新编-X射线及其衍射课件

§2-1引言1、X-射线的发现

1895年，德国物理学家伦琴（Röntgen1845-1923）在研究阴极射线时，发现了一种新的射线——X-ray,初时因为对它的本质还不认识,故名X射线.§2-1引言1、X-射线的发现1891新编-X射线及其衍射课件2新编-X射线及其衍射课件32.X-ray的应用晶体的周期性结构使晶体能对

X-ray中子流电子流产生衍射效应X-ray衍射法中子衍射法电子衍射法这些衍射法能获得有关晶体结构可靠而精确的数据，其中最重要、用得最广泛的是X-射线衍射法，是人们认识物质微观结构的重要途径。2.X-ray的应用晶体的周期性结构使晶体能对X-4

1912年由劳厄(M.Von.Laue)首先提出用X-ray研究晶体结构并由他的学生实验证实其在晶体中的衍射现象，获得1914年的诺贝尔奖1912年由劳厄(M.Von.La5

1912年布拉格父子(W.H.BraggandW.L.Bragg)第一次用X-ray衍射法的方法成功地测定了NaCl晶体结构，1915年获诺贝尔奖。1912年布拉格父子(W.H.Bragga61951年，比沃埃(J.M.Bijvoet)用X-ray衍射法测定出右旋酒石酸钠铷的晶体结构。1953年，美国化学家毕生(J.D.Watson)和英国化学家克里克(F.H.C.Cvick)根据X-ray的衍射数据，提出了脱氧核糖核酸的双螺旋结构模型。1957年，克里弗特(D.Crowfoot)测定了维生素B12的结构。1951年，比沃埃(J.M.Bijvoet)用X-ray7X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构1965年，我国首次人工合成蛋白质——结晶牛胰岛素，在1971~1972年又成功地进行了胰岛素结构的测定。X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构1965年，我国首次人工8

到60~70年代，衍射法和计算机技术结合，实现了收集衍射数据的自动化，发展测定结构的程序，使晶体结构的测定工作从少数晶体学家手中解放出来，而为广大有机化学家和无机化学家所掌握。到60~70年代，衍射法和计算机技术9§2-2X-ray的产生及其性质1.X-ray的产生

在适当高真空的条件下(10-5~10-7mmHg)，高速电子流受金属靶(对阴极)的拦截即可得到X-射线。此中包括三个条件：(c)通过“对阴极”的金属靶对高速电子实行拦截。(b)通过高压电(一般高压范围为101~102千伏)使自由电子加速，由阴极射向阳极(对阴极)。(a)产生自由电子(如通过烧灯丝，热发射自由电子)。§2-2X-ray的产生及其性质1.X-ray的产10X光机的简单电路图X光机的简单电路图11封闭式X光管的结构图封闭式X光管的结构图12

X-ray管阴极放出的热电子在高压电场（不同金属的阳极靶都有其临界电压，超过此电压可产生特征X-ray，如Cu靶的临界电压为8.981kV，但随着管电压的加高，特征X-ray的强度大幅度增强，所以，Cu的工作电压为30~40kV）作用下撞到X-ray源的阳极靶上，大部分动能转化为热（需冷却水），小部分却会产生连续X-ray。X-ray管阴极放出的热电子在高压电场（不同金属132.X-ray的波长范围范围：约1—10000pm(0.01—100Å)之间的电磁波。用于测定晶体结构的X-ray：波长为：50—250pm(0.5—2.5Å)，此波长范围与晶体点阵面间距大致相当。2.X-ray的波长范围范围：约1—10000pm(14医学上：1—400pm(0.01—4Å)(波长较短，穿透能力较强)，hard(硬),对人体有伤害可知，小于0.05nm(50pm)的波长的X-ray,其衍射线将过分集中在低角度区，不易分辨；而大于0.25nm(250pm)的X-ray又易被样品和空气所吸收，衍射线强度降低。2dsinθ=nλ因由：由布拉格方程:X射线分析：400—10000pm(4—100Å)(波长较长,穿透能力较低),soft(软),对人体组织伤害更大医学上：1—400pm(0.01—4Å)(波长较短15新编-X射线及其衍射课件16一部分是由阳极金属材料成分决定的、波长确定的特征X射线

3.X-ray的类别（两类）由X-射线管产生的X-射线包含两部分：一部分是具有连续波长的“白色”X射线一部分是由阳极金属材料成分决定的、波长确定的特征X射线3.17（1）.白色X射线——具有连续波长。由于电子与阳极物质撞击时，穿过一层物质，降低一部分动能，穿透深浅不同，降低动能不等，波长不同。（2）.特征X射线（单色）——波长确定。并由阳极金属材料成分决定，是由高速电子把原子内层电子激发，再由外层电子跃迁至内层，势能下降而发生的X-射线，它的波长由原子能级决定。（1）.白色X射线——具有连续波长。由于电子与（2）.特18LK:Kα(Kα1,Kα2)MK:KβNK:Kγ特征X射线（单色）KLMNeLK:Kα(Kα1,Kα2)MK:KβNK:19原子能级以及电子跃迁时产生X-射线的情况

原子能级以及电子跃迁时产生X-射线的情况201.高速电子流冲击金属阳极,原子内层低能级电子被击出;n=1(K)n=2(L)n=3(M)Kα1Kα2Kβ12.高能级电子跃迁到低能级补充空位,多余能量以X光放出.X-射线的发生1.高速电子流冲击金属阳极,原子内层低能级电子被击出;n=21Cu靶X-ray波长相应跃迁λ=(CuKα1)=154.056pm

2P3/22S1/2(8.05Kev)λ=(CuKα2)=154.439pm2P1/22S1/2(8.03Kev)λ=(CuKβ)=139.222pm2P3/22S1/22P1/22S1/2

等因波长接近，强度小，所以可近似用Kβ表示。Cu靶X-ray波长相应跃迁λ=(CuKα1)=1522各线强度比例：I(CuKα2)：I(CuKα1)=0.497I(CuKβ)：I(CuKα1)=0.200当分辨率低时，Kα1和Kα2分不开，可用加权平均波长表示：λ(CuKα)=1×154.056pm+0.497×154.439pm1.497=154.18pm各线强度比例：I(CuKα2)：I(CuKα1)=23为了获得单色X-ray，需将Kβ及白色射线滤去：Cu靶产生的X射线谱

为了获得单色X-ray，需将Kβ及白色射线滤去：Cu靶产生的24

可选择一种金属，它的吸收限波长处在Kα和Kβ之间，可吸收掉Kβ射线。

我们以镍（Ni）作为滤波单色器，即：采用0.02mm厚度的镍片，可使Kα

和Kβ强度比从：7.5：1上升到500：1

如上图：Ni的吸收曲线在148.81pm处有一突变，

为Ni的吸收限。可选择一种金属，它的吸收限波长处在Kα和25§2-3.晶体的X-ray衍射一、X-ray与晶体的作用

当X-ray照射到晶体时，所产生的物理效应比较复杂，X-ray与晶体的作用方式总结：

x-ray晶体透过（绝大部分），因其穿透能力强吸收（小部分）反射（极小，可忽略）非散射能量转化(A)散射效应(B)§2-3.晶体的X-ray衍射一、X-ray与晶体的作26频率变低，即由原生X射线的光子轰击出原子内层电子，再由其它内层电子补位而产生X荧光光子。A热能光电效应光电子次生X荧光射线频率变低，即由原生X射线的光子轰击出原子内层电子，再由其它内27（反冲电子及波长和方向均改变的次生散射）次生X-ray波长，位相

与原生X-ray相同，但方向部分发生改变。晶体衍射是相干散射。B相干散射不相干散射（反冲电子及波长和方次生X-ray波长，位相B相干散射不相干28相干散射效应是X-ray在晶体中产生衍射的基础X-ray（平面电磁波）作用晶体晶体中原子周围的电子作周期性振动次生波源（球面波，方向部分改变，频率、位相不变）机理如下：相干散射效应是X-ray在晶体中产生衍射的基础X-ray（平29

X晶体：

1.大部分透过

2.非散射能量转换:

热能

光电效应

3.散射:

不相干散射

相干散射晶体的X射线衍射效应属于相干散射，次生射线与入射线的位相、波长相同，而方向可以改变.X晶体：晶体的X射线衍射效应属于相干散射，次生射线与30以上现象叫散射，所引起的波与波之间的加强或削弱作用叫波的相干

原子核质量较大，在x-ray作用下产生位移极小，散射效应也很小，故相干散射主要是x-ray作用于

电子而发生的以上现象叫散射，所引起的波与波之间的加强原子核质量较大31二、产生衍射的条件及原理

从X-射线是波长在1一10Å之间的一种电磁辐射，这个波长范围正好与晶体中的原子间距(1Å)数量级相同，因此，可以用晶体来作为X—射线的天然的衍射光栅，从对衍射现象的分析，我们可以得到有关晶体结构的信息。1、X—射线与晶体光栅二、产生衍射的条件及原理从X-射线是波长在1一10Å322、X-射线在晶体中的衍射方向直线点阵的衍射原理示意图2、X-射线在晶体中的衍射方向直线点阵的衍射原理示意图33次生X射线(球面波)的相互加强形成衍射次生X射线(球面波)的相互加强形成衍射34如前图:X—射线从垂直于直线点阵的方向射入，每个原子的核外电子产生的相干波彼此发生干涉。当每两个相邻波源在某一方向的光程差△等于波长λ的整数倍时，它们的波峰与波峰将互相叠加而得到最大限度的加强。这种波的加强叫做衍射，相应的方向叫衍射方向在衍射方向上前进的波叫衍射波。如前图:X—射线从垂直于直线点阵的方向射入，每个当35△=0的衍射方向与入射线的方向一致，叫零次衍射；

△=λ的衍射叫一次衍射；

…

…

；△=nλ的衍射叫n次衍射.显然，n不同，衍射方向也不相同.通过对衍射方向的测定可得到晶体的点阵结构或晶胞的大小和形状的信息。△=0的衍射方向与入射线的方向一致，叫零次衍射；显然，n363、X-射线在晶体中的衍射强度

晶胞内部各原子或电子所散射的次生X—射线间相互干涉，可能会使部分衍射波减弱。甚至相互抵消。衍射强度与衍射方向有关与晶胞中原子的数目和位置有关3、X-射线在晶体中的衍射强度晶胞内部各原子或电子所37

设有一直线点阵的周期为a，一个结构基元中有两个原子A、B，B位置在以A为原点的1/4a

处。

设入射X—射线的方向与a垂直，在A与A、B与B原子间散射的次生X—射线的波程差为波长的整数倍(即⊿AA=hλ与⊿BB=hλ,h=0,1,2,…)的方向，波相互得到最大加强。设有一直线点阵的周期为a，一个结构基元中有两个原子A38相干波的加强和减弱

衍射h=1ΔAB=1/4λ(削弱)

衍射h=2ΔAB=1/2λ(完全抵消)衍射h=0ΔAB=0相干波的加强和减弱衍射h=139对结构基元中原子A与原子B所散射的次生x射线来说，当h＝0,4,

…时，也是相互加强的。但当h＝1时，二者的⊿AB=1/4λ。由图可见，二波间发生干涉而减弱；当h＝2时，⊿AB=1/2λ,正好波峰与波谷叠加，相互完全抵消。对结构基元中原子A与原子B所散射的次生x射40§2-4.衍射方向与晶胞参数晶体衍射方向——是指晶体在入射x-射线照射下产生的衍射线偏离入射线的角度。衍射方向决定于：晶体内部结构周期重复的方式和晶体安置的方位。测定晶体的衍射方向，可以求得晶胞的大小和形状。§2-4.衍射方向与晶胞参数晶体衍射方向——是指晶体在入41联系衍射方向晶胞大小、形状——

的两个方程：Laue:以直线点阵为出发点Bragg:以平面点阵为出发点二者等效联系衍射方向晶胞大小、形状——的两个方程：Laue:以直42一、Laue（劳埃）方程

Laue方程是联系衍射方向与晶胞大小、形状的方程.它的出发点是将晶体的空间点阵分解成三组互不平行的直线点阵,考察直线点阵上的衍射条件.每一组直线点阵上得到一个方程，整个空间点阵上就有三个形式相似的方程，构成一个方程组.

若把空间点阵看成互不平行的三组直线点阵的组合，则可把衍射方向(hkl)与三组直线点阵的点阵常数(a、b、c)联系起来。一、Laue（劳埃）方程Laue方程是联系衍射方向431、直线点阵衍射条件直线点阵的衍射方向

注：其中S的方向是：以直线点阵为轴，交角为α（顶角为2α）的圆锥面。1、直线点阵衍射条件直线点阵的衍射方向44新编-X射线及其衍射课件45其中：周期为a.S0、S——分别代表入射线方向和反射线方向的X-射线（单位向量）若要求每个点阵点所代表的结构基元间散射的次生X-射线迭加后加强，相邻点阵点的光程差应该是波长的整数倍，即：光程差：Δ=PA-OB=a(cosα-cosα0)=hλh=0,±1,±2,….α0、α——分别代表S0、S与直线点阵的交角其中：周期为a.S0、S——分别代表入射线方向和反射线方46直线点阵的衍射方向直线点阵的衍射方向47

直线点阵上衍射圆锥的形成直线点阵上衍射圆锥的形成48当α0=90°时，Δ=acosα=hλ,h=±n

的两套圆锥面对称，可得一组双曲线当α0≠90°时，Δ=a(cosα-cosα0)=hλ,h=±n

的两套圆锥面不对称当α0=90°时，Δ=acosα=hλ,h=±49平面点阵的衍射方向必须同时满足x和y方向的衍射条件，故应为两个方向的圆锥面的交线方向．S0——是入射方向．S1和S2

——是衍射方向。a(cosα-cosα0)=hλb(cosβ-cosβ0)=kλh,k=0,±1,±2…2、平面点阵衍射条件设：平面点阵的周期为a和b,点阵方向为x

和y.

入射x-射线与x和y的交角分别为α0和β0

衍射x-射线与x和y的交角为α和β.平面点阵的衍射方向必须同时满足x和y方向的S0——50平面点阵的衍射方向平面点阵的衍射方向513、空间点阵衍射条件——劳埃方程a(cosα-cosα0)=hλb(cosβ-cosβ0)=kλh,k,l=0,±1,±2…c(cosγ-cosγ0)=lλa

·(s–s0)=hλb

·(s–s0)=kλc

·(s–s0)=lλ或其中：a,b,c—晶胞参数，素单位，素向量α0，β0，γ0——原生与三组直线点阵的交角α

，β，γ—次生与三组直线点阵的交角h,k,l—衍射指标，是任意整数的组合，每一组值代表一个衍射方向。3、空间点阵衍射条件——劳埃方程a(cosα-cosα0)=52

Laue方程组

衍射指标h、k、l为整数（但并不都是互质整数），决定了衍射方向的分立性，即只有某些特定方向上才会出现衍射.

与直线点阵成衍射角α的不只一条衍射线,而是许多衍射线,围成一个衍射圆锥;不同的衍射角有各自的衍射圆锥.Laue方程组衍射指标h、k、l534、验证：在满足Laue方程组的条件下，通过任意两个晶胞或结构基元的光程差必为波长的整数倍。

因联系任意两个点阵点的向量必属于平移群

Tm.n.p=ma+nb+pc

因此通过两个点阵点的光程差Δ为：Δ=Tm.n.p·(s-s0)=ma·(s-s0)+nb·(s-s0)+pc·(s-s0)将Laue方程代入得：Δ=mhλ+nkλ+plλ=(mh+nk+pl)λ因m.n.p和h.k.l均为整数，故Δ必为波长的整数倍。这说明在Laue方程规定的方向上，所有晶胞之间散射的次生射线都是互相合作、加强的，这些方向也就是衍射方向。4、验证：在满足Laue方程组的条件下，通过任意两个545、单晶结构分析衍射指标的整数性决定了衍射方向的分立性，从而在衍射图上反映出分立的衍射点或线。由以上讨论推知：空间点阵产生衍射的方向必须同时满足劳埃方程，即由三个圆锥面相交的直线的方向5、单晶结构分析衍射指标的整数性决定了衍射方向的分立性，从而55空间点阵的衍射空间点阵的衍射56新编-X射线及其衍射课件57

因此，α、β、γ三个变数须满足以上四个方程。在一般条件下这一要求是不能满足的，即得不到衍射图，为了获得衍射图，必须增加一个变数，有以下两种方法：

这在一般情况下不能巧合，因为还应满足关系式：

cos2α+cos2β+cos2γ=1因此，α、β、γ三个变数须满足以上四个方程。58（1）劳埃法NaCl的劳埃图即摄取情况示意图（1）劳埃法NaCl的劳埃图即摄取情况示意图59方法：晶体不动（α0、β0、γ0

固定），改变波长λ，即用包含各种波长的白色X-射线，总可以找到满足关系式的λ。意义：主要应用是探明晶体的宏观对称性，如NaCl

可确定其有四重旋转轴的对称性。局限：不易进一步确定晶体的点阵型式和点群。方法：晶体不动（α0、β0、γ0固定），改变波长意义：主要60（2）回转法①、原理采用单色X-射线（固定λ），改变α0、β0、γ0

中的一个或两个；使晶体绕某一轴转动，即保持三个入射角之一固定，另二角发生变化。（2）回转法①、原理采用单色X-射线（固定λ），改变α0、β61NaCl回转图及摄取情况示意图NaCl回转图及摄取情况示意图62设使晶轴绕C轴转动，按劳埃方程，一切衍射方向必须满足：回转法示意图:ll=0转动设使晶轴绕C轴转动，按劳埃方程，一切衍射方向回转法示意图:l63c(cosγ-cosγ0)=lλ若入射线与晶体转动轴垂直，即γ0=90°,则有:ccosγ=lλγ=cos-1lλ/c

凡l

相同的衍射线γ相等。另外，还必须满足劳埃方程的另外两个方程，故实际的衍射图由分布在l=0,±1,±2,…的各层线上的分立衍射点所组成。在回转图中（底片）：l=0—第零层线l=±1—第一层线l=±2—第二层线

……c(cosγ-cosγ0)=lλ若入射线与晶体转动轴垂直，64②、意义ⅰ).求得周期a.b.c设Hl是衍射图量得的第l层线与第零层线的间距，R是仪器常数（即感光胶片圆筒的半径），则：同样，若使晶体绕a或b轴转动，即可求得周期a和b.因此，②、意义ⅰ).求得周期a.b.c设Hl是衍射图量得的65ⅱ).计算晶胞体积V若为正交、四方或立方晶系，晶胞体积V=abc例题：用劳埃法测知黄铜矿晶体属四方晶系，用回转法拍摄二张图，所用入射线是铜靶的Kα线，其波长λ=1.542Å，晶体转动轴与圆筒形胶片的距离R=50mm,绕[100]轴旋转时，测得中央线与第一层线的距离Hh=15.38mm；绕[001]轴旋转时，测得中央层线与第一层线的距离为H

l

=7.57mm，试计算在三个晶轴方向上的素平移和晶胞体积。ⅱ).计算晶胞体积V若为正交、四方或立方晶系，晶胞体积V=66解：当晶体绕[100]轴即a轴旋转时，有：又绕[001]轴即c轴旋转时，应有：Å解：当晶体绕[100]轴即a轴旋转时，有：又绕[001]轴即671×1.542×10-80.757==10.3×10-8cm=10.3Å晶胞体积：V=abc=a2c=(5.244)2×10.3=283.2Å3ⅲ).计算晶胞中所含原子或分子数n=VρM/N0N0VρM=ρ——晶体密度N0——Avogadro常数Vρ——一个晶胞的质量M/N0——一个原子或分子的质量1×1.542×10-80.757==10.3×10-8c68二、Bragg（布拉格）方程1、出发点

Laue方程是将晶体点阵视为由三族互不平行的直线点阵交织而成，而Bragg方程是从另一角度来考虑衍射，即将晶体的三维点阵视为与晶面指标（h*k*l

*）相对应的一组互相平行、间距相等的平面点阵。Bragg方程比Laue方程简单、应用方便。二、Bragg（布拉格）方程1、出发点Lau69

Bragg方程将晶体视为平面点阵,将衍射等效为平面点阵的反射.但衍射等效为反射是有条件的：只有等程面上的衍射才能等效地视为反射.2、方程的确定Bragg方程将晶体视为平面点阵,将衍射等效为70X-射线入射到晶体上，对于一组(h*k*l*)平面中的一个点阵面1来说，若要求面上各点的散射线同相，互相加强，则要求入射角和衍射角’相等，入射线、衍射线和平面法线三者在同一平面内，才能保证光程一样。

X-射线入射到晶体上，对于一组(h*k*l*)平面中的71sss0s0Bragg公式的推引如(a)图,图中入射线s0在P,Q,R时波的周相相同,而散射线s在P’,Q’,R’处仍是同相,这是产生衍射的重要条件sss0s0Bragg公式的推引如(a)图,图中入射线s072设相邻两点阵面的间距为dh*k*l*，这两个点阵面所反射的X-ray的光程差为：Δ=MB+BN=2dh*k*l*sinhkl当光程差为波长的整数倍时，则产生反射和加强，即得：2dh*k*l*sinhkl=nλ设相邻两点阵面的间距为dh*k*l*，这两个点阵面所反射的X73

尽管同一个等程面上各点之间都没有波程差,但相互平行的各个等程面之间却仍有波程差.只有相邻等程面之间的波程差为波长的整数倍时,衍射才会发生.这一条件就是Bragg方程:2dh*k*l*

sinθhkl=nλ,衍射级数n=1,2,3……尽管同一个等程面上各点之间都没有波程差,但74hkl——衍射指标，h=nh*k=nk*l=nl*hkl——Bragg角，即X-ray作用在h*k*l*面上在hkl方向产生衍射的衍射角n——衍射级数（n=1,2,3,….）物理意义：是通过相邻平面点阵光程差的波数。例如，晶面（110）在不同衍射角上可能出现衍射指标为110，220，330，…的衍射线，可分别称为：一级，二级，三级，…衍射。3、方程的意义h*k*l*——一组晶面指标hkl——衍射指标，h=nh*k=nk*l75注：由于|sinhkl|≤1,使得nλ≤

2dh*k*l*，所以，n是数目有限的几个整数，其中n大者，hkl亦大。由于对hkl的限制，所得衍射只能是分立的，而不是连续的。注：由于|sinhkl|≤1,使得nλ≤2dh*764、粉末法（多晶衍射法）单晶衍射法的缺点：制备单晶样品较困难，往往得不到纯晶体（含杂质）粉末法——用单色X-ray对多晶或粉末样品摄取衍射图的方法采用粉末法：由于晶体一般硬，用玛瑙做的研钵研磨，以得到含无数个小晶粒的多晶样品（约200目大小）4、粉末法（多晶衍射法）单晶衍射法的缺点：制备单晶样品较困难77一粒粉末产生的某种衍射hkl，形成一条衍射线

粉末图不同于单晶的Laue图,粉末图不是衍射点，而是衍射圆锥在感光胶片上形成的同心圆图案,但粉末图的衍射圆锥与单晶直线点阵上衍射圆锥形成的机理不同）.一粒粉末产生的某种衍射hkl，形成一条衍射线78(1)、原理

X-ray：单色（特征）样品：无数的小晶粒，将多晶粉末置于相机中心。晶面的取向均匀地分布在各种可能的方向，为了增加各晶面的随机分布，通常也让粉末样品不断旋转。衍射：对于任一组晶面总有许多小的晶粒处于满足Bragg方程的位置，因而总能产生反射。(1)、原理X-ray：单色（特征）样品：无数的小晶粒，79如考虑满足反射条件的一组晶面，如（100）面，由于晶粒取向机遇，因而满足衍射角（或称布拉格角）θ的衍射线不只是一条，而是顶角为4θ的圆锥面，此圆锥面为圆柱状感光胶片所截，则得一对弧线。如考虑满足反射条件的一组晶面，如80理解:单晶中一族平面点阵的取向若和入射线x-ray的夹角满足衍射条件，则衍射角2θ处产生衍射,使胶片感光出一个衍射点,对于粉末状晶体,因有各种取向,由无数多个衍射点形成顶角为4θ的圆锥方向上的衍射线.粉末线（图）：由粉末法所得的成对弧线的衍射图.理解:单晶中一族平面点阵的取向若和粉末线（图）：由粉末法81粉末图：每对弧线对应一个衍射粉末法原理示意图粉末图摄取示意图粉末图：每对弧线对应一个衍射粉末法原理示意图粉末图摄取示意图82样品中有大量粉末(~1012粒/mm3)在空间随机取向，许多粉末的同一族平面点阵有同一级衍射，以相同θ角围绕着入射线.这些密集的衍射线围成4θ衍射圆锥.大量粉末的某一种衍射hkl，形成一个衍射圆锥:样品中有大量粉末(~1012粒/mm3)在83大量粉末的各种衍射，相应地形成各个衍射圆锥大量粉末的各种衍射，84新编-X射线及其衍射课件85

由粉末图计算衍射角

假设一对粉末弧线的间距为2L，相机半径为R，则：由粉末图计算衍射86晶胞参数的计算：由Bragg方程可计算：dnλ2sinθ=若已知一对粉末线衍射指标为100，则可算得晶胞参数：a=d100=()d1001λ2sinθ100=晶胞参数的计算：由Bragg方程可计算：dnλ2sinθ=87

多晶衍射仪法利用计数管将接收到的衍射线转换成正比于光强的电压讯号，经放大记录，给出X光粉末衍射图谱.

(2)、定性分析（衍射仪法）多晶衍射仪法利用计数管将接收到的衍射线转换成88多晶衍射仪衍射图谱多晶衍射仪原理多晶衍射仪衍射图谱多晶衍射仪原理89实验时，将样品磨细后，压成扁平的片状（厚度约1mm），安置在衍射仪测角器的中心，记数管始终对准样品中心，当样品按一定的速度转动θ角时，计数管则以二倍的速度转动2θ角，同时，记数管转动时，电子记录纸也同步地转动，将不同2θ处的衍射强度记下来，图中横坐标是2θ角（有峰处代表在该角度有衍射），纵坐标是衍射强度相对大小I的电讯号。实验时，将样品磨细后，压成扁平的片状（厚度约时，电子记录纸也90每一物种的晶体都有它自己的一套特征的数据，因为都有其特定的衍射位置（2θ~

）和dn强度（I）的分布，因此，像人的指纹一样，可籍以进行鉴别。”dn~I“每一物种的晶体都有它自己的一套特征的数据，因为都有其特定的衍91记录纸:横坐标为2

θ,纵坐标为衍射线强度.记录纸:横坐标为2θ,纵坐标为衍射线强度.92照相法粉末图与衍射仪法图比较照相法粉末图与衍射仪法图比较93(3)、X光多晶（粉末）物相分析的意义a).由未知样品所得粉末图，测得dn~

I值，与已知样品相比较，以确定。b).可鉴别混合物中的不同物相，由各个物相的粉末图叠加而成，含量多的粉末线强度大，反之则小。c).具有独特的优点：如金属Fe和Al2O3在不同条件下可形成α，β，γ，δ四种变体的晶形，化学分析只能确定化学组成，不能区分晶形，而粉末物相分析根据粉末图可加以区分。

此外，此法还有不破坏样品，需样品量少，方法简便等优点。(3)、X光多晶（粉末）物相分析的意义a).由未知样品所得94§2-5衍射强度与晶胞中原子的分布衍射强度衍射方向：由衍射指标hkl决定，由于干涉和加强，不同方向的衍射有不同的强度晶胞中原子的分布：由晶胞中原子的坐标参数(xyz)决定§2-5衍射强度与晶胞中原子的分布衍射强度衍射方向：由95一、散射因子汤姆逊(Thomson)公式：O处的电子在X-射线的照射下，叠加一受迫振动，电子散射的X-射线在P点的强度表示为：电子对X-射线的散射一、散射因子汤姆逊(Thomson)公式：O处的电子在X-射96对于一个电子:I0——入射X-ray的强度e,m——电子的电荷和质量对于一个原子（序数为Z）：Z个电子集中于一点成为带-Ze电量的点电荷，将上式中的：eZemZm对于一个电子:I0——入射X-ray的强度e,m——电子的97比较得：原子散射X-ray的强度公式为：实际上，各电子并非集中在一起，因而各自散射的X-ray在同一方向的位相不同，将会发生干涉，使其散射强度有不同程度的减弱，即：令Ia=f2·Ief——原子的散射因子，相当于有效电子数，它与散射方向和X-ray的波长有关。一般来讲，原子序数越大，核外电子越多，则散射能力越大，散射强度越大。比较得：原子散射X-ray的强度公式为：实际上，各电子并98二、结构因子F(hkl)=∑jFje2πi(hxj+kyj+lzj)F(hkl)有关因素原子种类（由散射因子fi表示）衍射指标(hkl),即方向原子在晶体中的位置(xj,yj.zj)电磁波理论：电磁波的强度与波的振幅的平方成

正比。二、结构因子F(hkl)=∑jFje2πi(hxj+kyj99I∝A2（A为电磁波振幅）由散射因子得：I∝f2

因此可得：散射因子f相当于振幅A.将各个原子的散射波迭加起来得合成波~f~F即：I∝A2（A为电磁波振幅）由散射因子得：I∝f2100对于复晶胞,在衍射方向(hkl)散射X-射线的强度可表示为:Ic=Ie·|F(hkl)|2因此，通过推导进一步可得：对于复晶胞,在衍射方向(hkl)散射X-射线的强度可Ic=101此式将衍射强度与晶体结构联系在一起，通过衍射强度数据可设法测定晶体的结构。尝试法：先假定一个晶胞结构，即给定诸原子的坐标xj,yj,zj，计算各级衍射的相对强度，与实际的相对强度比较，如不符，对诸原子位置进行修正，重复计算，直到与实验值在误差范围内为止。此式将衍射强度与晶体结构联系在一起，通过衍射尝试法：先假定一102三、系统消光意义：指晶体按劳埃方程或布拉格方程原应产生的一部分衍射产生系统地消失的现象。即：衍射有规律地、系统地不出现，衍射强度为零。示例：对于具有体心立方点阵型式的晶体（如金属钠或钨等）晶胞内含有两个原子，分数坐标为：,,()(0,0,0)三、系统消光意义：指晶体按劳埃方程或布拉格方程原应产生的即：103对于同一种原子，其散射因子f相同则F(hkl)=fei2π(1/2h+1/2k+1/2l)+fei2π(0+0+0)=f[1+eiπ(h+k+l)]=f[1+cosπ(h+k+l)+isinπ(h+k+l)]即得：I(hkl)∝|F(hkl)|2=f2[1+cosπ(h+k+l)]2对于同一种原子，其散射因子f相同则F(hkl)=fei104h+k+l=奇数or偶数sinπ(h+k+l)=0=奇数cosπ(h+k+l)=-1=偶数cosπ(h+k+l)=1结果得：F(hkl)=0(h+k+l=奇数）2f

(h+k+l=偶数）|F(hkl)|2=0(h+k+l=奇数）4f2

(h+k+l=偶数）推论：在衍射数据中，出现奇数时，衍射强度为0的晶体为体心点阵型式。h+k+l=奇数or偶数sinπ(h+k+l)=105点阵型式与系统消光条件

点阵型式

消光条件体心点阵（I）

h+h+l=奇数面心点阵（F）

h、k、l

奇偶混杂*底心点阵（C）

h+k=奇数

A面侧心点阵（A）

k+l=奇数

B面侧心点阵（B）

h+l=奇数简单点阵（P）无消光现象*0作为偶数点阵型式与系统消光条件点阵型式106系统消光与对称性系统消光与对称性107新编-X射线及其衍射课件108意义：根据系统消光可测定微观对称元素点阵型式空间群晶体的电子密度分布函数意义：根据系统消光可测定微观对称元素点阵型式空间群晶体的电109§2-6立方晶系粉末线的指标化和点阵型式的确定立方晶系晶面间距：代入Bragg方程得：或：§2-6立方晶系粉末线的指标化和点阵型式的确定立方晶系110两边平方得:Sin2θhkl=

λ24a2(h2+k2+l2)对于简单点阵P:hkl除必须整数（包括零）外并无其他限制（注：由于晶面指标h*k*l*,如100,010,001都是相同的,所以其衍射指标只用表示即可,其余类同.)对于体心点阵I:(h+k+l)=奇数的衍射不出现。对于面心点阵F:hkl奇偶混合的不出现。两边平方得:Sin2θhkl=λ24a2(h2+k2+l111立方点阵的衍射指标及其平方和立方点阵的衍射指标及其平方和112立方P立方Ih+k+l=偶数立方Fh,k,l全奇或全偶立方晶系粉末图指标化

(示意图,将衍射图的弧线简化成了直线）立方P立方I立方F立方晶系粉末图指标化

(示意图,将衍113自中央至两端各对粉末线的sin2θ值按下列比例分布：P：1:2:3:4:5:6:8:9:10:11:12:13:…(缺7、15、23等）I：2:4:6:8:10:12:14:16:18:20:…=1:2:3:4:5:6:7:8:9:10:…（不缺7、15、23等）（和P比较，不会有空缺的衍射线，平方和全为偶数）F：3:4:8:11:12:16:19:20:24:…（单线和双线交替分布，即出现二密一稀规律）注：对于对称性较低的晶体，因粉末线很多，易发生重叠，难于分析结果，应用不多。自中央至两端各对粉末线的sin2θ值按下列比例分布：P：1:114根据实验测得的sin2θ的比值确定点阵型式：由粉末线间距（L）θhklsin2θhkl方法步骤：由第一条（或第二条）衍射线的sin2θ去除其他各线的sin2θ值，可得相应的一套整数，这套整数即为可能的平方和(h2+k2+l2)依次得出衍射指标(hkl)和计算晶胞周期a由密度求得晶胞中所含原子数，进一步确定点阵型式。根据实验测得的sin2θ的比值确定点阵型式：由粉末线间距（L115例题：钨的粉末衍射数据例题：钨的粉末衍射数据116钨的粉末图，Cu靶的Kα线，λ=154.18pm，相机直径2R=57.3mm.由2Rθ=L计算θ及sin2θ等，结果列于上表。sin2θ1:sin2θ2:sin2θ3:sin2θ4:…=0.1184:0.2370:0.3555:0.4740:…=1:2:3:4:5:6:7:8(不缺)=2:4:6:8:10:12:14:16确定：钨属于立方体心点阵。钨的粉末图，Cu靶的Kα线，λ=154.18pm，由2Rθ117计算晶胞参数：由线号1：Sin220.13°=154.824a2(12+12+02)由各条衍射环线得a的平均值为316.5pm.已知钨的密度ρ为19.3g/cm3,得晶胞中的原子数目：n=·ρVMNA=19.3×(3.165×10-8)3183.92×6.022×1023≈2立方体心点阵每个单位包含2个点阵点,每个点阵点代表的结构单元是一个钨原子,分数坐标为000;1/21/21/2.计算晶胞参数：由线号1：Sin220.13°=154.824118练习题1、在直径为57.3mm的相机中，用CuKα射线拍金属Cu的粉末图，量得8对粉末线的2L值为:44.0,51.4,75.4,90.4,95.6,117.4,137.0,145.6mm,试计算下表各栏数据，求出晶胞参数，确定晶体点阵型式。序号2L/mm

θ度sin2θh2+k2+l2

hkl

λ2/4a2解：θ度=L由sin2θ求h2+k2+l2

用第一条线的sin2θ值去除各线的sin2θ值，然后乘一个合适的整数使之都接近整数值。练习题1、在直径为57.3mm的相机中，用CuKα射线拍序119序号2L/mm

θ度sin2θh2+k2+l

2hkl

λ2/4a2144.022.00.1401.00×3=31110.04666251.425.70.1881.34×3=42000.04700375.437.70.3742.67×3=82200.04675490.445.20.5033.59×3=113110.04573595.647.80.5493.92×3=122220.045756117.458.70.7305.21×3=164000.045627137.068.50.8666.19×3=193310.045578145.672.80.9136.52×3=204200.04565计算结果列于下表：序号2L/mmθ度sin2θh2+k2+l2120由式：Sin2θhkl

=λ24a2(h2+k2+l

2)得：λ24a2=Sin2θhklh2+k2+l

2取48号线的λ2/4a2的值求平均值得：λ2/4a2=0.04566将λ=154.18pm代入，得：a=360.76pm衍射指标符合全为奇数或全为偶数的规律，得：空间点阵型式为面心立方。由式：Sin2θhkl=λ24a2(h2+k2+l121练习题2、已知某立方晶系晶体，其密度ρ=2.16g/cm3,化学式量为58.5，用λ=1.542Å的单色X-射线，直径2R=57.3mm的相机，摄取一张粉末图，量得衍射220的一对粉末弧线间距L=22.3mm，求晶胞参数a及晶胞中的分子数。练习题2、已知某立方晶系晶体，其密度ρ=2.16g/cm3,122解:θ度=L=22.3°对立方晶系，由Bragg方程可得：Sin2θhkl

=

λ24a2(h2+k2+l

2)得：a=5.75Å分子数：n=·ρVMNA2.16×(5.75×10-8)358.5=×6.022×1023=4解:θ度=L=22.3°对立方晶系，由Bragg方程可得：S123§2-7晶体X-射线衍射结构分析方法比较摄图方法X-ray样品样品安置方式照相法应用劳埃法白色单晶静止劳埃照相机确定晶体所属晶系和点群转晶法特征(单色)单晶绕某轴转转晶回摆照相机确定晶胞参数a,b,c粉末法特征(单色)多晶体或晶体粉末样品静止或转动德拜照相机①确定晶体所属晶系、点群②确定晶胞参数分数坐标③未知物分析§2-7晶体X-射线衍射结构分析方法比较摄图方法X-124说明：大量的晶体结构资料主要用回转晶体法（转晶法）取得。现最通用的单晶衍射仪为四圆衍射仪。粉末法样品易得、应用广泛。说明：大量的晶体结构资料主要用回转晶体法（转晶法）取得。125TheEndTheEnd126§2-1引言1、X-射线的发现

1895年，德国物理学家伦琴（Röntgen1845-1923）在研究阴极射线时，发现了一种新的射线——X-ray,初时因为对它的本质还不认识,故名X射线.§2-1引言1、X-射线的发现189127新编-X射线及其衍射课件128新编-X射线及其衍射课件1292.X-ray的应用晶体的周期性结构使晶体能对

X-ray中子流电子流产生衍射效应X-ray衍射法中子衍射法电子衍射法这些衍射法能获得有关晶体结构可靠而精确的数据，其中最重要、用得最广泛的是X-射线衍射法，是人们认识物质微观结构的重要途径。2.X-ray的应用晶体的周期性结构使晶体能对X-130

1912年由劳厄(M.Von.Laue)首先提出用X-ray研究晶体结构并由他的学生实验证实其在晶体中的衍射现象，获得1914年的诺贝尔奖1912年由劳厄(M.Von.La131

1912年布拉格父子(W.H.BraggandW.L.Bragg)第一次用X-ray衍射法的方法成功地测定了NaCl晶体结构，1915年获诺贝尔奖。1912年布拉格父子(W.H.Bragga1321951年，比沃埃(J.M.Bijvoet)用X-ray衍射法测定出右旋酒石酸钠铷的晶体结构。1953年，美国化学家毕生(J.D.Watson)和英国化学家克里克(F.H.C.Cvick)根据X-ray的衍射数据，提出了脱氧核糖核酸的双螺旋结构模型。1957年，克里弗特(D.Crowfoot)测定了维生素B12的结构。1951年，比沃埃(J.M.Bijvoet)用X-ray133X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构1965年，我国首次人工合成蛋白质——结晶牛胰岛素，在1971~1972年又成功地进行了胰岛素结构的测定。X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构1965年，我国首次人工134

到60~70年代，衍射法和计算机技术结合，实现了收集衍射数据的自动化，发展测定结构的程序，使晶体结构的测定工作从少数晶体学家手中解放出来，而为广大有机化学家和无机化学家所掌握。到60~70年代，衍射法和计算机技术135§2-2X-ray的产生及其性质1.X-ray的产生

在适当高真空的条件下(10-5~10-7mmHg)，高速电子流受金属靶(对阴极)的拦截即可得到X-射线。此中包括三个条件：(c)通过“对阴极”的金属靶对高速电子实行拦截。(b)通过高压电(一般高压范围为101~102千伏)使自由电子加速，由阴极射向阳极(对阴极)。(a)产生自由电子(如通过烧灯丝，热发射自由电子)。§2-2X-ray的产生及其性质1.X-ray的产136X光机的简单电路图X光机的简单电路图137封闭式X光管的结构图封闭式X光管的结构图138

X-ray管阴极放出的热电子在高压电场（不同金属的阳极靶都有其临界电压，超过此电压可产生特征X-ray，如Cu靶的临界电压为8.981kV，但随着管电压的加高，特征X-ray的强度大幅度增强，所以，Cu的工作电压为30~40kV）作用下撞到X-ray源的阳极靶上，大部分动能转化为热（需冷却水），小部分却会产生连续X-ray。X-ray管阴极放出的热电子在高压电场（不同金属1392.X-ray的波长范围范围：约1—10000pm(0.01—100Å)之间的电磁波。用于测定晶体结构的X-ray：波长为：50—250pm(0.5—2.5Å)，此波长范围与晶体点阵面间距大致相当。2.X-ray的波长范围范围：约1—10000pm(140医学上：1—400pm(0.01—4Å)(波长较短，穿透能力较强)，hard(硬),对人体有伤害可知，小于0.05nm(50pm)的波长的X-ray,其衍射线将过分集中在低角度区，不易分辨；而大于0.25nm(250pm)的X-ray又易被样品和空气所吸收，衍射线强度降低。2dsinθ=nλ因由：由布拉格方程:X射线分析：400—10000pm(4—100Å)(波长较长,穿透能力较低),soft(软),对人体组织伤害更大医学上：1—400pm(0.01—4Å)(波长较短141新编-X射线及其衍射课件142一部分是由阳极金属材料成分决定的、波长确定的特征X射线

3.X-ray的类别（两类）由X-射线管产生的X-射线包含两部分：一部分是具有连续波长的“白色”X射线一部分是由阳极金属材料成分决定的、波长确定的特征X射线3.143（1）.白色X射线——具有连续波长。由于电子与阳极物质撞击时，穿过一层物质，降低一部分动能，穿透深浅不同，降低动能不等，波长不同。（2）.特征X射线（单色）——波长确定。并由阳极金属材料成分决定，是由高速电子把原子内层电子激发，再由外层电子跃迁至内层，势能下降而发生的X-射线，它的波长由原子能级决定。（1）.白色X射线——具有连续波长。由于电子与（2）.特144LK:Kα(Kα1,Kα2)MK:KβNK:Kγ特征X射线（单色）KLMNeLK:Kα(Kα1,Kα2)MK:KβNK:145原子能级以及电子跃迁时产生X-射线的情况

原子能级以及电子跃迁时产生X-射线的情况1461.高速电子流冲击金属阳极,原子内层低能级电子被击出;n=1(K)n=2(L)n=3(M)Kα1Kα2Kβ12.高能级电子跃迁到低能级补充空位,多余能量以X光放出.X-射线的发生1.高速电子流冲击金属阳极,原子内层低能级电子被击出;n=147Cu靶X-ray波长相应跃迁λ=(CuKα1)=154.056pm

2P3/22S1/2(8.05Kev)λ=(CuKα2)=154.439pm2P1/22S1/2(8.03Kev)λ=(CuKβ)=139.222pm2P3/22S1/22P1/22S1/2

等因波长接近，强度小，所以可近似用Kβ表示。Cu靶X-ray波长相应跃迁λ=(CuKα1)=15148各线强度比例：I(CuKα2)：I(CuKα1)=0.497I(CuKβ)：I(CuKα1)=0.200当分辨率低时，Kα1和Kα2分不开，可用加权平均波长表示：λ(CuKα)=1×154.056pm+0.497×154.439pm1.497=154.18pm各线强度比例：I(CuKα2)：I(CuKα1)=149为了获得单色X-ray，需将Kβ及白色射线滤去：Cu靶产生的X射线谱

为了获得单色X-ray，需将Kβ及白色射线滤去：Cu靶产生的150

可选择一种金属，它的吸收限波长处在Kα和Kβ之间，可吸收掉Kβ射线。

我们以镍（Ni）作为滤波单色器，即：采用0.02mm厚度的镍片，可使Kα

和Kβ强度比从：7.5：1上升到500：1

如上图：Ni的吸收曲线在148.81pm处有一突变，

为Ni的吸收限。可选择一种金属，它的吸收限波长处在Kα和151§2-3.晶体的X-ray衍射一、X-ray与晶体的作用

当X-ray照射到晶体时，所产生的物理效应比较复杂，X-ray与晶体的作用方式总结：

x-ray晶体透过（绝大部分），因其穿透能力强吸收（小部分）反射（极小，可忽略）非散射能量转化(A)散射效应(B)§2-3.晶体的X-ray衍射一、X-ray与晶体的作152频率变低，即由原生X射线的光子轰击出原子内层电子，再由其它内层电子补位而产生X荧光光子。A热能光电效应光电子次生X荧光射线频率变低，即由原生X射线的光子轰击出原子内层电子，再由其它内153（反冲电子及波长和方向均改变的次生散射）次生X-ray波长，位相

与原生X-ray相同，但方向部分发生改变。晶体衍射是相干散射。B相干散射不相干散射（反冲电子及波长和方次生X-ray波长，位相B相干散射不相干154相干散射效应是X-ray在晶体中产生衍射的基础X-ray（平面电磁波）作用晶体晶体中原子周围的电子作周期性振动次生波源（球面波，方向部分改变，频率、位相不变）机理如下：相干散射效应是X-ray在晶体中产生衍射的基础X-ray（平155

X晶体：

1.大部分透过

2.非散射能量转换:

热能

光电效应

3.散射:

不相干散射

相干散射晶体的X射线衍射效应属于相干散射，次生射线与入射线的位相、波长相同，而方向可以改变.X晶体：晶体的X射线衍射效应属于相干散射，次生射线与156以上现象叫散射，所引起的波与波之间的加强或削弱作用叫波的相干

原子核质量较大，在x-ray作用下产生位移极小，散射效应也很小，故相干散射主要是x-ray作用于

电子而发生的以上现象叫散射，所引起的波与波之间的加强原子核质量较大157二、产生衍射的条件及原理

从X-射线是波长在1一10Å之间的一种电磁辐射，这个波长范围正好与晶体中的原子间距(1Å)数量级相同，因此，可以用晶体来作为X—射线的天然的衍射光栅，从对衍射现象的分析，我们可以得到有关晶体结构的信息。1、X—射线与晶体光栅二、产生衍射的条件及原理从X-射线是波长在1一10Å1582、X-射线在晶体中的衍射方向直线点阵的衍射原理示意图2、X-射线在晶体中的衍射方向直线点阵的衍射原理示意图159次生X射线(球面波)的相互加强形成衍射次生X射线(球面波)的相互加强形成衍射160如前图:X—射线从垂直于直线点阵的方向射入，每个原子的核外电子产生的相干波彼此发生干涉。当每两个相邻波源在某一方向的光程差△等于波长λ的整数倍时，它们的波峰与波峰将互相叠加而得到最大限度的加强。这种波的加强叫做衍射，相应的方向叫衍射方向在衍射方向上前进的波叫衍射波。如前图:X—射线从垂直于直线点阵的方向射入，每个当161△=0的衍射方向与入射线的方向一致，叫零次衍射；

△=λ的衍射叫一次衍射；

…

…

；△=nλ的衍射叫n次衍射.显然，n不同，衍射方向也不相同.通过对衍射方向的测定可得到晶体的点阵结构或晶胞的大小和形状的信息。△=0的衍射方向与入射线的方向一致，叫零次衍射；显然，n1623、X-射线在晶体中的衍射强度

晶胞内部各原子或电子所散射的次生X—射线间相互干涉，可能会使部分衍射波减弱。甚至相互抵消。衍射强度与衍射方向有关与晶胞中原子的数目和位置有关3、X-射线在晶体中的衍射强度晶胞内部各原子或电子所163

设有一直线点阵的周期为a，一个结构基元中有两个原子A、B，B位置在以A为原点的1/4a

处。

设入射X—射线的方向与a垂直，在A与A、B与B原子间散射的次生X—射线的波程差为波长的整数倍(即⊿AA=hλ与⊿BB=hλ,h=0,1,2,…)的方向，波相互得到最大加强。设有一直线点阵的周期为a，一个结构基元中有两个原子A164相干波的加强和减弱

衍射h=1ΔAB=1/4λ(削弱)

衍射h=2ΔAB=1/2λ(完全抵消)衍射h=0ΔAB=0相干波的加强和减弱衍射h=1165对结构基元中原子A与原子B所散射的次生x射线来说，当h＝0,4,

…时，也是相互加强的。但当h＝1时，二者的⊿AB=1/4λ。由图可见，二波间发生干涉而减弱；当h＝2时，⊿AB=1/2λ,正好波峰与波谷叠加，相互完全抵消。对结构基元中原子A与原子B所散射的次生x射166§2-4.衍射方向与晶胞参数晶体衍射方向——是指晶体在入射x-射线照射下产生的衍射线偏离入射线的角度。衍射方向决定于：晶体内部结构周期重复的方式和晶体安置的方位。测定晶体的衍射方向，可以求得晶胞的大小和形状。§2-4.衍射方向与晶胞参数晶体衍射方向——是指晶体在入167联系衍射方向晶胞大小、形状——

的两个方程：Laue:以直线点阵为出发点Bragg:以平面点阵为出发点二者等效联系衍射方向晶胞大小、形状——的两个方程：Laue:以直168一、Laue（劳埃）方程

Laue方程是联系衍射方向与晶胞大小、形状的方程.它的出发点是将晶体的空间点阵分解成三组互不平行的直线点阵,考察直线点阵上的衍射条件.每一组直线点阵上得到一个方程，整个空间点阵上就有三个形式相似的方程，构成一个方程组.

若把空间点阵看成互不平行的三组直线点阵的组合，则可把衍射方向(hkl)与三组直线点阵的点阵常数(a、b、c)联系起来。一、Laue（劳埃）方程Laue方程是联系衍射方向1691、直线点阵衍射条件直线点阵的衍射方向

注：其中S的方向是：以直线点阵为轴，交角为α（顶角为2α）的圆锥面。1、直线点阵衍射条件直线点阵的衍射方向170新编-X射线及其衍射课件171其中：周期为a.S0、S——分别代表入射线方向和反射线方向的X-射线（单位向量）若要求每个点阵点所