边界层微分方程组的分析解应用布拉修斯的结果，可得到：12.4.1平板层流换热的分析解12.4对流换热边界由换热微分方程得：式中Nux称为局部努塞尔特数。波尔豪森研究了Pr不为1时的影响：代入流换热系数表达式。在y=0处，温度梯度为：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解可得温度梯度：由换热微分方程得：式中Nux称为局部努塞尔特数。波尔豪对上式积分可得：对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系数α，可用αx沿全板长从0到L积分：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解由换热微分方程得：对上式积分可得：对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系12.4.2液体金属流过平板时的对流换热对液体金属沿平板流动时的热边界层，假定热边界层内整个截面上的实际流速可用主流速度来表示。一维非稳态导热微分方程：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解这样，液体金属流过平板的对流换热问题，可看作半无限大物体(指液体金属)，且表面温度为常数的非稳态导热问题。以上对流换热系数计算公式适用于恒壁温，平板层流边界层的情况，应用范围为：0.6<Pr<50，Re<5×105。12.4.2液体金属流过平板时的对流换热12.4对流公式中的误差函数既可由表11-2，也可用收敛级数计算。对于很小的η值(即当y→0时)，取级数首项就可满足要求：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解

将T对y求导，并代入公式得：

公式中的误差函数既可由表11-2，也可用收敛级数计算。对于很考虑图中虚线所示的控制体，它适用于平行流过无压力梯度的平面。积分形式的热力学第一定律公式可写为：12.5对流换热边界层积分方程组近似解在稳定状态及重力影响不大的情况下有：考虑图中虚线所示的控制体，它适用于平行流过无压力梯度的平面完整的热量表达式为：12.5对流换热边界层积分方程组近似解假设以Δx除上式两边，并取Δx趋近于零的极限，可得：：对于给定边界条件：假设温度变化为幂级数形式：完整的热量表达式为：12.5对流换热边界层积分方程组局部的换热系数和努塞尔数分别为：12.5对流换热边界层积分方程组近似解假设温度变化为幂级数形式，并且在满足一定边界条件的情况下，可得表达式：可以得到温度边界层的厚度：根据平均和局部换热系数的关系：局部的换热系数和努塞尔数分别为：12.5对流换热边界层12.5对流换热边界层积分方程组近似解例题14℃的空气以1m/s的速度流过一块宽1m，长1.5m的平板，试求为使平板均匀保持50℃所需供给的热量。解：空气的定性温度为：查相关表可得空气在27℃时，ν=15.72×10-6m2/s；λ=0.02648W/(m℃)；Pr=0.697。首先计算雷诺数以判断流动状态。12.5对流换热边界层积分方程组近似解例题14℃的由于平板两侧面均以对流方式散热，因此，供给平板的热量应为：因ReL小于临界雷诺数，故全板长的边界层均为层流。利用热边界层厚度公式可求得平均给热系数。12.5对流换热边界层积分方程组近似解如果按国外最近出版的书中的公式计算：

由于平板两侧面均以对流方式散热，因此，供给平板的热量应为：从对流换热机理及影响因素入手，阐述了对流换热的数学表达式和求解的方法。对流换热过程可以用一组微分方程来描述。其中换热微分方程是直接用来求解换热系数的方程,能量微分方程描述流体内的温度分布,动量微分方程和连续方程描述流体内的速度分布。对流换热微分方程组仅在层流条件下可以用分析方法求解。普朗特根据边界层理论，应用数量级分析方法，建立了边界层微分方程组。边界层积分方程组是求解对流换热的一种近似方法。以平板层流换热为例，由积分方程求解出流动边界层和热边界层的厚度，从而求出换热系数及特征数方程式。12.6小结从对流换热机理及影响因素入手，阐述了对流换热的数学表达式和求第十二章对流换热的基本方程和分析解第十二章12.1对流换热概述12.2对流换热微分方程组12.3对流换热边界层微分方程组12.4对流换热边界层微分方程组的分析解12.5对流换热边界层积分方程近似解12.6小结第12章对流换热的基本方程和分析解12.1对流换热概述第12章对流换热的基本方程和分析解流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运动而发生的热量传递过程称为对流换热。对流换热与热对流的区别：①热对流是传热的三种基本方式之一，但对流换热不是；②对流换热是导热和对流这两种基本传热方式的综合；③对流换热必然涉及流体与不同温度的固体壁面(或液面)之间的相对运动。12.1对流换热概述流体与不同温度的固体壁面接触时，因相对运动而发生的热量传递综合以上分析，可将对流换热系数α与各影响因素写成如下函数关系：式中，Ψ为壁面的几何因素。12.1对流换热概述对流换热是流体的导热和对流共同作用的结果，其影响因素主要有：①流体流动的起因②流体有无相变③流体的流动状态④流体的物理性质⑤换热表面(指固体)的几何因素综合以上分析，可将对流换热系数α与各影响因素写成如下函数关(1)换热微分方程由于在贴壁处流体受到黏性的作用，没有相对于壁面的流动，因此被称为贴壁处的无滑移边界条件。将傅里叶定律应用于贴壁流体层，与牛顿冷却公式联系，得换热微分方程：式中,为贴壁处流体的法向温度变化率，℃/m；λ为流体的导热系数，W/(m·℃)；△T为传热面上的平均温度差，℃，α为对流换热系数，W/(m2·℃)。12.2对流换热微分方程(1)换热微分方程式中,(2)热量传输微分方程推导依据是能量守恒定律，采用微元体分析法，假定流体不可压缩，微元体只有内能发生变化，忽略位能、动能的变化。12.2对流换热微分方程对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。微元体获得的热能有：一是通过微元体界面从外界以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热源产生。(2)热量传输微分方程12.2对流换热微分方程对于对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。

微元体获得的热能：一是由微元体界面从外界以对流和导热方式得到；二是由微元体的内热源产生。微元体在热量传输过程的热力学第一定律为：

12.2对流换热微分方程Q1为单位时间内通过对流传入微元体净热量；Q2为单位时间内通过导热传入微元体的净热量；Q3为单位时间内微元体内热源生成的热量；Q4为单位时间里外界对微元体作黏性功产生的摩擦热；Q5为单位时里内微元体内能的增加量。单位都是J/s。对于不可压缩流体，不存在体积功，只有黏性力作功产生摩擦热。在x方向，由于流体流动，单位时间内从EFGH面对流传入和从ABCD面对流传出的热量分别为（U为每千克流体的内能）：12.2对流换热微分方程在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为

在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为：同理，可写出y和z方向在单位时间内对流传入微元体的净热量。因此，单位时间内对流净传入微元体的总热量为：在x方向，由于流体流动，单位时间内从EFGH面对流传入和从由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程为12.2对流换热微分方程在x方向，单位时间内对流传入微元体的净热量为导热传入微元体的热量可按傅里叶定律计算，在λ不为常数的情况下，单位时间内通过导热传入微元体的净热量为：

由动量传输可知，对于不可压缩流体，其连续性方程为12.2为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单位体积所生成的热量为内热源强度，用qv

表示。于是单位时间内微元体内热源生成的热量为：

12.2对流换热微分方程外界流体对微元体所做黏性功的推导比较复杂，令单位体积流体由于黏性力作用产生的摩擦热速率为Φ，称为耗散热。则为单位时间内黏性功产生的热能量为：

单位时间内，微元体内能的增加量为：

为计算微元体内热源产生的热量，定义单位时间、单位体积所生成的代入原式，消去dxdydz，整理后可得：

12.2对流换热微分方程对于不可压缩流体(或固体)，可认为dU=cVdT，并且cV≈cP，于是：

代入原式，消去dxdydz，整理后可得：12.2方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函数，对一般工程问题可忽略不计。于是可变为：

如果流体的导热系数λ为常数，且流体无内热源，即qv=0，则可进一步简化为：此式称为傅里叶-克希荷夫导热微分方程，适用于无内热源不可压缩流体的对流换热分析。称为导温系数，单位是m2/s。12.2对流换热微分方程方程中最后一项耗散热是流体黏度和剪切应变率的函数，对一般工程

(3)连续性方程根据动量传输理论，不可压缩流体(ρ为常数)的连续性方程为：

(4)运动(动量传输)方程不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程为：

12.2对流换热微分方程

换热方程式、热量传输方程式、连续性方程式和运动(动量传输)方程式。(3)连续性方程(4)运动(动量传输)方程12这四个方程总称为对流换热微分方程组，是求解对流换热系数的基本方程。如果将物性(ρ、λ、μ、ν)视为常数，求解对流换热系数的基本途径是：①

由连续性方程和动量传输方程，结合定解条件，求出速度场；②由热量传输方程，结合定解条件，求出温度场；③由换热微分方程求出局部对流换热系数。对流换热微分方程组描述了对流换热过程所具有的共性，是对流换热过程的一般描述。

12.2对流换热微分方程这四个方程总称为对流换热微分方程组，是求解对流换热系数的基单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，必须给出具体问题的特定条件才能得到特定的解，描述对流换热的具体条件称为定解条件。用分析法求解对流换热问题是非常困难的，直到普朗特提出了边界层理论，并用数量级分析方法对微分方程组进行了简化，其数学分析解才真正得到。只有在几何形状和边界条件均简单的层流稳态流动条件下，对流换热问题才可以得到精确的解。12.2对流换热微分方程单凭对流换热微分方程组不能解出未知函数，必须给出具体问题的特(1)温度(热)边界层固体表面附近流体温度发生剧烈变化的薄层称为温度边界层(热边界层)，其厚度记为δT。对于对流换热，类似于速度边界层的定义，在热量传输中通常将T＝Tw＋0.99(T∞－Tw)定义为δT的外边界。12.3对流换热边界层微分方程组(1)温度(热)边界层12.3对流换热边界层微分方程

层流时，流体分层流动，相邻层间无流体的宏观运动，因而在壁面法线方向上热量的传递只能依靠流体内部的导热。湍流时，流动边界层可分为层流底层、缓冲层和湍流核心层。热边界层和流动边界层既有联系又有区别。一般说，流动边界层总是从入口处(x=0)开始发展，而热边界层则不一定，它仅存在于壁面与流体间有温差的地方。此外热边界厚度与流动边界层厚度也不一定相等，它们之间的关系主要决定于流体的状态。12.3对流换热边界层微分方程组层流时，流体分层流动，相邻层间无流体的宏观运动，因而在壁面

(2)边界层对流换热微分方程组

二维对流换热问题可采用数量级分析方法，将方程式中数量级较小的项舍去，实现方程的合理简化,

通过比较各项的大小(普朗特的方法)由于dP/dx=0，可以得到边界层对流换热的微分方程组：四个方程包括四个未知数：υx、υy、T、a，加上定解条件可以求解。12.3对流换热边界层微分方程组(2)边界层对流换热微分方程组四个方程包括四个未知数：12.4.1平板层流换热的分析解需要满足的条件：①方程式中二阶微分项的系数必须相等，这就需要ν=a或Pr=1。②温度边界条件必须与速度边界条件相适应。为此，只需将独立变量T换成(T-Tw)/(T∞-Tw)。

替换

中的

12.4对流换热边界层微分方程组的分析解应用布拉修斯的结果，可得到：12.4.1平板层流换热的分析解12.4对流换热边界由换热微分方程得：式中Nux称为局部努塞尔特数。波尔豪森研究了Pr不为1时的影响：代入流换热系数表达式。在y=0处，温度梯度为：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解可得温度梯度：由换热微分方程得：式中Nux称为局部努塞尔特数。波尔豪对上式积分可得：对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系数α，可用αx沿全板长从0到L积分：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解由换热微分方程得：对上式积分可得：对宽为W、长为L的平板上的平均对流传热系12.4.2液体金属流过平板时的对流换热对液体金属沿平板流动时的热边界层，假定热边界层内整个截面上的实际流速可用主流速度来表示。一维非稳态导热微分方程：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解这样，液体金属流过平板的对流换热问题，可看作半无限大物体(指液体金属)，且表面温度为常数的非稳态导热问题。以上对流换热系数计算公式适用于恒壁温，平板层流边界层的情况，应用范围为：0.6<Pr<50，Re<5×105。12.4.2液体金属流过平板时的对流换热12.4对流公式中的误差函数既可由表11-2，也可用收敛级数计算。对于很小的η值(即当y→0时)，取级数首项就可满足要求：12.4对流换热边界层微分方程组的分析解

将T对y求导，并代入公式得：

公式中的误差函数既可由表11-2，也可用收敛级数计算。对于很