贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（A）（ 含答案 ）

第20页/共20页黔东南六校联盟2022～2023学年度第一学期期中联考试卷高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．1.已知向量，，则的值为（）A. B.9 C.－7 D.7【答案】D【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】.故选：D2.已知向是，，且，则实数m的值为（）A.2 B.4 C.－2或4 D.【答案】C【解析】【分析】求出，再由垂直向量的坐标表示即可得出答案.【详解】，由，得，解得或－2．故选：C.3.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为，故选:C.4.在平行六面体中，设，，，M，P分别是，的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的基底表示以及线性运算表示向量.【详解】由题意，，分别是，的中点，如图，所以.故选：C5.已知直线过点，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】B【解析】【分析】分类讨论截距为零和截距不为零两种情况，列出截距式计算即可.【详解】分以下两种情况讨论：①当直线过原点时，设直线的方程为时，，即；②当直线不过原点时，设直线的方程为时，则，即.综上所述，直线共2条．故选：B.6.关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为直线与且有两个交点，数形结合判断存在两个交点对应的m范围即可.【详解】令且，则且，即圆的上半部分，只需恒过的直线与且有两个交点即可，如上图，当与半圆相切时，得，当过时，，当过时，，综上，.故选：C7.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由时，恒成立，可得函数在区间上单调递增，再根据函数是偶函数，可得函数图象关于直线对称，根据函数的单调性与对称性即可得解.【详解】解：因为当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，所以函数图象关于直线对称，所以，，由，函数在区间上单调递增，所以．故选：B.8.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案【详解】连接，在中，因为是的中点，所以，平方得，将代入可得，因为，所以，所以，在，，所以，当且仅当即时，取等号,故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（）A.0 B.1 C.2 D.－1【答案】AC【解析】【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案.【详解】直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求.故选:AC．10.已知函数，则下列说法不正确的是（）A.若的最小正周期是，则B.当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为C.当时，D.若在区间上单调递增，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围.【详解】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；当时，，，故C选项不正确；令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．故选:BCD11.过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（）A.弦AB的长度的最小值为B.当弦AB最短时弦所在的直线方程为C.弦AB的长度的最小值为D.当弦AB最短时弦所在的直线方程为【答案】CD【解析】【分析】根据圆的几何性质、最短弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，，所以在圆内，，当AB⊥PC时，弦AB最短，最短弦长，A选项错误，C选项正确.，所以当最短时，，此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确.故选：CD12.已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.点到平面的距离为2 D.二面角的大小为【答案】ABC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面平行、点面距离、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，，，所以，A选项正确，设平面法向量为，则，故可设，，由于平面，所以平面，B选项正确.，所以到平面的距离为，C选项正确.平面的法向量为,设二面角的平面角为，由图可知，为锐角.，所以不是，D选项错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点作圆的切线，则切线方程为___________．【答案】或【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时满足，②直线斜率存在时，设切线方程为，则，所以切线方程为，即．故答案为：或.14.已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】圆的圆心为，由题意得：直线过圆心，所以，又，，所以．（当且仅当，时，取“＝”）．故答案：.15.已知，，且，则实数___________．【答案】－2【解析】【分析】根据可以判断，均为实数得出，再根据不等式限制取值范围即可【详解】由题意知，均为实数，则，即或．又，则，则，故．故答案为：－216.如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．【答案】①.②.12【解析】【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值.【详解】∵，∴点在平面上，如图，分别取，，的中点，，，连接，因为为中点，故，又由正方体可得，，故，故四边形为平行四边形，故，故，故四点共面，同理可证四点共面，故五点共面，同理可证四点共面，故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形.故点的轨迹是正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，所以点的轨迹围成图形的面积是．如图，，∴的最大值为12．故答案为：，12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知点，，，H是的垂心．（1）求点C的坐标；（2）求的外接圆的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，求出直线的方程，联立方程组求出两直线的交点C的坐标；（2）先得到边和边的中垂线方程，进行联立得圆心坐标，再利用两点距离公式算出半径，即可得到答案【小问1详解】因为点，，，H是△ABC的垂心，所以，所以，∴直线的方程为即，又∵，∴所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为，联立直线与的方程得点的坐标为；【小问2详解】边的中垂线方程为，因为，所以边的中垂线的斜率等于，因为边的中点为，故边的中垂线的方程为：，所以联立两条中垂线得解得，所以圆心坐标为，半径，则的外接圆的标准方程为.18.如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．（1）求证：EF//平面ABCD；（2）求直线DE，BF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行；（2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可.【小问1详解】证明：如图连∵几何体为正方体，∴，∴EF∥BD∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD；【小问2详解】解：以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为，，DE，BF所成角的余弦值为19.2022年11月卡塔尔世界杯即将到来，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求m的值并估计这1000名观众评分的中位数；（2）若评分在“90分及以上”确定为“足球发烧友”，现从“足球发烧友”中按区间与两部分按比例分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间的概率．【答案】（1），87.5（2）．【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数求法求得中位数.（2）根据分层抽样的知识求得与两部分抽取的人数，然后结合古典概型概率计算公式计算出正确答案.【小问1详解】因为，所以．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.375，前四组的概率和为0.625，知，所以，则；【小问2详解】以样本的频率作为概率，评分在“90分及以上”确定为“足球迷发烧友”，现从“足球速发烧友”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，共9个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区上的概率．20.如图，在四棱锥中，，，平面平面PAD，E是的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且，.（1）求证：平面平面PAB；（2）若，，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）从线面垂直的证明入手，证明平面PAB，从而证得平面平面PAB；（2）添加辅助线，找到直线PB与平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解.【详解】（1）如图，取的中点M，连接MD，ME，则，.又，，所以，，所以四边形MDFE是平行四边形，所以.因为，所以.因为平面平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.因为平面PAD，所以.因为，所以平面PAB，所以平面PAB.又平面EFG，所以平面平面PAB.（2）解法—：过点P作于点H，则平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为x轴，过点H且平行于AB的直线为y轴，PH所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰三角形PAD中，，，因为，所以，解得，则，所以，，所以.易知平面ABCD的一个法向量为，所以，所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解法二：由（1）可知平面PAD，因为平面PAD，所以.在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.过点P作于点H，则平面ABCD，连接HB，则是直线PB与平面ABCD所成的角.在等腰三角形PAD中，，，因为，所以，解得，在直角三角形PHB中，.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及直线与平面所成角的正弦值的求解，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题.试题要求考生能根据题干中的信息正确分析出图形中点、线、面之间的位置关系，对逻辑推理、直观想象等核心素养要求较高.21.已知的内角A，，的对边分别是，，，点是边上的中点，，且的面积为．（1）求A的大小及的值；（2）若，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求得A,根据面积求出，根据数量积的定义计算可得答案；（2）由已知结合（1）的结论求得b,利用余弦定理求得BC的长，在和中分别用余弦定理，即可求得答案.【小问1详解】在中，，由正弦定理得，可得，又，，，，解得，