控制图理论教材课件

统计过程控制

StatisticalProcessControl

管理学院统计过程控制

Statistical目录第一节统计控制过程概述第二节控制图原理第三节过程能力与过程能力指数第四节分析用控制图与控制用控制图第五节常规控制图的做法及应用目录第一节统计控制过程概述第一节一统计过程控制(SPC）的涵义统计过程控制（StatisticalProcessControl）是为了贯彻预防原则，应用统计技术对过程中的各个阶段进行评估和监察，建立并保持过程处于可接受的并且稳定的水平，从而保证产品与服务符合规定的要求的一种技术。一统计过程控制(SPC）的涵义二SPC的特点1强调全员参加2强调运用统计方法3强调从整个过程、整个体系出发来解决问题二SPC的特点1强调全员参加三SPC的三个发展阶段1．第一阶段为SPC。SPC是美国休哈特在20世纪二、三十年代所创造的理论，它能以便人们采取措施，消除异常，恢复过程的稳定。这就是所科学地区分出生产过程中产品质量的偶然波动与异常波动，从而对过程的异常及时告警，这就是所谓统计过程控制。三SPC的三个发展阶段2．第二个阶段为SPD。

SPD是英文StatisticalProcessDiagnosis的字首简称，即统计过程控制与诊断。SPC虽然能对过程的异常进行告警，但是它并不能告诉我们是什么异常，发生于何处，即不能进行诊断。1982年我国张公绪首创两种质量诊断理论，突破了传统的美国休哈特质量控制理论，开辟了统计质量诊断的新方向。从此SPC上升为SPD，SPD是SPC的进一步发展，也是SPC的第二个发展阶段。2．第二个阶段为SPD。3．第三个阶段为SPA。

SPA也是英文StatisticalProcessAdjustment的字首简称，即统计过程控制、诊断与调整。正如同病人确诊后要进行治疗，过程诊断后自然要加以调整，故SPA是SPD的进一步发展，也是SPC的第三个发展阶段。3．第三个阶段为SPA。第二节控制图原理第二节控制图原理一控制图的结构

控制图是对过程质量加以测定、记录、评估从而监察过程是否处于控制状态的一种用统计方法设计的图。图上有中心线(CL)、上控制界限(UCL)和下控制界限(LCL)，并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列，参见控制图示例图。一控制图的结构控制图中包括三条线控制上限（UpperControlLimit;UCL)中心线(CenterLine;CL)控制下限（LowerControlLimit;LCL)控制图中包括三条线二控制图的形成中心线（CL):μ上控制线/限（UCL):μ+3σ下控制线/限（LCL):μ-3σ右转90度3σ3σμ+3σμ-3σμμ99.73%二控制图的形成中心线（CL):μ3σ3σμ+3根据样本特性推断总体规律的理论基础是概率论中的大数定理和中心极限定理。

大数定理揭示的是大量试验中随机变量的平均结果。中心极限定理揭示的是随机变量的分布规律。在一定条件下，大量相互独立的随机变量值和的概率分布趋近于正态分布。根据样本特性推断总体规律的理论基础是概三控制图原理的第一种解释

为了控制螺丝的质量，每隔1小时随机抽取一个螺丝，测量其直径，将结果描点在控制图中，并用直线段将点子连结，以便于观察点子的变化趋势。由图可看出，前三个点子都在控制界内，但第四个点子超出上控制界。为了醒目，把它用小圆圈圈起来，表示这个机螺丝的直径过分粗了，应引起注意。现在对这第四个点子，应作何判断？三控制图原理的第一种解释两种可能性：①在生产正常的条件下，根据正态分布的结论，点子超出上控制界的概率只有1‰左右，可能性非常小。②在生产不正常的条件下，例如，由于车刀磨损，机螺丝直径将逐渐变粗，μ增大，分布曲线将上移，这时分布曲线超出上控制界那部分面积(用阴影区表示)可能达到千分之几十、几百，比1‰大得多，结论：点子出界就判断异常。两种可能性：

用数学语言来说，即根据小概率事件原理，小概率事件实际上不发生，若发生则判断异常。用数学语言来说，即根据小概率事件原理，

在控制图上描点，实质上就是进行统计假设检验，即检验假设Ｈ０:μ=10.00Ｈ１:μ≠10.00而控制图的上、下控制界即为接受域与拒绝域的分界限，点子落在上、下界限之间，表明Ｈ０可接受，点子落在上、下界限之外，表明Ｈ０应拒绝。在控制图上描点，实质上就是进行统计假设检验，即检验假四控制图原理的第二种解释

换个角度再来研究控制图的原理。从对质量的影响大小来看，质量因素可分成偶然因素(简称偶因)与异常因素(简称异因)两类。偶因引起质量的偶然波动(简称偶波)，异因引起质量的异常波动(简称异波)。偶波是不可避免的，但对质量的影响微小。异波则不然，它对质量的影响大，且采取措施不难消除，故在过程中异波及造成异波的异因是我们注意的对象，一旦发生，就应该尽快找出，采取措施加以消除。四控制图原理的第二种解释

偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？经验与理论分析表明，当生产过程中只存在偶波时，产品质量将形成某种典型分布。

例如，在车制螺丝的例子中形成正态分布。如果除去偶波外还有异波，则产品质量的分布必将偏离原来的典型分布。

偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？

因此，根据典型分布是否偏离就能判断异波，即异因是否发生，而典型分布的偏离可由控制图检出。在上述车制螺丝的例子中，由于发生了车刀磨损的异因，螺丝直径的分布偏离了原来的正态分布而向上移动，于是点子超出上控制界的概率大为增加，从而点子频频出界，表明存在异波。控制图上的控制界限就是区分偶波与异波的科学界限。因此，根据典型分布是否偏离就能判断异

根据上述，可以说休哈特控制图即常规控制图的实质是区分偶然因素与异常因素两类因素。

★控制界限是根据过程自己的数据计算出来的控制界限是根据+/-3s算出来的产品的规格界限不是

从控制图上找到的控制图理论教材课件★规格界限与控制界限的区别规格界限：区分合格品与不合格品控制界限：区分正常波动与异常波动★规格界限与控制界限的区别

1)将规格界限放在控制图中2)把控制界限UCL/LCL当成规格界限当你按以上情况做控制图时，它就成为了检查工具-不再是控制图了★在作控制图中易犯的两大错误1)将规格界限放在控制图中★在作五控制图是如何贯彻预防原则的

1应用控制图对生产过程不断监控，当异常因素刚一露出苗头，甚至在未造成不合格品之前就能及时被发现。例如，在控制图重点子形成倾向图中点子有逐渐上升的趋势，所以可以在这种趋势造成不合格品之前就采取措施加以消除，起到预防的作用。五控制图是如何贯彻预防原则的

2在现场，更经常的情况是控制图上点子突然出界，表明异因已经发生，这时必须查处异因，采取措施，加以消除。

控制图的作用：即时告警2在现场，更经常的情况是控制图上点子突然出界，表明异因已

3由于异因只有有限多个，故经过有限次循环查找异因后，最终可以达到这样一种状态:在过程中只存在偶因而不存在异因。这种状态称为统计控制状态或稳定状态，简称稳态。

3由于异因只有有限多个，故经过有限次循环查找异因后

稳态是生产过程追求的目标，因为

①在稳态下生产，对质量有完全的把握（通常，控制图的控制界限都在规范限制内，故至少有99.73%的产品是合格品）②生产也是最经济的（偶因和异因都可以造成不合格品，但是偶因造成的不合格品极少，在3σ控制原则下只有0.27%主要是由异因造成的。故在控制状态下所产生的不合格品最少，生产最经济）。稳态是生产过程追求的目标，因为六控制图的两类错误

控制图利用抽查对生产过程进行监控,因而是十分经济的。但既是抽查就不可能不犯错误。六控制图的两类错误

1虚发警报的错误,也称第I类错误。在生产正常的情况下,纯粹出于偶然而点子出界的概率虽然很小,但总还不是绝对不可能发生的。因此,在生产正常、点子出界的场合,根据点子出界就判断生产异常就犯了虚发警报的错误或第I类错误,发生这种错误的概率通常记以α。第一类错误将造成寻找根本不存在的异因的损失。1虚发警报的错误,也称第I类错误。在生产正常的情况下,纯

2漏发警报的错误,也称第Ⅱ类错误。在生产异常的情况下,产品质量的分布偏离了典型分布,但总还有一部分产品的质量特性值是在上下控制界之内的。如果抽到这样的产品进行检测并在控制图中描点,这时由于点子未出界而判断生产正常就犯了漏发警报的错误或第Ⅱ类错误,发生这种错误的概率通常记以β。第二类错误将造成不合格品增加的损失。

2漏发警报的错误,也称第Ⅱ类错误。在生产异常的情况下,

３如何减少两类错误所造成的损失由于控制图是通过抽查来监控产品质量的,故两类错误是不可避免的。在控制图上,中心线一般是对称轴,所能变动的只是上下控制限的间距。若将间距增大,则α减小而β增大,反之,则α增大而β减小。因此,只能根据这两类错误造成的总损失最小来确定上下控制界限。经验证明休哈特所提出的3σ方式所好最经济。３如何减少两类错误所造成的损失七3σ方式

长期实践经验证明,3σ方式即UCL=μ+3σCL=μLCL=μ-3σ就是两类错误造成的总损失较小的控制界限。式中,μ为总体均值，σ为总体标准差。美国、日本和我国等大多数国家都采用3σ方式的控制图。七3σ方式★μ和σ为统计量的总体参数。

总体参数是不可能精确知道的，应用时只能通过已知的数据来加以估计，即通过样本统计量，这就是一个参数估计的步骤。★μ和σ为统计量的总体参数。

第三节过程能力与过程能力指数第三节一过程能力

过程能力是指过程加工质量方面的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，是稳态下的最小波动。当过程处于稳态时，产品的计量质量特性值有99.73％落在μ+/-3s

的范围内，故常用６倍标准差表示过程能力，它的数值越小越好。一过程能力二过程能力指数

过程能力用过程能力指数来加以量化。二过程能力指数１无偏移的过程能力指数定义为：Cp=T/6σT=（Tu-TL)即为技术规范的规范幅度Tu：技术公差上限TL：技术公差下限σ：总体标准差（注意估计必须在稳态下进行）

１无偏移的过程能力指数定义为：

在计算公式中，Ｔ反映了对产品的技术要求，而σ反映了对过程加工的一致性，所以在过程能力指数中将6σ与Ｔ相比较，就反映了过程加工能力满足产品技术要求的程度。Cp值越大，表示加工质量越高。对于高质量、高可靠性的“6σ控制原则”情况，甚至要求Cp达到2.0以上。在计算公式中，Ｔ反映了对产品的技术要求，而σ反映了对

２有偏移的过程能力指数定义为：Cpk=(１－Ｋ)Cp=(１－Ｋ)T/６σ其中Ｋ=２ε／Ｔ，ε=|M-μ|6σTεTLTU

Mu２有偏移的过程能力指数定义为：6σTεTL对于过程能力制定了如下表的评价参考级别工序能力指数不合格品率工序能力评价ⅠCp≥1.67P≤0.00006%工序能力过于充分Ⅱ1.33≤Cp<1.670.00006%<p≤0.006%工序能力充分Ⅲ1.00≤Cp<1.330.006%<p≤0.27%工序能力尚可Ⅳ0.67≤Cp<1.000.27%<p≤4.45%工序能力不足ⅤCp<0.67p≥4.45%工序能力严重不足对于过程能力制定了如下表的评价参考级别工序能力指数不合格品率

第四节分析用控制图与控制用控制图

第四节控制图的作用:主要是针对生产过程影响产品质量的各种因素进行控制,通过控制图来判断生产过程是否异常,而使生产过程达到统计控制状态,做到预防为主,把影响产品质量的诸多因素消灭在萌芽状态,以保证质量,降低成本,提高生产效率,提高经济效益的目的.控制图的作用:一分析用控制图和控制用控制图●分析用控制图应用控制图时，首先将非稳态的过程调整到稳态，用分析控制图判断是否达到稳态。确定过程参数。目的：1、分析过程是否为统计控制状态？2、过程能力指数是否满足要求？一分析用控制图和控制用控制图●控制用控制图主要用来管理工序使之经常保持在统计控制状态下,当根据分析用控制图判明生产过程已经处于控制状态时,即达到稳态后，延长控制图的控制线作为控制用控制图。在产品生产过程中,定期抽取部分样本进行检验,遇到问题查明异常,采取措施予以消除,保持所确定的稳定状态。●控制用控制图

实施上述分析用控制图与控制用控制图的过程实际上就是不断进行质量改进的过程。从数学的角度看，分析用控制图的阶段就是过程参数未知的阶段，而控制用控制图的阶段则是过程参数已知的阶段。实施上述分析用控制图与控制用控制★分析用控制图与控制用控制图异同点：分析用控制用计算控制界限需无收集样本至少25件1件样本分析时间25件以后每件以后目的了解状态是否受控；能力能否满足保持状态★分析用控制图与控制用控制图异同点：分析用控制用计算控制做分析用控制图是否稳态计算Cp是否符合要求做控制用控制图定期抽样打点异常否查明原因调整过程删除异常点，重新计算否是否是是否做分析用控制图是否稳态计算Cp是否符合要求做控制用控制图定期二、判断稳态的准则

在统计量为正态分布的情况下,由于第I类错误的概率α=0.27%,取得很小,所以只要有一个点子在界外就可以判断有异常。但既然α很小,第Ⅱ类错误的概率β就大,只根据一个点子在界内远不能判断生产过程处于稳态。二、判断稳态的准则

如果连续有许多点子,如25个点子,全部都在控制界限内,情况就大不相同。这时,根据概率乘法定理,总的β为β总=β25,要比β减小很多。如果连续在控制界内的点子更多,则即使有个别点子出界,过程仍可看作是稳态的,这就是判稳准则的基本原理。如果连续有许多点子,如25个点子,全部判稳准则:

在点子随机排列的情况下,符合下列各点之一就认为过程处于稳态:(1)

连续25个点子都在控制界限内;(2)

连续35个点子至多1个点子落在控制界限外;(3)

连续100个点子至多2个点子落在控制界限外。

判稳准则:分析准则(2)。若过程正常为正态分布,令d为界外点数,则连续35点,d≤1的概率为P(连续35点,d≤1)=C035

(0.9973)35+C135(0.9973)34(0.002）=0.9959P(连续35点,d>1)=1一P(连续35点,d≤1)=1-0.9959=0.0041因此,若过程处于稳态,则连续35点,在控制界外的点子超过1个点(d>1)的事件为小概率事件,它实际上不发生,若发生则判断过程失控。

分析准则(2)。三、判断异常的准则

为了增加控制图使用者的信心,第I类错误的概率α取为α0=0.0027,很小,于是第Ⅱ类错误的概率β就一定很大,针对这一点,即使对于在控制界限内的点子也要观察其排列是否随机。若界内点排列非随机,则判断异常。这就是判异准则的基本原理。三、判断异常的准则

国标GB/T4091-2001《常规控制图》中规定了8种判异准则。为了应用这些准则，将控制图等分为6个区域，每个区宽1σ。需要指明的是这些判异准则主要适用于X和单值X图。国标GB/T4091-2001《常规控准则1一点落在A区外由休哈特在1931年提出，其物理意义十分明显，甚至成为唯一的判异准则。ABCCBAUCLXbarLCL准则1一点落在A区外ABCCBAUCLXbarLCL准则2(连续九点落在中心线同侧)通常是为了补充准则1而设计的,主要由于分布的μ值逐渐减小的缘故ABCCBAUCLXbarLCL准则2(连续九点落在中心线同侧)ABCCBAUCLXbar准则3(连续六点递增或递减)此准则是针对平均值的趋势进行设计的,判断平均值变化的趋势比准则2更为灵敏ABCCBAUCLXbarLCL准则3(连续六点递增或递减)ABCCBAUCLXbarLC准则4(连续十四点中相邻两点上下交替)出现本准则的现象是由于轮流使用两台设备或两位操作人员轮流进行操作而引起的效应ABCCBAUCLXbarLCL准则4(连续十四点中相邻两点上下交替)ABCCBAUCLX准则5(连续三点中有两点落在中心线同一侧的B区以外)过程平均值的变化通常可由本准则判定,它对于变异的增加也较为灵敏.ABCCBAUCLXbarLCL准则5(连续三点中有两点落在中心线同一侧的B区以外)ABCC

准则6：5点中有4点在中心线同侧的C区外

本准则对于过程平均值的变化也是较为灵敏的.出现本准则的现象是由于参数μ发生了变化ABCCBAUCLXbarLCL

准则6：5点中有4点在中心线同侧的C区外

ABCCBAU准则7：15点在C区中心线上下出现本准则的现象是由于参数σ变小.其图形外表具有迷惑性,应该注意到其非随机性.现象原因可能是数据虚假或是分层不够.ABCCBAUCLXbarLCL准则7：15点在C区中心线上下ABCCBAUCLXbarL准则8：6点在中心线两侧，但无一点在C区

造成本现象的主要原因是数据分层不够.ABCCBAUCLXbarLCL准则8：6点在中心线两侧，但无一点在C区

ABCCBAUCL判异准则的小结表判异准则针对对象控制图上的控制范围1.点出界界外点控制界限以外2.链长≥9参数的μ变化控制界限内全部3.连续六点倾向参数μ随时间的变化控制界限内全部4.连续十四点中相邻点上下交替数据分层不够数据分层不够5.连续三点中有两点落在中心线同一侧的B区以外参数的μ变化控制图A区6.5点中有4点在中心线同侧的C区外参数的μ变化控制图B区7.15点在C区中心线上下参数σ变小或数据分层不够控制图c区或数据分层不够8.8点在中心线两侧，但无一点在C区数据分层不够数据分层不够判异准则的小结表判异准则针对对象控制图上的控制范围1.点出概率计算证明：准则2：在过程正常为正态分布的情况下,点子在控制图控制界限内中心线指定的一侧出现的概率为0.9973/2,则在控制图中心线一侧出现长为7的链的概率为

P{中心线一侧出现长为9的链}=2=0.0038

概率计算证明：

概率计算：准则3：

令yi,i=1,2,...,n为界内点的纵坐标,下标i为标点序号,则n个界内点高低排列的所有可能的事件共有=n!

个,其中对倾向有利的事件只有两个,即y1＜y2＜...＜yn(上升有利事件)y1＞y2＞...＞yn（下降有利事件）由此得

P{6点倾向}==0.00273概率计算：

第五节常规控制图的做法及应用第五节控制图的分类常规的控制图主要有两种类型:计量控制图和计数控制图.每种类型的控制图又有为未给定标准值和给定标准值两种不同的情形.标准值即为规定的要求或目标值(如下表所示)控制图的分类常规的控制图主要有两种类型:计量控制图和计数控制计量控制图与计数控制图的类型计量值控制图均值极差X-R控制图均值标准差X-S控制图中位数极差控制图单值移动极差X-MR控制图

计数值控制图不合格品率P控制图不合格品数NP控制图不合格数C控制图单位不合格数U控制图计量控制图与计数控制图的类型计量值控制图计数值控制图计量型数据控制图分类计量型数据控制图分类计数型数据控制图分类计数型数据控制图分类常规计量控制图控制限公式统计量标准值未给定标准值给定中心线上控制限与下控制限中心线上控制限与下控制限XXX±A2R或X±A3SX。或μx±Aσ。RRD3R,D4RR或d2σ。D2σ。,D3σ。SSB3S,B4Ss。或c4σ。B5σ。,B6σ。注:X。,R。,S。,μ,σ。为给定的标准值常规计量控制图控制限公式统计量标准值未给定标准值给定中心线上常规计数控制图的控制限公式统计量标准值未定标准值给定中心线上控制限与下控制限中心线上控制限与下控制限ppp±3√p(1-p)／np1p1±3√p1(1-p1)／nnpnpnp±3√np(1-p)np1np1±3√np1(1-p1)ccc±3√cc1c1±3√c1μμμ±3√μ／nμ1μ1

±3√μ1／n注:p1np1c1和μ1为给定的标准值常规计数控制图的控制限公式统计量标准值未定标准值给定中心线计量型数据控制图使用计量型数据的控制图，X-R图最典型应用广泛：多数过程输出为可测量的特性量化的值包含信息多检查件数少，测量费用相对低反馈信息快，缩短生产和纠正措施的时间间隔有利于寻求持续改进

种类有X-R、X-s、和X-MR图计量型数据控制图计数型数据控制图计数数据只有两个值：合格/不合格，成功/失败；特性可测量，但其结果只用于判断合格/不合格；计数控制图很重要：计数数据存在于任何技术和行政管理；多数情况数据已在检验报告等记录中，只在于收集；许多管理总结报告是计数型的且可从控制图中获益；与计量型控制图联合使用，解决关键的总体质量问题；种类有p图、np图、c图、u图计数型数据控制图确定统计量取预备数据计算均值极差计算R图控制线并作图将预备数据点绘在R图计算X图控制线并作图延长控制图控制线，作控制用控制图状态判断非稳态稳态状态判断非稳态稳态计算过程能力指数满足不满足继续调整过程流程图：均值极差控制图的操作步骤确定统计量取预备数据计算均值极差计算R图控制线并作图将预备数计量控制图示例(X-R图):标准值未给定情形例：某手表厂为了提高手表的质量，应用排列图分析造成手表不合格的各种原因，发现“停摆”占第一位，再次应用排列图分析造成停摆的原因，结果发现主要是螺栓脱落造成的，为此厂方决定应用控制图对装配作业的螺栓扭矩进行过程控制。计量控制图示例(X-R图):标准值未给定情形分析：螺栓扭矩是一计量特征值，故可选用基于正态分布的计量控制图，我们决定选用灵敏度较高的X-R图。解：步骤一：取预备数据，然后将数据合理分成25个子组，见下表。步骤二：计算各组样本的平均数Xi。例如第一组样本的平均值为：X1=(154+174+164+166+162)/5=164.0分析：螺栓扭矩是一计量特征值，故可选用基于正态分布的计量控制步骤三：计算各组样本的极差Ri。例如第一组样本的极差为:R1=max{X1j}-min{X1j}=174-154=20步骤四：计算样本总均值X与平均样本极差R。由于∑Xi=4081.8,∑R=357,故X=163.272R=14.280步骤三：计算各组样本的极差Ri。例如第一组样本的极差为:序号观察值i=1,…，25(6)Xi(7)Ri(8)Xi1(1)Xi2

(2)Xi3(3)Xi4(4)Xi5(5)1154174164166162820164202166170162166164828165.68………………………1316515914715315177515518………………………17151158154181168812162.430………………………25151160164158170803160.619序号Xi1Xi2Xi3Xi4Xi5步骤五：计算R图的参数。先计算R图的参数。当子组大小n=5，控制限系数D4=2.114，D3=0

(查表)代入R图的公式，得到：UCLR=D4R=2.114×14.280=30.188CLR=R=14.280LCLR=D3R=0极差控制图30.1880.00014.280步骤五：计算R图的参数。极差控制图30.1880.00014

分析上图，可见现在Ｒ图判稳。故接着建立Ｘ图。当ｎ＝５时，Ａ２＝０．５７７，再将Ｘ，Ｒ代入Ｘ图的公式，得到Ｘ图：ＵＣＬｘ＝Ｘ＋Ａ２Ｒ＝１７１．５１２ＣＬｘ＝Ｘ＝１６３．２７２ＬＣＬｘ＝Ｘ－Ａ２Ｒ＝１５５．０３２分析上图，可见现在Ｒ图判稳。故接着建立Ｘ图。当ｎ＝５时，Ａ均值控制图171.512163.272155.032均值控制图171.512163.272155.032第１３组Ｘ＜ＬＣＬＸ,过程的均值失控去掉１３组数据，重新计算参数Ｒ’=∑R/24=(357-18)/24=14.125X’=∑X/24=(4081.8-155.0)/24=163.617得到Ｒ图：UCLR=D4R’=2.114×14.125=29.860CLR=R’=14.125LCLR=D3R’=0从表可见，Ｒ图中第17组数据Ｒ＝30出界，舍去该组重新计算：Ｒ’’=∑R/23=(339-30)/23=13.435X’’=∑X/23=(3926.8-162.4)/23=163.670第１３组Ｘ＜ＬＣＬＸ,过程的均值失控UCLR=D4R’’=2.114×13.435=28.402CLR=R’’=13.435LCLR=D3R’’=－从表可见，Ｒ图可以判稳．接着再建立Ｘ图。ＵＣＬｘ＝Ｘ’’＋Ａ２Ｒ’’＝171.422ＣＬx＝Ｘ’’＝163.670ＬＣＬｘ＝Ｘ’’－Ａ２Ｒ’’＝155.918将其余２３组样本的极差值与均值分别打点于Ｒ图与Ｘ图上，此时过程的变异度与均值均处于稳态．UCLR=D4R’’=2.114×13.435=28均值控制图171.512163.272155.032均值控制图171.512163.272155.032步骤六：与规范进行比较。对于给定的质量规范TL=140,Tu=180,利用R和X计算Cp=R/d2=13.435/2.236=5.776Cp=（Tu-TL）/6×5.776=1.15由于X=163.760与容差中心M=160不重合，所以需要计算CPK。K=2|M-μ|/T=2|160-163.670|/(180-140)=0.18CPK=(1-K)Cp=(1-0.18)×1.15=0.94步骤六：与规范进行比较。可见，统计过程状态下的Cp为1.15>1，但是由于μ与M偏离，所以CPK<1。因此，应根据对手表栓扭矩的质量要求，确定当前的统计过程状态是否满足设计的、工艺的和顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。若需调整，那么调整数应重新收集为据，绘制X-R图。

步骤七：延长统计过程状态下的X-R图的控制限，进入控制用控制图阶段，实现对过程的日常控制。可见，统计过程状态下的Cp为1.15>P图

p控制图的统计控制状态是指过程的不合格品率为一常数P，且各个产品的生产是独立的。P图的统计基础是二项分布。若过程的参数未知，则对其估计为≈p=∑di/∑nidi为第i个样本的不合格品数ni是第i个子组的大小p为样本不合格品率的平均值P图于是P控制图的控制线为：UCLp=p+3CLp≈pLCLp=p-3于是P控制图的控制线为：计数控制图做图示例：标准未给定下的p图

例：在一个生产收音机晶体管的制造公司，决定建立不合格率p图．已经收集和分析了一个月的数据．每天生产结束后，在当天的产品中随机抽取一个样本，并检验其不合格品数．计数控制图做图示例：标准未给定下的p图子组号检验号不合格品数不合格品率UCLLCL1158110.0700.1170.0032140110.0790.1200.000314080.0570.1200.000………………17136180.1320.1210.000………………25144140.0970.1190.00126161200.1240.1160.004总计3893233收音机晶体管的p图初始数据子组号检验号不合格品数不合格品率UCLLCL1158110.P=233/3893=0.060对每个子组根据下式分别计算其ＵＣＬ和ＬＣＬ：

p±3

从表中观察到，第１７组和第２６组出界，剔除这两组并查找原因，此后根据保留下来的２４组计算出修正后的p：p=195/3596=0.054利用修正后的ＵＣＬ和ＬＣＬ，发现所有的不合格品率都位于其相应的控制限内．因此，修正后的p值就可作为建立控制图的标准不合格品率．即p0＝0.054P=233/3893=0.06

由于各子组大小对平均子组大小的偏离并非很大，而平均子组大小为１５０，所以可以用子组大小n＝１５０作为平均子组大小，来标绘修正后的p图(用p。=0.054)的上下控制限．ＣＬ＝p。=0.054UCL=0.109LCL=－修正后，过程处于统计控制状态．由于各子组大小对平均子组大小的偏离并非很大，而平均子组大小不合格品率UCL=0.109P0=0.054子组号不合格品率UCL=0.109P0=0.054子组号统计过程控制

StatisticalProcessControl

管理学院统计过程控制

Statistical目录第一节统计控制过程概述第二节控制图原理第三节过程能力与过程能力指数第四节分析用控制图与控制用控制图第五节常规控制图的做法及应用目录第一节统计控制过程概述第一节一统计过程控制(SPC）的涵义统计过程控制（StatisticalProcessControl）是为了贯彻预防原则，应用统计技术对过程中的各个阶段进行评估和监察，建立并保持过程处于可接受的并且稳定的水平，从而保证产品与服务符合规定的要求的一种技术。一统计过程控制(SPC）的涵义二SPC的特点1强调全员参加2强调运用统计方法3强调从整个过程、整个体系出发来解决问题二SPC的特点1强调全员参加三SPC的三个发展阶段1．第一阶段为SPC。SPC是美国休哈特在20世纪二、三十年代所创造的理论，它能以便人们采取措施，消除异常，恢复过程的稳定。这就是所科学地区分出生产过程中产品质量的偶然波动与异常波动，从而对过程的异常及时告警，这就是所谓统计过程控制。三SPC的三个发展阶段2．第二个阶段为SPD。

SPD是英文StatisticalProcessDiagnosis的字首简称，即统计过程控制与诊断。SPC虽然能对过程的异常进行告警，但是它并不能告诉我们是什么异常，发生于何处，即不能进行诊断。1982年我国张公绪首创两种质量诊断理论，突破了传统的美国休哈特质量控制理论，开辟了统计质量诊断的新方向。从此SPC上升为SPD，SPD是SPC的进一步发展，也是SPC的第二个发展阶段。2．第二个阶段为SPD。3．第三个阶段为SPA。

SPA也是英文StatisticalProcessAdjustment的字首简称，即统计过程控制、诊断与调整。正如同病人确诊后要进行治疗，过程诊断后自然要加以调整，故SPA是SPD的进一步发展，也是SPC的第三个发展阶段。3．第三个阶段为SPA。第二节控制图原理第二节控制图原理一控制图的结构

控制图是对过程质量加以测定、记录、评估从而监察过程是否处于控制状态的一种用统计方法设计的图。图上有中心线(CL)、上控制界限(UCL)和下控制界限(LCL)，并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列，参见控制图示例图。一控制图的结构控制图中包括三条线控制上限（UpperControlLimit;UCL)中心线(CenterLine;CL)控制下限（LowerControlLimit;LCL)控制图中包括三条线二控制图的形成中心线（CL):μ上控制线/限（UCL):μ+3σ下控制线/限（LCL):μ-3σ右转90度3σ3σμ+3σμ-3σμμ99.73%二控制图的形成中心线（CL):μ3σ3σμ+3根据样本特性推断总体规律的理论基础是概率论中的大数定理和中心极限定理。

大数定理揭示的是大量试验中随机变量的平均结果。中心极限定理揭示的是随机变量的分布规律。在一定条件下，大量相互独立的随机变量值和的概率分布趋近于正态分布。根据样本特性推断总体规律的理论基础是概三控制图原理的第一种解释

为了控制螺丝的质量，每隔1小时随机抽取一个螺丝，测量其直径，将结果描点在控制图中，并用直线段将点子连结，以便于观察点子的变化趋势。由图可看出，前三个点子都在控制界内，但第四个点子超出上控制界。为了醒目，把它用小圆圈圈起来，表示这个机螺丝的直径过分粗了，应引起注意。现在对这第四个点子，应作何判断？三控制图原理的第一种解释两种可能性：①在生产正常的条件下，根据正态分布的结论，点子超出上控制界的概率只有1‰左右，可能性非常小。②在生产不正常的条件下，例如，由于车刀磨损，机螺丝直径将逐渐变粗，μ增大，分布曲线将上移，这时分布曲线超出上控制界那部分面积(用阴影区表示)可能达到千分之几十、几百，比1‰大得多，结论：点子出界就判断异常。两种可能性：

用数学语言来说，即根据小概率事件原理，小概率事件实际上不发生，若发生则判断异常。用数学语言来说，即根据小概率事件原理，

在控制图上描点，实质上就是进行统计假设检验，即检验假设Ｈ０:μ=10.00Ｈ１:μ≠10.00而控制图的上、下控制界即为接受域与拒绝域的分界限，点子落在上、下界限之间，表明Ｈ０可接受，点子落在上、下界限之外，表明Ｈ０应拒绝。在控制图上描点，实质上就是进行统计假设检验，即检验假四控制图原理的第二种解释

换个角度再来研究控制图的原理。从对质量的影响大小来看，质量因素可分成偶然因素(简称偶因)与异常因素(简称异因)两类。偶因引起质量的偶然波动(简称偶波)，异因引起质量的异常波动(简称异波)。偶波是不可避免的，但对质量的影响微小。异波则不然，它对质量的影响大，且采取措施不难消除，故在过程中异波及造成异波的异因是我们注意的对象，一旦发生，就应该尽快找出，采取措施加以消除。四控制图原理的第二种解释

偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？经验与理论分析表明，当生产过程中只存在偶波时，产品质量将形成某种典型分布。

例如，在车制螺丝的例子中形成正态分布。如果除去偶波外还有异波，则产品质量的分布必将偏离原来的典型分布。

偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？

因此，根据典型分布是否偏离就能判断异波，即异因是否发生，而典型分布的偏离可由控制图检出。在上述车制螺丝的例子中，由于发生了车刀磨损的异因，螺丝直径的分布偏离了原来的正态分布而向上移动，于是点子超出上控制界的概率大为增加，从而点子频频出界，表明存在异波。控制图上的控制界限就是区分偶波与异波的科学界限。因此，根据典型分布是否偏离就能判断异

根据上述，可以说休哈特控制图即常规控制图的实质是区分偶然因素与异常因素两类因素。

★控制界限是根据过程自己的数据计算出来的控制界限是根据+/-3s算出来的产品的规格界限不是

从控制图上找到的控制图理论教材课件★规格界限与控制界限的区别规格界限：区分合格品与不合格品控制界限：区分正常波动与异常波动★规格界限与控制界限的区别

1)将规格界限放在控制图中2)把控制界限UCL/LCL当成规格界限当你按以上情况做控制图时，它就成为了检查工具-不再是控制图了★在作控制图中易犯的两大错误1)将规格界限放在控制图中★在作五控制图是如何贯彻预防原则的

1应用控制图对生产过程不断监控，当异常因素刚一露出苗头，甚至在未造成不合格品之前就能及时被发现。例如，在控制图重点子形成倾向图中点子有逐渐上升的趋势，所以可以在这种趋势造成不合格品之前就采取措施加以消除，起到预防的作用。五控制图是如何贯彻预防原则的

2在现场，更经常的情况是控制图上点子突然出界，表明异因已经发生，这时必须查处异因，采取措施，加以消除。

控制图的作用：即时告警2在现场，更经常的情况是控制图上点子突然出界，表明异因已

3由于异因只有有限多个，故经过有限次循环查找异因后，最终可以达到这样一种状态:在过程中只存在偶因而不存在异因。这种状态称为统计控制状态或稳定状态，简称稳态。

3由于异因只有有限多个，故经过有限次循环查找异因后

稳态是生产过程追求的目标，因为

①在稳态下生产，对质量有完全的把握（通常，控制图的控制界限都在规范限制内，故至少有99.73%的产品是合格品）②生产也是最经济的（偶因和异因都可以造成不合格品，但是偶因造成的不合格品极少，在3σ控制原则下只有0.27%主要是由异因造成的。故在控制状态下所产生的不合格品最少，生产最经济）。稳态是生产过程追求的目标，因为六控制图的两类错误

控制图利用抽查对生产过程进行监控,因而是十分经济的。但既是抽查就不可能不犯错误。六控制图的两类错误

1虚发警报的错误,也称第I类错误。在生产正常的情况下,纯粹出于偶然而点子出界的概率虽然很小,但总还不是绝对不可能发生的。因此,在生产正常、点子出界的场合,根据点子出界就判断生产异常就犯了虚发警报的错误或第I类错误,发生这种错误的概率通常记以α。第一类错误将造成寻找根本不存在的异因的损失。1虚发警报的错误,也称第I类错误。在生产正常的情况下,纯

2漏发警报的错误,也称第Ⅱ类错误。在生产异常的情况下,产品质量的分布偏离了典型分布,但总还有一部分产品的质量特性值是在上下控制界之内的。如果抽到这样的产品进行检测并在控制图中描点,这时由于点子未出界而判断生产正常就犯了漏发警报的错误或第Ⅱ类错误,发生这种错误的概率通常记以β。第二类错误将造成不合格品增加的损失。

2漏发警报的错误,也称第Ⅱ类错误。在生产异常的情况下,

３如何减少两类错误所造成的损失由于控制图是通过抽查来监控产品质量的,故两类错误是不可避免的。在控制图上,中心线一般是对称轴,所能变动的只是上下控制限的间距。若将间距增大,则α减小而β增大,反之,则α增大而β减小。因此,只能根据这两类错误造成的总损失最小来确定上下控制界限。经验证明休哈特所提出的3σ方式所好最经济。３如何减少两类错误所造成的损失七3σ方式

长期实践经验证明,3σ方式即UCL=μ+3σCL=μLCL=μ-3σ就是两类错误造成的总损失较小的控制界限。式中,μ为总体均值，σ为总体标准差。美国、日本和我国等大多数国家都采用3σ方式的控制图。七3σ方式★μ和σ为统计量的总体参数。

总体参数是不可能精确知道的，应用时只能通过已知的数据来加以估计，即通过样本统计量，这就是一个参数估计的步骤。★μ和σ为统计量的总体参数。

第三节过程能力与过程能力指数第三节一过程能力

过程能力是指过程加工质量方面的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，是稳态下的最小波动。当过程处于稳态时，产品的计量质量特性值有99.73％落在μ+/-3s

的范围内，故常用６倍标准差表示过程能力，它的数值越小越好。一过程能力二过程能力指数

过程能力用过程能力指数来加以量化。二过程能力指数１无偏移的过程能力指数定义为：Cp=T/6σT=（Tu-TL)即为技术规范的规范幅度Tu：技术公差上限TL：技术公差下限σ：总体标准差（注意估计必须在稳态下进行）

１无偏移的过程能力指数定义为：

在计算公式中，Ｔ反映了对产品的技术要求，而σ反映了对过程加工的一致性，所以在过程能力指数中将6σ与Ｔ相比较，就反映了过程加工能力满足产品技术要求的程度。Cp值越大，表示加工质量越高。对于高质量、高可靠性的“6σ控制原则”情况，甚至要求Cp达到2.0以上。在计算公式中，Ｔ反映了对产品的技术要求，而σ反映了对

２有偏移的过程能力指数定义为：Cpk=(１－Ｋ)Cp=(１－Ｋ)T/６σ其中Ｋ=２ε／Ｔ，ε=|M-μ|6σTεTLTU

Mu２有偏移的过程能力指数定义为：6σTεTL对于过程能力制定了如下表的评价参考级别工序能力指数不合格品率工序能力评价ⅠCp≥1.67P≤0.00006%工序能力过于充分Ⅱ1.33≤Cp<1.670.00006%<p≤0.006%工序能力充分Ⅲ1.00≤Cp<1.330.006%<p≤0.27%工序能力尚可Ⅳ0.67≤Cp<1.000.27%<p≤4.45%工序能力不足ⅤCp<0.67p≥4.45%工序能力严重不足对于过程能力制定了如下表的评价参考级别工序能力指数不合格品率

第四节分析用控制图与控制用控制图

第四节控制图的作用:主要是针对生产过程影响产品质量的各种因素进行控制,通过控制图来判断生产过程是否异常,而使生产过程达到统计控制状态,做到预防为主,把影响产品质量的诸多因素消灭在萌芽状态,以保证质量,降低成本,提高生产效率,提高经济效益的目的.控制图的作用:一分析用控制图和控制用控制图●分析用控制图应用控制图时，首先将非稳态的过程调整到稳态，用分析控制图判断是否达到稳态。确定过程参数。目的：1、分析过程是否为统计控制状态？2、过程能力指数是否满足要求？一分析用控制图和控制用控制图●控制用控制图主要用来管理工序使之经常保持在统计控制状态下,当根据分析用控制图判明生产过程已经处于控制状态时,即达到稳态后，延长控制图的控制线作为控制用控制图。在产品生产过程中,定期抽取部分样本进行检验,遇到问题查明异常,采取措施予以消除,保持所确定的稳定状态。●控制用控制图

实施上述分析用控制图与控制用控制图的过程实际上就是不断进行质量改进的过程。从数学的角度看，分析用控制图的阶段就是过程参数未知的阶段，而控制用控制图的阶段则是过程参数已知的阶段。实施上述分析用控制图与控制用控制★分析用控制图与控制用控制图异同点：分析用控制用计算控制界限需无收集样本至少25件1件样本分析时间25件以后每件以后目的了解状态是否受控；能力能否满足保持状态★分析用控制图与控制用控制图异同点：分析用控制用计算控制做分析用控制图是否稳态计算Cp是否符合要求做控制用控制图定期抽样打点异常否查明原因调整过程删除异常点，重新计算否是否是是否做分析用控制图是否稳态计算Cp是否符合要求做控制用控制图定期二、判断稳态的准则

在统计量为正态分布的情况下,由于第I类错误的概率α=0.27%,取得很小,所以只要有一个点子在界外就可以判断有异常。但既然α很小,第Ⅱ类错误的概率β就大,只根据一个点子在界内远不能判断生产过程处于稳态。二、判断稳态的准则

如果连续有许多点子,如25个点子,全部都在控制界限内,情况就大不相同。这时,根据概率乘法定理,总的β为β总=β25,要比β减小很多。如果连续在控制界内的点子更多,则即使有个别点子出界,过程仍可看作是稳态的,这就是判稳准则的基本原理。如果连续有许多点子,如25个点子,全部判稳准则:

在点子随机排列的情况下,符合下列各点之一就认为过程处于稳态:(1)

连续25个点子都在控制界限内;(2)

连续35个点子至多1个点子落在控制界限外;(3)

连续100个点子至多2个点子落在控制界限外。

判稳准则:分析准则(2)。若过程正常为正态分布,令d为界外点数,则连续35点,d≤1的概率为P(连续35点,d≤1)=C035

(0.9973)35+C135(0.9973)34(0.002）=0.9959P(连续35点,d>1)=1一P(连续35点,d≤1)=1-0.9959=0.0041因此,若过程处于稳态,则连续35点,在控制界外的点子超过1个点(d>1)的事件为小概率事件,它实际上不发生,若发生则判断过程失控。

分析准则(2)。三、判断异常的准则

为了增加控制图使用者的信心,第I类错误的概率α取为α0=0.0027,很小,于是第Ⅱ类错误的概率β就一定很大,针对这一点,即使对于在控制界限内的点子也要观察其排列是否随机。若界内点排列非随机,则判断异常。这就是判异准则的基本原理。三、判断异常的准则

国标GB/T4091-2001《常规控制图》中规定了8种判异准则。为了应用这些准则，将控制图等分为6个区域，每个区宽1σ。需要指明的是这些判异准则主要适用于X和单值X图。国标GB/T4091-2001《常规控准则1一点落在A区外由休哈特在1931年提出，其物理意义十分明显，甚至成为唯一的判异准则。ABCCBAUCLXbarLCL准则1一点落在A区外ABCCBAUCLXbarLCL准则2(连续九点落在中心线同侧)通常是为了补充准则1而设计的,主要由于分布的μ值逐渐减小的缘故ABCCBAUCLXbarLCL准则2(连续九点落在中心线同侧)ABCCBAUCLXbar准则3(连续六点递增或递减)此准则是针对平均值的趋势进行设计的,判断平均值变化的趋势比准则2更为灵敏ABCCBAUCLXbarLCL准则3(连续六点递增或递减)ABCCBAUCLXbarLC准则4(连续十四点中相邻两点上下交替)出现本准则的现象是由于轮流使用两台设备或两位操作人员轮流进行操作而引起的效应ABCCBAUCLXbarLCL准则4(连续十四点中相邻两点上下交替)ABCCBAUCLX准则5(连续三点中有两点落在中心线同一侧的B区以外)过程平均值的变化通常可由本准则判定,它对于变异的增加也较为灵敏.ABCCBAUCLXbarLCL准则5(连续三点中有两点落在中心线同一侧的B区以外)ABCC

准则6：5点中有4点在中心线同侧的C区外

本准则对于过程平均值的变化也是较为灵敏的.出现本准则的现象是由于参数μ发生了变化ABCCBAUCLXbarLCL

准则6：5点中有4点在中心线同侧的C区外

ABCCBAU准则7：15点在C区中心线上下出现本准则的现象是由于参数σ变小.其图形外表具有迷惑性,应该注意到其非随机性.现象原因可能是数据虚假或是分层不够.ABCCBAUCLXbarLCL准则7：15点在C区中心线上下ABCCBAUCLXbarL准则8：6点在中心线两侧，但无一点在C区

造成本现象的主要原因是数据分层不够.ABCCBAUCLXbarLCL准则8：6点在中心线两侧，但无一点在C区

ABCCBAUCL判异准则的小结表判异准则针对对象控制图上的控制范围1.点出界界外点控制界限以外2.链长≥9参数的μ变化控制界限内全部3.连续六点倾向参数μ随时间的变化控制界限内全部4.连续十四点中相邻点上下交替数据分层不够数据分层不够5.连续三点中有两点落在中心线同一侧的B区以外参数的μ变化控制图A区6.5点中有4点在中心线同侧的C区外参数的μ变化控制图B区7.15点在C区中心线上下参数σ变小或数据分层不够控制图c区或数据分层不够8.8点在中心线两侧，但无一点在C区数据分层不够数据分层不够判异准则的小结表判异准则针对对象控制图上的控制范围1.点出概率计算证明：准则2：在过程正常为正态分布的情况下,点子在控制图控制界限内中心线指定的一侧出现的概率为0.9973/2,则在控制图中心线一侧出现长为7的链的概率为

P{中心线一侧出现长为9的链}=2=0.0038

概率计算证明：

概率计算：准则3：

令yi,i=1,2,...,n为界内点的纵坐标,下标i为标点序号,则n个界内点高低排列的所有可能的事件共有=n!

个,其中对倾向有利的事件只有两个,即y1＜y2＜...＜yn(上升有利事件)y1＞y2＞...＞yn（下降有利事件）由此得

P{6点倾向}==0.00273概率计算：

第五节常规控制图的做法及应用第五节控制图的分类常规的控制图主要有两种类型:计量控制图和计数控制图.每种类型的控制图又有为未给定标准值和给定标准值两种不同的情形.标准值即为规定的要求或目标值(如下表所示)控制图的分类常规的控制图主要有两种类型:计量控制图和计数控制计量控制图与计数控制图的类型计量值控制图均值极差X-R控制图均值标准差X-S控制图中位数极差控制图单值移动极差X-MR控制图

计数值控制图不合格品率P控制图不合格品数NP控制图不合格数C控制图单位不合格数U控制图计量控制图与计数控制图的类型计量值控制图计数值控制图计量型数据控制图分类计量型数据控制图分类计数型数据控制图分类计数型数据控制图分类常规计量控制图控制限公式统计量标准值未给定标准值给定中心线上控制限与下控制限中心线上控制限与下控制限XXX±A2R或X±A3SX。或μx±Aσ。RRD3R,D4RR或d2σ。D2σ。,D3σ。SSB3S,B4Ss。或c4σ。B5σ。,B6σ。注:X。,R。,S。,μ,σ。为给定的标准值常规计量控制图控制限公式统计量标准值未给定标准值给定中心线上常规计数控制图的控制限公式统计量标准值未定标准值给定中心线上控制限与下控制限中心线上控制限与下控制限ppp±3√p(1-p)／np1p1±3√p1(1-p1)／nnpnpnp±3√np(1-p)np1np1±3√np1(1-p1)ccc±3√cc1c1±3√c1μμμ±3√μ／nμ1μ1

±3√μ1／n注:p1np1c1和μ1为给定的标准值常规计数控制图的控制限公式统计量标准值未定标准值给定中心线计量型数据控制图使用计量型数据的控制图，X-R图最典型应用广泛：多数过程输出为可测量的特性量化的值包含信息多检查件数少，测量费用相对低反馈信息快，缩短生产和纠正措施的时间间隔有利于寻求持续改进

种类有X-R、X-s、和X-MR图计量型数据控制图计数型数据控制图计数数据只有两个值：合格/不合格，成功/失败；特性可测量，但其结果只用于判断合格/不合格；计数控制图很重要：计数数据存在于任何技术和行政管理；多数情况数据已在检验报告等记录中，只在于收集；许多管理总结报告是计数型的且可从控制图中获益；与计量型控制图联合使用，解决关键的总体质量问题；种类有p图、np图、c图、u图计数型数据控制图确定统计量取预备数据计算均值极差计算R图控制线并作图将预备数据点绘在R图计算X图控制线并作图延长控制图控制线，作控制用控制图状态判断非稳态稳态状态判断非稳态稳态计算过程能力指数满足不满足继续调整过程流程图：均值极差控制图的操作步骤确定统计量取预备数据计算均值极差计算R图控制线并作图将预备数计量控制图示例(X-R图):标准值未给定情形例：某手表厂为了提高手表的质量，应用排列图分析造成手表不合格的各种原因，发现“停摆”占第一位，再次应用排列图分析造成停摆的原因，结果发现主要是螺栓脱落造成的，为此厂方决定应用控制图对装配作业的螺栓扭矩进行过程控制。计量控制图示例(X-R图):标准值未给定情形分析：螺栓扭矩是一计量特征值，故可选用基于正态分布的计量控制图，我们决定选用灵敏度较高的X-R图。解：步骤一：取预备数据，然后将数据合理分成25个子组，见下表。步骤二：计算各组样本的平均数Xi。例如第一组样本的平均值为：X1=(154+174+164+166+162)/5=164.0分析：螺栓扭矩是一计量特征值，故可选用基于正态分布的计量控制步骤三：计算各组样本的极差Ri。例如第一组样本的极差为:R1=max{X1j}-min{X1j}=174-154=20步骤四：计算样本总均值X与平均样本极差R。由于∑Xi=4081.8,∑R=357,故X=163.272R=14.280步骤三：计算各组样本的极差Ri。例如第一组样本的极差为:序号观察值i=1,…，25(6)Xi(7)Ri(8)Xi1(1)Xi2

(2)Xi3(3)Xi4(4)Xi5(5)1154174164166162820164202166170162166164828165.68………………………1316515914715315177515518………………………17151158154181168812162.430………………………25151160164158170803160.619序号Xi1Xi2Xi3Xi4Xi5步骤五：计算R图的参数。先计算R图的参